题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．(1)求抛物线C1，C2的函数表达式；(2)求A、B两点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－x2－x＋2与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，31
请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·许昌模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.31
4．(2016·河南)如图①，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标. 31
31
类型二 二次函数与图形面积1．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·安顺)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，31
使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·周口模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，31
请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·濮阳模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．31
类型三 二次函数与线段问题1．(2017·南宁)如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，＋均为定值，并求出该定值．31
2．(2017·焦作模拟)如图①，直线y＝x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.31
3．(2017·武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.31
类型四 二次函数与三角形相似1．(2016·南宁)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.31
2．(2017·平顶山模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y＝ax2＋bx＋3经过A(3，0)，G(－1，0)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E(0，)作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.31
4．(2017·海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.31
题型六 第23题二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a，b)，则Q(a＋4，b)或(a－4，b)，①当Q(a＋4，b)时，得：a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3，解得a＝－2，∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5，∴P1(－2，5)，Q1(2，5)．②当Q(a－4，b)时，得：a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3，解得a＝2.∴b＝4－4－3＝－3，∴P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P1(－2，5)，Q1(2，5)；P2(2，－3)，Q2(－2，－3).2．解：(1)∵抛物线y＝－x2－x＋2，∴其梦想直线的解析式为y＝－x＋，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A(－2，2)，B(1，0)；(2)当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，如解图①，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，在y＝－x2－x＋2中，令y＝0可求得x＝－3或x＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，2)，∴AC＝＝，由翻折的性质可知AN＝AC＝，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，∵OD＝2，∴ON＝2－3或ON＝2＋3，当ON＝2＋3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，31
∴N点坐标为(0，2－3)；当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如解图②，在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，∴tan∠DAM＝＝，∴∠DAM＝60°，∵AD∥x轴，∴∠AMC＝∠DAM＝60°，又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，∴此时N点坐标为(，)；综上可知N点坐标为(0，2－3)或(，)；(3)①当AC为平行四边形的边时，如解图③，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH，在△ACK和△EFH中，，∴△ACK≌△EFH(AAS)，∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，∵抛物线对称轴为x＝－1，∴F点的横坐标为0或－2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F(0，)，此时点E在直线AB下方，∴E到x轴的距离为EH－OF＝2－＝，即E点纵坐标为－，∴E(－1，－)；当F点的横坐标为－2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，31
∵C(－3，0)，且A(－2，2)，∴线段AC的中点坐标为(－，)，设E(－1，t)，F(x，y)，则x－1＝2×(－)，y＋t＝2，∴x＝－4，y＝2－t，代入直线AB解析式可得2－t＝－×(－4)＋，解得t＝－，∴E(－1，－)，F(－4，)；综上可知存在满足条件的点F，此时E(－1，－)、F(0，)或E(－1，－)、F(－4，).3．解：(1)由题意，得，解得，∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；(2)设点Q的坐标为(m，0)，如解图①，过点E作EG⊥x轴于点G.由－x2＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2，∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG＝(m＋2)(4－)＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3，又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)； 图① 图②(3)存在．在△ODF中．(ⅰ)若DO＝DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时，点F的坐标为(2，2)，31
由－x2＋x＋4＝2，得x1＝1＋，x2＝1－，此时，点P的坐标为P(1＋，2)或P(1－，2)；(ⅱ)若FO＝FD，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得：OM＝MD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)，由－x2＋x＋4＝3，得x1＝1＋，x2＝1－，此时，点P的坐标为：P(1＋，3)或P(1－，3)；(ⅲ)若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝4，∴点O到AC的距离为2，而OF＝OD＝2＜2，与OF≥2矛盾，∴AC上不存在点使得OF＝OD＝2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为(1＋，2)或(1－，2)或(1＋，3)或(1－，3).4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y＝－x＋n上，∴n＝4，∴y＝－x＋4，令y＝0，解得x＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，∴c＝－2，6＋3b－2＝0，解得b＝－，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2；(2)∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，∴P(m，m2－m－2)，∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为(m，－2)，∴|BD|＝|m|，|PD|＝|m2－m－2＋2|，当△BDP为等腰直角三角形时，PD＝BD，∴|m|＝|m2－m－2＋2|＝|m2－m|.∴m2＝(m2－m)2，解得：m1＝0(舍去)，m2＝，m3＝，∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或；(3)∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝，①当点P′落在x轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠31
DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P′D′＝PD＝m2－m，在Rt△P′D′N中，cos∠ND′P′＝＝cos∠PBP′＝，∴ND′＝(m2－m)，在Rt△BD′M中，BD′＝－m，sin∠DBD′＝＝sin∠PBP′＝，∴D′M＝－m，∴ND′－MD′＝2，∴(m2－m)－(－m)＝2，解得m＝(舍去)或m＝－，如解图②，同①的方法得，ND′＝(m2－m)，MD′＝m，ND′＋MD′＝2，∴(m2－m)＋m＝2，∴m＝或m＝－(舍去)，∴P(－，)或P(，)，②当点P′落在y轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝(m2－m)，BM＝m，∵P′N＝BM，∴(m2－m)＝m，31
解得m＝或m＝0(舍去)，∴P(，)，∴P(－，)或P(，)或P(，).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)，∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、C两点，∴，解得，∴y＝－x2－x＋2；(2)①令y＝0，∴－x2－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D作DM∥y轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝，设D(a，－a2－a＋2)，∴M(a，a＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，)，∴＝＝＝－(a＋2)2＋；∴当a＝－2时，有最大值，最大值是；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴AC＝2，BC＝，AB＝5，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(－，0)，∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝，如解图②，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝，31
令D(a，－a2－a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－a2－a，∴＝，解得a1＝0(舍去)，a2＝－2，∴xD＝－2，情况二：∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k，DR＝3k－k＝k，∴＝＝，解得a1＝0(舍去)，a2＝－，∴点D的横坐标为－2或－.2．解：(1)∵直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B(3，0)，C(0，3)，把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线对称轴为x＝2，P(2，－1)，设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC＝＝，MP＝|t＋1|，PC＝＝2，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，31
①当MC＝MP时，则有＝|t＋1|，解得t＝，此时M(2，)；②当MC＝PC时，则有＝2，解得t＝－1(与P点重合，舍去)或t＝7，此时M(2，7)；③当MP＝PC时，则有|t＋1|＝2，解得t＝－1＋2或t＝－1－2，此时M(2，－1＋2)或(2，－1－2)；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为(2，)或(2，7)或(2，－1＋2)或(2，－1－2)；(3)如解图，在0＜x＜3对应的抛物线上任取一点E，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E(x，x2－4x＋3)，则F(x，－x＋3)，∵0＜x＜3，∴EF＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x，∴S△CBE＝S△EFC＋S△EFB＝EF·OD＋EF·BD＝EF·OB＝×3(－x2＋3x)＝－(x－)2＋，∴当x＝时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为(，－)，即当E点坐标为(，－)时，△CBE的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l为x＝－1，∴B(－3，0)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；(2)如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q.∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.31
∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°，∴∠BPM＝∠NBQ.又∵∠BMP＝∠BQN＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ，∴PM＝BQ.∵抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于点A(1，0)和点B，且对称轴为x＝－1，∴点B的坐标为(－3，0)，点Q的坐标为(－1，0)，∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，∴结合图象可知点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，解得x1＝－1－，x2＝－1＋(舍去)，∴此时点P的坐标为(－1－，－2)；(3)存在．如解图②，连接AC，PC.可设点P的坐标为(x，y)(－3＜x＜0)，则y＝x2＋2x－3，∵点A(1，0)，∴OA＝1.∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－3，即点C(0，－3)，∴OC＝3.由(2)可知S四边形PBAC＝S△BPM＋S四边形PMOC＋S△AOC＝BM·PM＋(PM＋OC)·OM＋OA·OC＝(x＋3)(－y)＋(－y＋3)(－x)＋×1×3＝－y－x＋，将y＝x2＋2x－3代入可得S四边形PBAC＝－(x2＋2x－3)－x＋＝－(x＋)2＋.∵－＜0，－3＜x＜0，∴当x＝－时，S四边形PBAC有最大值，此时，y＝x2＋2x－3＝－.∴当点P的坐标为(－，－)时，四边形PBAC的面积最大，最大值为.4．解：(1)把y＝0代入直线的解析式得x＋1＝0，解得x＝－1，∴A(－1，0)．∵抛物线的对称轴为x＝1，∴B的坐标为(3，0)．将x＝0代入抛物线的解析式得y＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，将C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；(2)如解图①，连接OP.将x＝0代入直线AD的解析式得y＝1，∴OD＝1.由题意可知P(t，t2－2t－3)．∵S四边形DCPB＝S△ODB＋S△OBP＋S△OCP，31
∴S＝×3×1＋×3×(－t2＋2t＋3)＋×3×t，整理得S＝－t2＋t＋6，配方得：S＝－(t－)2＋，∴当t＝时，S取得最大值，最大值为；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a，a＋1)，O′(a，a)．当△D′O′E的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB′＝1∶2.∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝1，∴E(a＋1，a)．将点E的坐标代入抛物线的解析式得(a＋1)2－2(a＋1)－3＝a，整理得：a2－a－4＝0，解得a＝或a＝，∴O′的坐标为(，)或(，)，∴OO′＝或OO′＝，∴△DOB平移的距离为或，当△D′O′E的面积∶△D′EB′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB′＝2∶1.∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝2，∴E(a＋2，a)．将点E的坐标代入抛物线的解析式得：(a＋2)2－2(a＋2)－3＝a，整理得：a2＋a－3＝0，解得a＝或a＝.∴O′的坐标为(，)或(，)．∴OO′＝或OO′＝.∴△DOB平移的距离为或.综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移或单位长度，或沿AD方向平移或个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分.类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a＝3，解得a＝－.令y＝0，得ax2－2ax－9a＝0，∵a≠0，∴x2－2x－9＝0，解得x＝－或x＝3.∴点A的坐标为(－，0)，点B的坐标为(3，0)，∴抛物线的对称轴为x＝；(2)解：∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°.31
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°，∴DO＝AO＝1，∴点D的坐标为(0，1)，设点P的坐标为(，a)．∴AD2＝4，AP2＝12＋a2，DP2＝3＋(a－1)2.当AD＝PA时，4＝12＋a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3＋(a－1)2，解得a＝0或a＝2，∴点P的坐标为(，0)或(，2)．当AP＝DP时，12＋a2＝3＋(a－1)2，解得a＝－4.∴点P的坐标为(，－4)．综上所述，点P的坐标为(，0)或(，－4)或(，2);(3)证明：设直线AC的解析式为y＝mx＋3，将点A的坐标代入得－m＋3＝0，解得m＝，∴直线AC的解析式为y＝x＋3.设直线MN的解析式为y＝kx＋1.把y＝0代入y＝kx＋1，得kx＋1＝0，解得：x＝－，∴点N的坐标为(－，0)，∴AN＝－＋＝.将y＝x＋3与y＝kx＋1联立，解得x＝，∴点M的横坐标为.如解图，过点M作MG⊥x轴，垂足为G.则AG＝＋.∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝＋2＝.∴＋＝＋＝＋＝＝＝.2．解：(1)∵直线l：y＝x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线l的解析式为y＝x－1，∵直线l：y＝x－1经过点C，且点C的横坐标为4，31
∴y＝×4－1＝2，∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1；(2)令y＝0，则x－1＝0，解得x＝，∴点A的坐标为(，0)，∴OA＝，在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝＝＝，∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG中，EF＝DE·cos∠DEF＝DE·＝DE，DF＝DE·sin∠DEF＝DE·＝DE，∴l＝2(DF＋EF)＝2×(＋)DE＝DE，∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)，∴D(t，t2－t－1)，E(t，t－1)，∴DE＝(t－1)－(t2－t－1)＝－t2＋2t，∴l＝×(－t2＋2t)＝－t2＋t，∵l＝－(t－2)2＋，且－＜0，∴当t＝2时，l有最大值；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．31
如解图③，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m＋，∴m2－m－1＝(m＋)2－(m＋)－1，解得m＝，如解图④，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m＋，B1的纵坐标比A1的纵坐标大1，∴m2－m－1＋1＝(m＋)2－(m＋)－1，解得m＝，∴旋转180°时点A1的横坐标为或.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y＝ax2＋bx中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－x；(2)证明：设直线AF的解析式为y＝kx＋m，将点A(－1，1)代入y＝kx＋m中，即－k＋m＝1，∴k＝m－1，∴直线AF的解析式为y＝(m－1)x＋m.联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得，，∴点G的坐标为(2m，2m2－m)．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为(2m，0)．∵抛物线的解析式为y＝x2－x＝x(x－1)，∴点E的坐标为(1，0)．设直线AE的解析式为y＝k1x＋b1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y＝k1x＋b1中，得，解得，∴直线AE的解析式为y＝－x＋.设直线FH的解析式为y＝k2x＋b2，将F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，得，解得：，31
∴直线FH的解析式为y＝－x＋m.∴FH∥AE；(3)解：设直线AB的解析式为y＝k0x＋b0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y＝k0x＋b0中，，解得，∴直线AB的解析式为y＝x＋2.当运动时间为t秒时，点P的坐标为(t－2，t)，点Q的坐标为(t，0)．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM＝2PM，∴＝＝，∴QM′＝，MM′＝t，∴点M的坐标为(t－，t)，又∵点M在抛物线y＝x2－x上，∴t＝(t－)2－(t－)，解得t＝，当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为(t－4，2t)，∵点M在抛物线y＝x2－x上，∴2t＝×(t－4)2－(t－4)，解得t＝.综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x，31
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝，BC＝3，∵MN⊥x轴于点N∴∠MNO＝∠ABC＝90°，∴当△MNO和△ABC相似时有＝或＝，①当＝时，则有＝，即|x|×|－x＋2|＝|x|，∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，解得x＝或x＝，此时N点坐标为(，0)或(，0)，②当＝时，则有＝，即|x|×|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时N点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A、C两点坐标代入直线y＝－ax＋c可得，解得，∴直线的表达式为y＝x＋1，把A点坐标和a＝－代入抛物线解析式可得9×(－)－3b＋1＝0，解得b＝－，∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋1；31
(2)∵点D为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t，－t2－t＋1)，则F(t，t＋1)，∴DF＝－t2－t＋1－(t＋1)＝－t2－t＝－(t＋)2＋.∵－＜0，∴当t＝－时，DF有最大值，最大值为，此时D点坐标为(－，)；(3)设P(m，－m2－m＋1)，如解图，∵P在第四象限，∴m＞0，－m2－m＋1＜0，∴AN＝m＋3，PN＝m2＋m－1，∵∠AOC＝∠ANP＝90°，∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，①当△AOC∽△PNA时，则有＝，即＝，解得m＝－3或m＝10，经检验当m＝－3时，m＋3＝0(舍去)，∴m＝10，此时P点坐标为(10，－39)；②当△AOC∽△ANP时，则有＝，即＝，解得m＝2或m＝－3，经检验当m＝－3时，m＋3＝0(舍去)，∴m＝2，此时P点坐标为(2，－)；综上可知P点坐标为(10，－39)或(2，－).3．解：(1)将A、G点坐标代入函数解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；(2)如解图①，作ME∥y轴交AB于E点，当x＝0时，y＝3，即B点坐标为(0，3)，直线AB的解析式为y＝－x＋3，设M(n，－n2＋2n＋3)，E(n，－n＋3)，ME＝－n2＋2n＋3－(－n＋3)＝－n2＋3n，S△ABM＝ME·AO＝(－n2＋3n)×3＝－(n－)2＋，31
当n＝时，△ABM面积的最大值是；(3)存在；理由如下：OE＝，AP＝2，OP＝1，BE＝3－＝，当y＝时，－x＋3＝，解得x＝，即EF＝，将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)，∵OB⊥EF，∴点B′在直线EF上，∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO－PO长度，∴C点坐标为(－，－1)，如解图，过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC，由＝＝＝，可得Q的坐标为(－，－)；根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q′(－，)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)，∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2－x＋3；(2)①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P(t，t2－t＋3)(1＜t＜5)，∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M(t，0)，N(t，t＋3)，∴PN＝t＋3－(t2－t＋3)＝－(t－)2＋，联立直线CD与抛物线解析式可得，31
解得或，∴C(0，3)，D(7，)，分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如解图①，则CE＝t，DF＝7－t，∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN·CE＋PN·DF＝PN＝[－(t－)2＋]＝－(t－)2＋，∴当t＝时，△PCD的面积最大，最大值为；②存在．∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当△CNQ与△PBM相似时，有＝或＝两种情况，∵CQ⊥PN，垂足为Q，∴Q(t，3)，且C(0，3)，N(t，t＋3)，∴CQ＝t，NQ＝t＋3－3＝t，∴＝，∵P(t，t2－t＋3)，M(t，0)，B(5，0)，∴BM＝5－t，PM＝0－(t2－t＋3)＝－t2＋t－3，当＝时，则PM＝BM，即－t2＋t－3＝(5－t)，解得t＝2或t＝5(舍去)，此时P(2，－)；当＝时，则BM＝PM，即5－t＝(－t2＋t－3)，解得t＝或t＝5(舍去)，此时P(，－)；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(2，－)或(，－).31
