达州市2022年高中二年级春季期末检测数学文考试时间120分钟满分150分）参考答案及评分标准（附试题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将符合题目要求的番号填在答案卷的相应空格内.1．已知，为虚数单位，计算（C）.2.“等比”是“”的（A）.充分不必要条件充要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件3.已知，的导数为，则（C）.24.函数在处的切线方程是（B）.5.已知所有国产手机都有陷阱消费，则是（C）.所有国产手机都没有陷阱消费有一部国产手机有陷阱消费有一部国产手机没有陷阱消费.国外产手机没有陷阱消费6.已知“或”是真命题，则的取值范围是（D）.7..下面四个命题，是真命题的是（C）.是的必要不充分条件“是偶数”的充要条件是“和都是偶数”若假，则真若，则8.已知是单调函数，则实数的的取值范围是（B）.8\n9.已知函数在区间上有极大值，则实数的的取值范围是(A).10.已知在区间上不单调，则的取值范围是（B）.二、填空题:每小题5分，共25分，请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内。11．复数的共轭复数. 12．如图，第一排图是长度分别为1、2、3、…、的线段，第二排图是边长分别为1、2、3、…、的正方形，第三排图是棱长分别为1、2、3、…、的正方体，根据图中信息，可得出棱长为的正方体中的正方体个数是．13．若函数有零点，则实数的取值范围是.14.已知，抛物线在处的切线的倾斜角为，则的最小值是 18． 5.已知是的导数，记，，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④设、、和都是相同定义域8\n上的可导函数，，则．则结论正确的是①②③（多填、少填、错填均得零分）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)已知，是的导数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）求与单调性相同的区间．解（Ⅰ）∵，∴，由得，或，由得，．当变化时，变化情况如下表：＋－＋↗极大值↘极小值↗∴的极大值，的极小值．………6分（Ⅱ）设，∴，由得，，为增函数，由得，，为减函数．再结合（Ⅰ）可知：与的相同减区间为，相同的增区间是………12分17.(本题满分12分)已知 命题：点的坐标为，点的坐标分别是，命题：直线的斜率分别是，，真．8\n（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）指出点的轨迹类型（如圆、抛物线、直线等）．解：（Ⅰ）由题意得，，∵，∴，所以所求轨迹方程是：．……………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）点的轨迹方程为，当且时，方程可化为 ，∴的轨迹是椭圆（除去与相交的项点）；当时，方程，∴的轨迹是圆（除去与的交点）； 当时，方程是，∴的轨迹是轴（除去和两点）；当时，方程可化为，∴的轨迹是双曲线（除去项点）……12分18.(本题满分12分)已知的极值点是．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求的递增区间.解：（Ⅰ）∵，∴由题意，，即，解得，．经验证，当时，的极值点是，所以……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），8\n，解不等式得，或，∴的递增区间是，．……………………………………12分19.(本题满分12分) 某校一次数学研究性学习活动中，一个密封的箱子内装有分别写上，，六个函数的六张外形完全一致的卡片（一张卡片一个函数），参与者有放回的抽取卡片，参与者只参加一次．如果只抽一张，抽得卡片上的函数是其它某一张卡片上函数的导数，抽取者将获得三等奖；如是先后各抽一张，抽出的卡片中，其中一张上的函数是另一张卡片上函数的导数，抽取者将获得二等奖；如果先后各抽一张，第一张卡片上的函数的导数是第二张卡片上的函数，抽取者将获得一等奖．（Ⅰ）求学生甲抽一次获得三等奖的概率；（Ⅱ）求学生乙抽一次获得二等奖的概率；（Ⅲ）求学生丙抽一次获得一等奖的概率．解（Ⅰ）在，，六个函数中，，这三个函数可作为其它函数的导数．设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件，∴．………………………………………4分（Ⅱ）在，，六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种，其中，组合两种，，组合一种，组合两种，，组合两种共7种都满足得二等奖的要求．设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件，∴．…………………………………………8分（Ⅲ）在，，六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种，其中，组合1种，，组合1种，组合1种，，组合1种共4种都满足得一等奖的要求．设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件，∴．8\n答：甲乙丙三人各得三二一等奖的概率分别是．…………………………………………12分20．(本题满分13分)已知 （是自然对数的底数），（Ⅰ）求的单调区间；(Ⅱ)设，求数列的前项和，并证明；解：（Ⅰ）∵，∴，当时，，是单调递增，当时，，是单调递减．所以的递增区间是，递减区间是． …………………………………………5分（Ⅱ）∵，，∴且，∴∴ ∴．由（Ⅰ）知，∴，∴，∴，∴．…………………………………………13分21.（本题满分14分）已知,,,函数的导数的图象如图所示.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）对一切恒成立,求实数求的取值范围；8\n（Ⅲ）设，求函数的零点个数；.解（Ⅰ）∵,∴由图可知,∴,将代入计算得,∴.…………………………………………3分（Ⅱ）设.∴,∴当时,,单调递增,当时,,单调递减.∴,即对一切,都有,∴,即.由（Ⅰ）得=,所以对一切都有.所以实数求的取值范围是.…………………………………………8分（Ⅲ）,.设,则,所以当时,是增函数,当时,是减函数,所以.又,所以在区间上存在唯一的实数,使得(是自然对数的底数),所以当变化时,的变化情况如下表:-0+0-8\n↘极小值↗极大值1↘∴,且,∴.∵在区间递减,,∴在区间上存在唯一一点,使得.综上所述,函数的零点个数是1.…………………………………………14分8
