长春市十一高中2022-2022学年度高一上学期期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分为120分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法正确的是()A．第二象限的角比第一象限的角大B．若，则C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2．设，那么()A.B．C．D．3.已知集合，，则P与Q的关系是（）Ａ．PQＢ．PQＣ．PQＤ．P∩Q=4．在直角坐标系中，一动点从点出发,沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动弧长，到达点,则点的坐标为()A．B．C．D．5.如果，那么的值是()A．B．C．D．6.已知，，则()-7-\nA.B．C．D．7.已知是第三象限角，且，则是（）A.第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.给出下列四组函数：①，；②，；③，；④，。其中，是相等函数的一共有（）A.1组B．2组C．3组D．4组9.设，则使幂函数为奇函数，且在上单调递减的值的个数为( )A.1B．2C．3D．410.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根(精确度0.1)为( )A.1.2B．1.3C．1.4D．1.511.函数的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．312.若对恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．-7-\n第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分13.求值.14.若，则=.15.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是.16.已知函数(为常数)在区间上是减函数,则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）解方程：．18.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点在角β的终边上，点在角终边上．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求的值．19．（本小题满分10分）已知的三个内角，，满足，，求角，，的大小.20.（本小题满分10分）-7-\n已知函数与，其中是偶函数．（Ⅰ）求实数的值及的值域；（Ⅱ）求函数的定义域；（Ⅱ）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．21.附加题满分10分）已知函数，，函数的最小值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）是否存在实数、同时满足以下条件：①；②当的定义域为时，值域为。若存在，求出、的值；若不存在，说明理由．长春市十一高中2022-2022学年度高一上学期期中考试数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分1D2B3C4A5B6D7B8A9A10C11D12B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分13．14．15．b<a<c16.三、解答题：本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）---------------5分（Ⅱ），即∴或，-------------------------------------------8分∴或--------------------------------------------10分18.（本小题满分10分）解：(1)∵点P在角α的终边上，∴sinα＝，cosα＝.--------2分-7-\n同理sinβ＝－，cosβ＝，-----------------------------------4分sin＝cos＝－cos＝－，cos＝sin＝sin＝，∴sinα＝，cosβ＝，∴-----------------------------6分(2)由（1）得sin2β=2sinβcosβ=－，cos2β=－-----------8分∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝－1.----------------------10分19．（本小题满分10分）解：①又②①2+②2得，----------------------------------------------------------------4分∴,------------------------------------------------------------------5分,由②知，则,因而(舍去）∴，.------------------------------------------8分又由②得,∴，∴即.-------------------------10分20.（本小题满分10分）解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，∴log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，-7-\n∴k＝－.-----------------------------------------------------------------2分∴，令，设，利用函数单调性定义可知在单调递减，在单调递增，故，∴∴即的值域为---------------------------------------------------------4分（2）当时，函数解析式有意义当时，，得；当时，，得。---------------------------5分综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为---------------------------------6分(3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，即方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根，------------------------------------7分令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根，①当a＝1时，t＝－，不合题意；②当a≠1时，由Δ＝0得a＝或－3，若a＝，则t＝－2不合题意；-7-\n若a＝－3，则t＝满足要求；----------------------------------------8分若Δ>0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴<0，∴a>1，又Δ>0得a<－3或a>，∴a>1.-----------------------9分综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．----------------------------------------10分21.（附加题，10分）解： (1)∵x∈[－1,1]，∴x∈.设x＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.----------------2分当a<时，h(a)＝φ＝－；当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.----------------4分∴h(a)＝----------------5分(2)∵m>n>3，a∈[n，m]，∴h(a)＝12－6a.----------------6分∵h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，-----------------7分∴，-------------------------------------------------------------------------8分两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m>n，∴m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，---------------9分故满足条件的实数m，n不存在．----------------------------10分-7-
