◎教学笔记第10课时实际问题与方程（5）▶教学内容教科书P79例5，完成教科书P82“练习十七”第11~15题。▶教学目标1.学会用画线段图等方法直观、清晰地分析数量关系，结合具体情境列方程解决相遇问题。2.培养初步的逻辑推理能力和解决稍复杂的行程问题的能力，提高分析问题和解决问题的能力。3.激发学习兴趣，培养抽象思维能力，体会数学的应用价值。▶教学重点掌握列方程解决相遇问题的方法。▶教学难点找等量关系，掌握列方程的方法和窍门。▶教学准备课件。▶教学过程一、复习导入师：以前我们学习过的行程问题中有三个量，分别是速度、时间和路程，你们还记得它们之间的关系吗？【学情预设】速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度。师：如果两个人同时从一段路的两端出发，相对而行，会怎样？（会相遇）今天我们就来研究如何用方程解决这一类问题。［板书课题：实际问题与方程（5）］【设计意图】复习以前学过的有关行程问题的数量关系式，为后面的学习做好铺垫，也让学生更快地把原有知识迁移到新知识上来。二、探索新知1.课件出示教科书P79例5。,◎教学笔记师：从图中可以知道哪些信息？要我们解决的问题是什么？【学情预设】小林每分钟骑250m,小云每分钟骑200m。两人在相距4.5km的路上相向而行。要我们求两人相遇所用时间。师:什么是相遇所用时间呢？【学情预设】相遇所用时间是指两个人从出发到相遇所经过的一段时间。师：这段时间内不是一个人运动，而是两个人同时运动走完这段路程。班级活动：让两名学生上台演示相遇。师：明白了相遇所用时间，你们能把相遇的过程用线段图画一画吗？学生小组合作，完成线段图。指名学生上台板演画线段图。【设计意图】通过实际的操作演示让学生有更加深刻的理解和感悟，同时活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。2.展示交流，分析数量关系。（1）评价学生画的线段图，引出等量关系。师：同学们能说说这幅线段图表示的意思吗？（课件出示线段图）【学情预设】先用一条线段表示道路全程，小林和小云分别在道路两端，现在两人同时出发，相向而行，经过一段时间行完全程在某地相遇。【教学提示】学生演示时可以把时间分割为“第一秒”“第二秒”“第三秒”……以便其他学生观察两人每一秒后距离的变化。师：观察线段图，大家知道了什么？【学情预设】他们骑行的路程合起来就是两地的距离，也就是小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程。师：你们能从中找到等量关系吗？【学情预设】学生很容易得到等量关系：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程，在教师启发、引导下，得到另一个等量关系：每分钟两人骑的路程和×相遇时间＝全程。（2）分析第一个等量关系。师：先看第一个等量关系，他们各自骑行的路程能求出吗？【学情预设】不能，因为不知道他们骑行的时间是多少。【教学提示】0.25＋0.2不宜概括为“速度和”，因为在以后的数学学习中，速度为向量，向量的“和”另有定义。师：他们骑行的时间一样吗？【学情预设】一样的，因为他们是同时出发，到相遇时两人的骑行时间是一样的。师：这个等量关系中，看起来是有两个未知量，但事实上是怎样呢？【学情预设】事实上是只要知道了相遇所用时间，两个未知量都可以求出来，我们可以把他们骑行时间设为x，因为他们骑行的时间是一样的，用一个x就可以了。（3）分析第二个等量关系。,◎教学笔记师：再看第二个等量关系，每分钟两人骑的路程和知道吗？相遇所用时间呢？全程呢？【学情预设】每分钟两人骑的路程和不知道，但是很容易求出来，全程也知道，只有相遇所用时间不知道，可以设相遇所用时间为x来解题。3.根据分析尝试列方程解决。师：通过前面的数量分析，两个等量关系中的未知数都是我们要求的问题，我们可以设相遇所用时间为x，请同学们独立列方程解答。（1）学生独立解答。（2）交流分享。师：先说说你是根据哪个等量关系式列方程的，再说说列出的方程。【学情预设】预设1：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程解：设两人x分钟后相遇。小林的速度×时间+小云的速度×时间＝全程0.25x+0.2x＝4.50.45x＝4.50.45x÷0.45＝4.5÷0.45x＝10检验：小林骑行的路程+小云骑行的路程＝全程0.25×10+0.2×10＝4.5（km）预设2：每分钟两人骑的路程和×时间=全程解：设两人x分钟后相遇。（小林每分钟骑的路程+小云每分钟骑的路程）×时间＝全程（0.25+0.2）x＝4.50.45x＝4.50.45x÷0.45=4.5÷0.45x＝10检验：每分钟两人骑的路程和×时间=全程（0.25+0.2）×10＝4.5（km）师生交流并板书。师：哪位同学能结合线段图说一说怎么理解两人每分钟骑的路程和再乘时间就是总路程？【学情预设】两人每分钟骑的路程和是一段路程，两人所有时间骑行的全部路程就是总路程。师追问：一共有几个这样的1分钟的路程和？（10个）,◎教学笔记师：这样理解，就跟工程问题很相似，两个人每分钟共同完成了0.45km，一共要完成4.5km就需要10分钟。【设计意图】通过线段图，对于等量关系“每分钟两人骑的路程和×时间=全程”，不容易看出来每分钟骑的路程和。通过线段图可以帮助学生加深理解，同时沟通路程问题和工程问题间的联系，从而感悟等量关系。4.回顾反思。师：比较这两种解法，有什么相同的地方？引导学生进行比较，理解这两种方法都是乘法分配律在实际生活中的运用。【设计意图】多样化的策略和方法需要教师引导学生通过一条内在的线牵引和归纳，这样才能使学生对所学的知识有一个系统的、完整的认识，以及思考更有条理，思路更清晰。三、巩固练习【教学提示】让学生把教科书P82“练习十七”的第11、12题这两题进行对比，使学生明确用方程解题的优势。1.完成教科书P82“练习十七”第11题。本题与教科书P79例5类似，学生独立完成，集体订正。2.完成教科书P82“练习十七”第12题。学生独立完成，集体订正。师：第12题跟第11题相比有什么变化？有什么相同点？有什么不同点？同桌之间交流解题思路。【学情预设】相同点：都是相遇问题。数量关系都是：甲车行驶路程+乙车行驶路程=全程。不同点：所求问题不一样。第11题是求相遇所用时间，第12题是求乙车行驶的速度。师：同学们的分析很全面！这两道题所求问题不一样，用方程来解答区别大吗？【学情预设】不大，仅仅是设的未知数不同而已。师：请说说你的理由。【学情预设】因为数量关系没变，只是未知数变了。师：用方程解决问题，只要数量关系不变，那不论求什么我们都可以以不变应万变，这就是方程的优势。【设计意图】通过对比和分析使学生进一步体会用方程思维解决问题的优势，使学生更加深入理解方程意义以及逐步养成数学建模思想。3.完成教科书P82“练习十七”第13题。师：这道工程问题能不能用解相遇问题的思路去解答呢？【学情预设】能，它和相遇问题的本质是一样的。师：同学们互相说一说，这道题的等量关系是什么？【学情预设】甲队工作量+乙队工作量=总工作量。师：真棒！同学们都会举一反三了。,◎教学笔记学生独立列出方程并解答，集体订正。师小结：工程问题和相遇问题的思路基本相同。生活中的许多问题都可以被归纳到某一类，用同样的思路去解决。4.完成教科书P82“练习十七”第14题。（1）学生自己画线段图分析。（2）展示交流。师：我们来看看大家画的线段图，看谁画得既简单又明了。师生交流评价，形成线段图。（3）根据线段图列方程解答。师：根据线段图，大家能找到怎样的等量关系？【学情预设】乙船18小时行的路程-甲船18小时行的路程＝57.6km,甲船18小时行的路程+57.6km＝乙船18小时行的路程，乙船18小时行的路程-57.6km=甲船18小时行的路程。师：既然知道了等量关系，就请大家来列方程解答吧。学生尝试列方程解答并检验，集体订正。师小结：这一类的问题可以看成是行程问题的一种变式题，不是相向而行到相遇，而是同向而行有相差。【设计意图】这一组练习题之间递进变化关系比较明显，在教学中让学生充分利用上、下题之间的联系，提醒学生注意上、下题之间的比较，从而让学生在练习过程中获得提示、启发。【教学提示】给学生足够的时间和空间思考。四、拓展提高完成教科书P82“练习十七”第15题。（1）学生尝试列出方程。（2）交流分析。师：大家发现了什么?【学情预设】这个方程两边都含有x。师：这个方程怎么解呢？学生组内讨论试做，教师适时点拨。【学情预设】方程两边都有x的时候，可以根据等式的性质，两边同时减去x。3x＝x+1003x-x＝x+100-x2x＝1002x÷2=100÷2,◎教学笔记x＝50【设计意图】帮助学生拓展解方程的思路和方法，提高学生解方程的能力。五、课堂小结师：同学们，这节课你们有什么收获？师生共同小结：1.速度×时间＝路程。2.相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程，甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝全程，（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=全程。▶板书设计▶教学反思行程问题中的相遇问题是学生在生活中经常遇见的情境，但学生大多时候容易忽略。由此可见，学生的数学能力的获得不能仅仅只停留在书本上、课堂中，更应该让学生的视野去关注更多的实际问题。通过教科书P79例5的教学让学生认识到用方程解决实际问题的优势，从而培养学生发现数学、学习数学、运用数学的能力。▶作业设计见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业P50第二至四题。二、张村和李村合挖一条水渠，这条水渠全长119m。各从一端同时相向施工，7天完工。张村每天挖8.1m，李村每天挖多少米？三、两地相距350km，甲、乙两车同时从两地出发相向而行。甲车每小时行50km，出发2.5小时后两车还差75km相遇，乙车每小时行多少千米？四、动物王国举行运动会。乌龟和小兔赛跑，经过4分钟后，小兔超过乌龟280m，乌龟每分钟跑多少米？,◎教学笔记参考答案二、解：设李村每天挖xm。(8.1+x)×7=119x=8.9三、解：设乙车每小时行xkm。50×2.5+2.5x=350-75x=60四、解：设乌龟每分钟跑xm。80×4-4x=280x=10
