安徽省宿松县凉亭中学2022届高三上学期第一次检测考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则集合（）A.B.C.D.2.“或是假命题”是“非为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的定义域是（）A．B．C．D．4．下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为：“若则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则、均为假命题D．对于命题使得，则均有5．已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）①若∥，，则∥；②若，∥，则；③若∥，则∥；④若，∥，∥，则；A．②③B．③④C．②④D．③6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．7.命题：“若（a,b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）8\nA．若a≠b≠0（a,b∈R），则≠0B.若a=b≠0（a,b∈R），则≠0C．若a≠0且b≠0（a,b∈R），则≠0D.若a≠0或b≠0（a,b∈R），则≠08.已知函数，则下列判断中正确的是()A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-,-4］，则m的取值范围是()A.(0,B.［,4］C.［,3］D.［,+∞10.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)11.．为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度12.对于函数f(x)定义域中任意的，(≠)，有如下结论：①f(＋)＝f()·f()②f(·)＝f()＋f()③④当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．函数的最小正周期为．14．若，且，则的最小值等于．15．四棱锥的三视图如图所示,四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积8\n为．16．设是定义在R上的偶函数，且对于恒有，已知当时，则（1）的周期是2；（2）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）的最大值是1，最小值是0；（4）当时，其中正确的命题的序号是．三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)17．（本小题满分12分）在中，内角对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的值．51234567867893418．(本小题满分12分)为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量表示所抽取的4名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．PABCDE19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且与轴垂直。（1）求椭圆的方程；8\n（2）过作直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值。．21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若是正实数且存在，使得成立，求的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.（1）求证:△∽△;（2）求证:四边形是平行四边形.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设=.（1）求的解集;（2）若不等式对任意不为零的实数恒成立，求实数的取值范围.8\n数学（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1--5.CDACD6--10DDACD11--12DB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．【解析】因为，所以，所以函数的最小正周期为．【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式．【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为，再根据求周期．二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用．14【答案】【解析】约束条件对应的平面区域如上图所示，当直线过点时取得最小值3．15.【答案】【解析】该几何体的直观图如下图所示，侧棱底面，且底面为边长为的正方形，且，所以为该几何体外接球的直径，即，的中点球心，取的中点，则为圆心到直线的距离，，所以，解之得，所以，所以外接球的表面积为16【答案】（1）（2）（4）【解析】由恒有，得的周期是2；（1）正确因为当时，为单调递增函数，所以当时，为单调递减函数，因此在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（2）正确的最大值是，最小值是；（3）错误当时，（4）正确17、试题解析：（1）因为由正弦定理得：2342348\n234因为所以（2）因为由正弦定理知①由余弦定理得②由①②得解：（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意可知，分数在内的学生有5人，分数在内的学生有2人，共7人.抽取的4名学生中得分在的人数的可能取值为2，3，4，则，，.234所以的分布列为所以234PABCDExyz19、解：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，又，平面，∵平面EAC，平面平面（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），（1，1，0），（1，－1，0）设（0，0，）（），则（，，），，，，取=（1，－1，0）则，为面的法向量设为面的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，则于是设直线与平面所成角为，则8\n，即直线与平面所成角的正弦值为（或设CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，请酌情给分）20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）本题考察的是求椭圆的标准方程，只需确定即可。本题根据题目条件，，，∴，，从而确定椭圆的方程是。（2）本题考察的直线与椭圆的位置关系，需要分直线的斜率不存在或斜率存在两种情况讨论，根据弦长公式和点到直线的距离公式，表示出面积的表达式，从而求出面积的最大值。试题解析：（1）有已知：，，∴，故椭圆方程为（2）当斜率不存在时：当AB斜率存在时：设其方程为：由，得由已知：即：到直线的距离：∴∵，∴，∴，∴此时综上所求：当斜率不存在或斜率为零时，面积取最大值为21.试题解析：（Ⅰ）的定义域为．当时，．由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；（Ⅱ），其定义域为．又．当时可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为．当时可得，在上，所以在是递增函数。……7分（Ⅲ）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零．……8分①当，即8\n时，由（II）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．因为．所以；②当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增．在上最小值为．因为，所以．，即不满足题意，舍去．综上所述:12分22.证明:(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,∴,∴,又∵,∴△∽△,∴,即.∵,∴,∴,∴△∽△.…5分(2)∵,∴,即,∴,∵△∽△,∴,∵是圆的切线,∴,∴,即,∴,∴四边形PMCD是平行四边形.10分23.解：（1）由得，于是有，化简可得3分（2）将代入圆的方程得，化简得.设、两点对应的参数分别为、,则,……7分,,,或.…10分24.解：(1)由得：或或………3分解得所以的解集为………5分（2）当且仅当时，取等号.…8分由不等式对任意实数恒成立，可得解得：或.故实数的取值范围是……10分8
