第十三章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列图形中，是轴对称图形的是( )2．点M(1，－2)关于x轴对称的点的坐标为( )A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－1，2)D．(－2，1)3．一个等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个等腰三角形的周长为( )A．18B．24C．30D．24或304．等腰三角形的一个角为70°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．70°B．55°C．40°D．40°或70°5．下列说法中，正确的是( )A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等B．两个全等三角形一定关于某条直线对称C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称6．如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )A．13B．14C．15D．16(第6题) (第7题) (第8题) (第9题) (第10题)7．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10cm，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则EC的长是( )A．2.5cmB．5cmC．7cmD．7.5cm8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40nmile/h的速度向正北方向航行，2h后到达灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为( )10
A．40nmileB．60nmileC．70nmileD．80nmile9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC与∠ACB的平分线，BD，CE相交于点F，则图中的等腰三角形有( )A．6个B．7个C．8个D．9个10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F.给出以下四个结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中始终成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝________.(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)12．小明上午在理发店时，从镜子内看到背后的时钟的时针与分针的位置如图所示，此时的时间是________．13．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂灰7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的1个小正方形涂灰，使得到的新图案(阴影部分)成为一个轴对称图形的涂法有________种．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB边的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为________．15．如图，点D，E分别在等边三角形ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处．若∠ADB1＝70°，则∠CEB1＝________．(第15题) (第17题) (第18题)10
16．若等腰三角形的顶角为150°，则它一腰上的高与另一腰的夹角的度数为________．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC，则∠PCQ的度数为________．18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F.若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________．三、解答题(19题14分，20题8分，21，22题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求△ABC的面积；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)写出点A1，B1，C1的坐标．20．如图，P为∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B.求证：OP垂直平分AB.10
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为△ABC的一个外角∠ABF的平分线上一点，且∠ADC＝45°，CD交AB于点E.(1)求证AD＝CD；(2)求AE的长．10
23．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？24．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)若BF⊥CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证AE＝CG；(2)若AH⊥CE，垂足为H，AH的延长线交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并证明． 10
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答案一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.A 6.A7．D 8.D 9.C 10.C二、11.40° 12.10：45 13.3 14.615．50° 16.60° 17.°18．10 【点拨】如图，连接AD，交EF于点M′，连接CM′.∵直线EF垂直平分AC，∴AM′＝CM′.∴当点M与点M′重合时，CM＋MD最短，即△CDM的周长最小．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，CD＝BD.∴AD是△ABC的边BC上的高．又∵△ABC的底边BC长为4，面积是16，∴AD＝16×2÷4＝8.∴△CDM周长的最小值为8＋4÷2＝10.三、19.解：(1)S△ABC＝×5×3＝.(2)△A1B1C1如图所示．(3)A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3)．20．证明：∵OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB.又∵OP＝OP，10
∴Rt△POA≌Rt△POB(HL)．∴OA＝OB.∴OP垂直平分AB.21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF(SAS)．∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形．(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠CEF.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，∴∠B＝×(180°－40°)＝70°.∴∠BDE＋∠BED＝110°.∴∠CEF＋∠BED＝110°.∴∠DEF＝70°.22．(1)证明：如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥BF，垂足分别为M，N.∵BD平分∠ABF，∴DM＝DN.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°.∵∠ADC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC，又∵∠AED＝∠CEB，∴∠BAD＝∠BCD.10
又∵∠DMA＝∠DNC＝90°，∴△ADM≌△CDN(AAS)．∴AD＝CD.(2)解：∵AD＝CD，∠ADC＝45°，∴∠CAD＝∠ACE＝67.5°.又∵∠CAB＝45°，∴∠AEC＝67.5°.∴∠ACE＝∠AEC.∴AE＝AC＝4.23．解：根据题意，得AP＝tcm，BQ＝tcm.在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t)cm.在△PBQ中，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°.当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝(3－t)，解得t＝1；当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，∴BP＝BQ，即3－t＝t，解得t＝2.综上，当t＝1或t＝2时，△PBQ是直角三角形．24．(1)证明：∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°.∴∠CAE＝∠BCG.∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°.又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG.10
又∵AC＝CB，∴△AEC≌△CGB(ASA)．∴AE＝CG.(2)解：BE＝CM.证明如下：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°.∴∠CMA＝∠BEC.又∵AC＝CB，∠ACM＝∠CBE＝45°，∴△BCE≌△CAM(AAS)．∴BE＝CM.10
