2022学年安徽省芜湖市一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2022•芜湖二模）已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有，是z的共轭复数，那么的值为（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．3930094专题：计算题．分析：先由求出实数x、y的值，得到复数z，则可求，然后运用复数的除法运算可求得的值．解答：解：因为∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2，∴x=2，y=1，∴z=2+i∴∴．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了两个复数相等的条件，复数相等当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，复数的除法采用分子分母同乘以分母的共轭复数，是基础题． 2．（5分）（2022•芜湖二模）若随机变量x～N（1，4），P（x≤0）=m，则P（0＜x＜2）=（ ） A．1﹣2mB．C．D．1﹣m考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3930094专题：计算题．分析：19根据随机变量x～N（1，4），得到正态曲线的对称轴是x=1，得到P（x≤0）=P（x≥2），根据所给的条件P（x≤0）=m，得到P（x≥2）=m，又根据概率之和是1，得到要求的结果．解答：解：∵随机变量x～N（1，4），∴正态曲线的对称轴是x=1，∴P（x≤0）=P（x≥2）∵P（x≤0）=m，∴P（0＜x＜2）=1﹣m﹣m=1﹣2m，故选A．点评：本题考查正态分布的特点，是一个基础题，解题时注意正态曲线的对称性和概率之和等于1的性质，是一个送分的题目． 3．（5分）（2022•芜湖二模）二项式展开式中含有x2项，则n可能的取值是（ ） A．4B．5C．6D．8考点：二项式系数的性质．3930094专题：计算题．分析：先求二项式展开式的通项，整理后让x的指数等于2，求出r和n的关系，再把答案代入验证即可．解答：解：因为二项式展开式的通项为：Cnr•=（﹣1）r•Cnr•．令﹣n=2⇒5r=2n+4⇒r=所以2n+4需是5的倍数．满足条件的数在答案中只有8．故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用．解决本题的关键是利用其x的指数等于2，求出r和n的关系．因为问的是n可能的取值，所以下面只需要把答案代入验证即可解决问题． 4．（5分）（2022•芜湖二模）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（ ） A．B．C．D．19考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．3930094专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法． 5．（5分）（2022•芜湖二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（ ） A．π+B．2C．2πD．考点：由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．3930094专题：计算题；数形结合法．分析：由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．解答：解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=19故该几何体的体积是π+故选A．点评：本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征． 6．（5分）（2022•芜湖二模）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ） A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：偶函数；函数单调性的性质．3930094专题：综合题．分析：由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β，从而有0＜sinα＜sin（90°﹣β）=cosβ＜1由f（x）满足f（2﹣x）=f（x）函数为偶函数即f（﹣x）=f（x）可得f（2﹣x）=f（x），即函数的周期为2，因为函数在在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断解答：解：∵α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β∴0＜sinα＜sin（90°﹣β）=cosβ＜1∵f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴函数关于x=1对称∵函数为偶函数即f（﹣x）=f（x）∴f（2﹣x）=f（x），即函数的周期为2∴函数在在[﹣3，﹣2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增∴f（sinα）＜f（cosβ）故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f（2﹣x）=f（x），偶函数满足的f（﹣x）=f（x）可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°即0°＜α＜90°﹣β．本题是综合性较好的试题． 7．（5分）（2022•芜湖二模）在等差数列{an}中，a1=1，a6=2a3+1，对任意的n，设，则满足S2k+1＞35的最小正整数K的取值等于（ ） A．16B．17C．18D．19考点：数列的求和．3930094专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a6=2a3+1，知a1=1，d=2，an=2n﹣1，故Sn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1•（2n﹣1），由此能够求出满足S2k+1＞35的最小正整数K的取值．解答：解：∵等差数列{an}中，a1=1，a6=2a3+1，19∴，解得a1=1，d=2，∴an=2n﹣1，∴Sn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1•（2n﹣1），∴=﹣2k+[2•（2k+1）﹣1]=﹣2k+4k+1=2k+1＞35，∴2k＞34，∴k＞17，∴最小正整数K值为18，故选C．点评：本题考查数列的前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 8．（5分）（2022•芜湖二模）直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（ ） A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．3930094专题：直线与圆．分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d，再利用关系：l=2即可求出弦长l．解答：解：直线（t为参数）化为普通方程：直线3x+4y+1=0．∵曲线，展开为ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=x﹣y，即，∴圆心C，．19圆心C到直线距离d==，∴直线被圆所截的弦长=．故选C．点评：正确运用弦长l、圆心到直线的距离、半径r三者的关系：l=2是解题的关键． 9．（5分）（2022•芜湖二模）设长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P在△BCD内部和边界上运动，设（α，β都是实数），则α+2β的取值范围是（ ） A．[1，2]B．[1，3]C．[2，3]D．[0，2]考点：简单线性规划的应用．3930094专题：计算题．分析：根据已知构造出阴影部分中的点满足的约束条件，进而根据点P在△BCD内部和边界上运动，设，找出x，y与α，β的关系，将可行域中各角点坐标代入比照后，求出目标函数的最值，即可得到答案．解答：解：∵长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2阴影部分内的点满足设P（x，y），则即：x=2α，y=β因此19当x=2，y=0，即α=1，β=0时，α+2β=1；当x=2，y=1，即α=1，β=1时，α+2β=3；当x=0，y=1，即α=0，β=1时，α+2β=2；α+2β∈[1，3]故选B点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知构造出满足条件的约束条件是解答本题的关键． 10．（5分）（2022•芜湖二模）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（ ） A．240种B．300种C．360种D．420种考点：排列、组合及简单计数问题．3930094专题：计算题．分析：首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．解答：解：四棱锥为P﹣ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）各个点的不同的染色方法P：C51，A：C41，B：C31，C与B同色：1，D：C31，故共有•C41•C31•C31种．（2）各个点的不同的染色方法P：C51，A：C41，B：C31，C与B不同色C21，D：C21，故共有•C41•C31•C21•C21种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有•C41•C31•C31+•C41•C31•C21•C21=420．故选D．点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总结此类问题的做法，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2022•芜湖二模）P为抛物线y2=4x上一动点，则点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值等于 ．考点：抛物线的简单性质．3930094专题：计算题．分析：先求出抛物线的准线方程，焦点坐标，由于A在抛物线的外部，所以连接焦点F和点A，AF与抛物线的交点P，即为所求点，利用抛物线的定义可求点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值．解答：解：y2=4x的准线是x=﹣1．抛物线的焦点坐标为（1，0）由于A在抛物线的外部，所以连接焦点F和点A，AF与抛物线的交点P，即为所求点，∵P到x=﹣1的距离等于P到焦点F的距离，19∴点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和为P到焦点F的距离和到点A（2，3）距离之和减1，∴当且仅当A，P，F三点共线时，点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和最小∴点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值为|AF|﹣1=故答案为：点评：本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，考查距离和，解题的关键是利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离． 12．（5分）（2022•芜湖二模）= 3 ．考点：定积分．3930094专题：计算题．分析：将（0，2）区间分为（0，1）和（1，2），分别化简2﹣|1﹣x|，转化成=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx，求解即可．解答：解：=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx=（x+x2）|01+（3x﹣）|12=（1+﹣0）+（6﹣2﹣3+）=3故答案为：3点评：本题主要考查了定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题． 13．（5分）（2022•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x= 12 ．19考点：设计程序框图解决实际问题．3930094专题：压轴题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断x的奇偶性，并执行对应的操作，最后不满足循环条件时，退出循环，输出X，我们可以模拟程序的运行过程，分析程序运行中各变量的值的变化情况，不难得到答案．解答：解：程序运行如下：循环前：x=1，第一次循环：x=2，第二次循环：x=4，第三次循环：x=5，第四次循环：x=6，第五次循环：x=8，第六次循环：x=9，第七次循环：x=10，第八次循环：x=12，（不满足继续循环的条件退出循环）最后输出12．故答案为：12点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 14．（5分）（2022•无为县模拟）已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是 [4，+∞） ．考点：命题的真假判断与应用．393009419专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先求出非p、非q为真时，m的范围，再利用非p是非q的必要不充分条件，可求实数m的取值范围．解答：解：由题意，，∴或x≥1；q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0），∴¬q：x2+2x+1﹣m＞0，∴（x+1）2＞m，解得或∵¬p是¬g的必要不充分条件，∴，∴m≥4．故实数m的取值范围是[4，+∞）故答案为：[4，+∞）点评：本题考查不等式的求解，考查四种条件，解题的关键是求出非p、非q为真时，m的范围． 15．（5分）（2022•芜湖二模）已知，，函数，那么下列四个命题中正确命题的序号是 ②③④ ．①f（x）是周期函数，其最小正周期为2π．②当时，f（x）有最小值．③[﹣π，﹣π]是函数f（x）的一个单调递增区间；④点（﹣，2）是函数f（x）的一个对称中心．考点：命题的真假判断与应用．3930094专题：探究型；三角函数的图像与性质．分析：先化简函数，再一一验证，①f（x）是周期函数，其最小正周期为π；②当时，，所以，可得f（x）有最小值；③x∈[﹣π，﹣π]时，，可得[﹣π，﹣π]是函数f（x）的一个单调递增区间；④利用（﹣，0）是函数g（x）=的一个对称中心，可得结论．解答：解：由题意，=，∴①f（x）是周期函数，其最小正周期为π，故①错；19②当时，，∴，∴f（x）有最小值，故②正确；③x∈[﹣π，﹣π]时，，∴[﹣π，﹣π]是函数f（x）的一个单调递增区间，故③正确；④∵（﹣，0）是函数g（x）=的一个对称中心，∴点（﹣，2）是函数f（x）的一个对称中心，故④正确故答案为：②③④点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（2022•芜湖二模）解不等式．考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．3930094专题：计算题．分析：原不等式等价于，由此得到，或logax＞1后再根据a＞1和0＜a＜1两种情况分别求出原不等式的解集．解答：解：原不等式等价于由①得，由②得，或logax＞1，由③得．由此得，或logax＞1．当a＞1时得所求的解是；当0＜a＜1时得所求的解是．点评：19本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想． 17．（13分）（2022•芜湖二模）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．（1）求上表中的a，b值；（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；（3）求η的分布列及数学期望Eη．考点：离散型随机变量的期望与方差．3930094专题：计算题；应用题；综合题．分析：（1）根据分3期付款的频率为0.2，得到a除以100值为0.2，求出a的值，根据总体数是100，求出b的值．（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率．（3）η表示经销一辆汽车的利润，η的可能取值为：1，1.5，2，结合变量对应的事件，根据η和ξ之间的关系，写出变量的概率，得到分布列．解答：解：（1）由得a=20∵40+20+a+10+b=100∴b=10（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，依题意得：，，P（ξ=3）=0.2，，则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=0.83+C310.2×（1﹣0.2）2=0.896（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）P（η=1）=P（ξ=1）=0.4P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.219∴η的分布列为：∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（万元）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验，考查两个变量之间的概率关系，是一个综合题目，这种题目近几年考得比较多． 18．（12分）（2022•芜湖二模）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形，DA⊥面SAB，DC∥AB，AB=2AD=2DC，O，E分别为AB、SD中点．（1）求证：SO∥面AEC，BC⊥面AEC（2）求二面角O﹣SD﹣B的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．3930094专题：空间角．分析：（1）设DO，AC交于点F，连接EF，易判断AOCD为正方形，进而AC与BC垂直平分，结合已知及三角形中位线定理可得EF∥OS，进而由线面平行的判定定理得到SO∥面AEC；根据已知可先证得SO⊥面ABCD，进而得到SO⊥BC，而由BC与OD平行与AC垂直，结合线面垂直的判定定理可得BC⊥面AEC（2）分别以OS，OB，OC为x轴，Y轴，z轴点的空间直角坐标系，设AB=2，分别求出二面角O﹣SD﹣B的两个半平面的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）设DO，AC交于点F，连接EF，∵直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，故四边形AOCD为正方形，则F为DO中点∵E为DS的中点∴在△DOS中EF∥OS又∵EF⊂面AEC，OS⊄面AEC∴SO∥面AEC…（3分）∵DA⊥面SAB，SO⊂面SAB∴DA⊥SO，又∵侧面SAB是等边三角形，O为AB的中点，∴AB⊥SO，∵AB∩DA=A∴SO⊥面ABCD又∵BC⊂面ABCD∴SO⊥BC，EF⊥BC又BC∥DO19∴BC⊥AC，∵EF∩AC=F∴BC⊥面AEC…（6分）（2）分别以OS，OB，OC为x轴，Y轴，z轴点的空间直角坐标系，设AB=2，显然AC⊥面SOD，∴面SOD的法向量设面SBD的法向量为由，求得：是面SBD的一个法向量，∴cosθ===故所求二面角的余弦值为…（12分）点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角，（1）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质定理，能熟练的进行转化，（2）的关键是构造空间坐标系，将二面角转化为向量夹角． 19．（12分）（2022•芜湖二模）已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间．（2）若不等式对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．3930094专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，根据函数解析式，求出函数的导函数，分析导函数的符号，进而判断出函数f（x）的单调区间．（2）令f'（x）=0，根据导函数零点，分段讨论函数的单调性和最值，进而根据不等式对任意的x∈R恒成立，不大于函数的最小值，构造关于a的方程解答：解：（1）当a=2时，f'（x）=e2x•（2x2﹣2）=2e2x•（x+1）（x﹣1）∵x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴减区间为（﹣1，1），增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）…（5分）（2）f'（x）=eax•（ax+2）（x﹣1）令f'（x）=0，则或x=119∵a＞0列表x（）（，1）1（1，+∞）f'x+0﹣0+f（x）极大值极小值∴当x=1时，f（x）有最小值∴依题意即可∴ea≤3⇒a≤ln3解得0＜a≤ln3…（12分）点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及函数的最值，函数恒成立问题，这导数应用的经典题型 20．（13分）（2022•芜湖二模）如图，直角坐标系XOY中，点F在x轴正半轴上，△OFG的面积为S．且，设，．（1）以O为中心，F为焦点的椭圆E经过点G，求点G的纵坐标．（2）在（1）的条件下，当取最小值时，求椭圆E的标准方程．（3）在（2）的条件下，设点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，点C是椭圆的下顶点，点P在椭圆E上（与点A、B均不重合），点D在直线PA上，若直线PB的方程为，且，试求CD直线方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．3930094专题：计算题；向量与圆锥曲线．分析：（1）设G（x0，y0），利用△OFG的面积S=c•|y0|=c即可求得点G的纵坐标；（2）利用•=c（x0﹣c）=1，可求得x0=c+，从而可求得||=（c≥2），构造函数f（c）=c+，利用其单调性质可求得当c=2时f（c）有最小值，从而可求得G点坐标；19（3）由（2）知：A（﹣，0），B（，0），C（0，﹣），由设P（x1，y1），可求得kAP•kBP=﹣，继而可求得kAP=﹣，再由•=0可求得kCD=5，从而可求得直线CD的方程．解答：解：（1）设G（x0，y0）∵S=||•|y0|，∴c=c•|y0|，|y0|=，∵=（c，0），=（x0﹣c，y0）（y0＞0），∴y0=…（3分）（2）由（1）知•=c（x0﹣c）=1，∴x0=c+∴||==（c≥2）∵f（c）=c+在[2，+∞]上递增，∴当c=2时f（c）有最小值2+=，此时x0=，y0=，∴G（，），由于点G在椭圆E上，且c=2∴可求得a2=10，b2=6方程为：+=1…（8分）（3）由（2）知：A（﹣，0），B（，0），C（0，﹣），∵直线BP：y=kx﹣3经过点B，∴求得k=3又设P（x1，y1）则=（10﹣），∴kAP•kBP=×===﹣=﹣，∴kAP=﹣×=﹣•=﹣•=﹣，19∵•=0，∴kAP•kCD=﹣1，∴﹣•kCD=﹣1，∴kCD=5．又CD直线过点C（0，）故：所求CD方程为：y=5x﹣…（13分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的关系的综合应用，考查双钩函数的单调性与最值，考查综合分析与应用的能力，属于难题． 21．（13分）（2022•芜湖二模）已知函数，an+1=f（an），对于任意的n∈N*，都有an+1＜an．（Ⅰ）求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1=，证明an＜1+（n∈N+，n≥2）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明﹣n＜+1．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．3930094专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的表达式，结合an+1=f（an），解不等式an+1﹣an＜0，再结合an是正数，可得对任意n∈N+，都有a1＞1．（II）先用导数进行研究，可得函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．再利用数学归纳的方法，可以证明出an＜1+（n∈N+，n≥2）．（III）由an+1=f（an）=，解出，再变形得到，结合0＜an+1＜an得到，最后利用g（x）=在（1，+∞）是增函数，通过放缩得到，再以此为依据，进行累加可得原不等式成立．19解答：解：（Ⅰ）∵∴＜0∴∵an是正数，∴an＞1对任意n∈N+恒成立，因此a1＞1．（II）∵∴当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数下面用数学归纳法，证明an＜1+（n∈N+，n≥2）．①当n=2时，由a1=，得②设当n=k时，ak＜1+成立则当n=k+1时，ak+1=f（an）＜f（1+）=（1++）=（1++1﹣）＜（2+）=1+，不等式也成立综合①②可得，对任意的n∈N+，n≥2），均有an＜1+成立．（III）⇒⇒⇒设g（x）=，则g（x）在（1，+∞）是增函数∴又∵19∴=即对任意的n∈N+，n≥2，均有﹣n＜+1成立．点评：本题综合考查了函数的单调性、函数与方程、数列的递推关系、等比数列的求和公式和运用放缩法证明不等式等知识点，属于难题．19
