2022年安徽省阜阳一中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合P={x|y=log2（x﹣3）}，，则下列选项正确的是（ ） A．P=QB．P∩Q=∅C．PQD．QP考点：集合的包含关系判断及应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据根式函数的值域，我们可以求出集合Q，根据对数函数的定义域，我们可以求出集合P，进而根据集合包含关系的判断方法得到两个集合之间的包含关系．解答：解：∵y=≥0，∴集合=[0，+∞）若y=log2（x﹣3）的解析式有意义，则x﹣3＞0，解得x＞3，∴集合P=（4，+∞），故PQ．故选C．点评：本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用，根式函数的图象和性质，对数函数的定义域，其中根据根式函数和对数函数的定义域及值域，求出集合P，Q是解答本题的关键． 2．（5分）已知f（x）的图象在[a，b]上连续，则“f（a）•f（b）＜0”是“f（x）在（a，b）内有零点”的（ ）条件． A．充分不必要B．必要不充分 C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由零点的存在性定理可知，前面能推出后面，而由后不能推前面，可举反例．解答：解：f（x）的图象在[a，b]上连续，只要满足f（a）•f（b）＜0，必有“f（x）在（a，b）内有零点”；而“f（x）在（a，b）内有零点”，不能推出f（a）•f（b）＜0，比如函数f（x）=x2，在区间（﹣1，1）上有零点0，但f（﹣1）•f（1）=1＞0，故“f（a）•f（b）＜0”是“f（x）在（a，b）内有零点”的充分不必要条件，故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及函数零点的判断，属基础题． 3．（5分）（2022•重庆）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ） A．B．C．D．13考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：分析法．分析：先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．解答：解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选A．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性．属基础题．三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键． 4．（5分）（2022•山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） A．﹣3B．﹣1C．1D．3考点：奇函数．分析：首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值．解答：解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．点评：本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）． 5．（5分）（2022•浙江模拟）若非零向量，满足，且，则向量，的夹角为（ ） A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算性质即可求出．解答：解：∵非零向量，满足，且，∴，13∴，∴=．∵，∴．故选A．点评：熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键． 6．（5分）（2022•湖北模拟）等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9﹣a10的值为（ ） A．20B．22C．24D．﹣8考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的通项，写出所给的条件a1+3a8+a15=120的变形式，用首项和公差来表示，化简以后得到第八项的值，把要求的式子进行整理，结果也是第八项，得到结果．解答：解：∵在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，∴5a8=120，∴a8=24，2a9﹣a10=a1+7d=a8=24故选C．点评：本题考查数列的通项，考查各项之间的关系，本题是一个基础题，主要考查数列的基本量之间的关系，是一个送分题目． 7．（5分）（2022•浙江模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若m∥n，mα，则n∥αB．若m∥n，mα，nβ，则α∥β C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：若m∥n，mα，则n∥α或n⊂α；若m∥n，mα，nβ，则α∥β或α与β相交；若α⊥γ，α⊥β，则β与γ平行或相交；由平面平行的判定定理知D正确．解答：解：若m∥n，mα，则n∥α或n⊂α，故A不正确；若m∥n，mα，nβ，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α⊥γ，α⊥β，则β与γ平行或相交，故C不正确；若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选D．点评：本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，是基础题．解题时要注意空间想象力的培养． 8．（5分）直线的倾斜角的取值范围是（ ） A．B．C．D．13考点：直线的一般式方程；直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：先求出直线斜率的取值范围，进而即可求出直线的倾斜角的取值范围．解答：解：设此直线的倾斜角为α（0≤α＜π）．由直线化为，得直线的斜率k=tanα=．∵﹣1≤cosθ≤1，∴，∴．∵0≤α＜π，∴α∈．故选D．点评：正确理解直线的倾斜角与斜率的关系及正切函数的单调性是解题的关键． 9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）在上R恒有，则不等式的解集为（ ） A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：f（x）＜+可为f（x）﹣﹣＜0，令g（x）=f（x）﹣﹣，利用导数可判断g（x）的单调性，依据单调性即可解出不等式．解答：解：可化为f（x）﹣﹣＜0，令g（x）=f（x）﹣﹣，则g′（x）=f′（x）﹣，因为，所以g′（x）＜0，所以g（x）在R上单调递减，当x＞1时，g（x）＜g（1）=f（1）﹣=0，即f（x）＜+．所以不等式的解集为（1，+∞）．故选A．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，解决本题的关键是恰当构造函数，利用函数单调性解不等式． 10．（5分）若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）13 A．0对B．1对C．2对D．3对考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．解答：解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案选C．点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决． 二．填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知i是虚数单位，a为实数，且复数在复平面内对应的点在虚轴上，则a= ﹣2 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i，化简可得，进而可得=0，解之即可．解答：解：=13==，因为复数z在复平面内对应的点在虚轴上，所以=0，解得a=﹣2，故答案为：﹣2点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义，属基础题． 12．（5分）空间直角坐标系中，已知点P（2，﹣3，1），P点关于xoy平面的对称点为P°，则|PP°|= 2 ．考点：空间中的点的坐标．专题：空间向量及应用．分析：先求出点P关于坐标平面的对称点，进而即可求出向量的坐标及模．解答：解：∵点P（2，﹣3，1）关于xoy平面的对称点P0（2，﹣3，﹣1），∴=（0，0，﹣2），∴==2．故答案为2．点评：熟练掌握向量的模的求法是解题的关键． 13．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．13点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 14．（5分）已知数列{an}满足a1=31，an+1=an+2n，n∈N+，则的最小值是 ．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：先求出其解析式，进而利用相应函数的导数求其最值即可．解答：解：∵数列{an}满足a1=31，an+1=an+2n，n∈N+，∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×1+31==n（n﹣1）+31．∴．设函数f（x）=x+﹣1，（x≥1），则=，令f′（x）=0，则，∴当时，f′（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，即函数f（x）单调递增．∴当x=时，函数f（x）取得最小值．根据以上函数f（x）的性质可知：对于来说，当n=6时，此式取得最小值．故答案为．点评：正确求出解析式和转化利用函数的单调性求最值是解题的关键． 15．（5分）下列命题中正确命题的序号是： ②③④ ①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b一定异面；②∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ；③∀x＞0，都有ln6x+ln3x+1＞0；④∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减；⑤∀ϕ∈R，函数y=sin（2x+ϕ）都不是偶函数．13考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：①利用异面直线的意义即可判断出；②取α=﹣，即可；③通过配方即可判断出；④取m=2即可；⑤取Φ=即可否定．解答：解：①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b可能相交或异面，但是一定不平行，故不正确；②取α=﹣，，则满足cos（α+β）=cosα+cosβ，故正确；③∵∀x＞0，都有ln6x+ln3x+1=＞0，因此成立；④当m=2时，f（x）=是幂函数，且在（0，+∞）上递减，因此正确；⑤取Φ=时，函数y=sin（2x+）=cos2x是偶函数，故⑤不正确．综上可知：正确答案为②③④．故答案为②③④．点评：熟练掌握异面直线的定义、三角函数的奇偶性与单调性、配方法及幂函数的定义及性质是解题的关键． 三．解答题（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+b，（1）若f（x）＜0的解集是（﹣5，2），求a，b的值；（2）若a=b，解关于x的不等式f（x）＞0．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣5，2）知﹣5，2是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；（2）把b替换下a，然后按照f（x）=0的两根大小关系分类讨论即可．解答：解：（1）由题意得，﹣5，2是方程x2﹣（a+1）x+b=0的两根，所以﹣5+2=a+1，﹣5×2=b，解得a=﹣4，b=﹣10．（2）当a=b时，f（x）＞0即x2﹣（a+1）x+a＞0，也即（x﹣a）（x﹣1）＞0，①当a＞1时，由f（x）＞0可得x＜1或x＞a；②当a=1时，由f（x）＞0可得x≠1；③当a＜1时，由f（x）＞0可得x＜a或x＞1；综上，当a＞1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞a}；当a=1时，f（x）＞0的解集为{x|x≠1}；当a＜1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜a或x＞a}．点评：13本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键． 17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，E为PC中点，（1）求证：AD⊥PC；（2）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明．解答：解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD．由已知矩形ABCD可得AD⊥DC．∵PD∩DC=D，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC．（2）连接BD交AC于点M，连接ME，则M点满足PA∥平面EDM．由矩形ABCD可得AM=MC，又已知PE=EC．根据三角形的中位线定理得EM∥PA．∵PA⊄平面EDM，EM⊂平面EDM，∴PA∥平面EDM．点评：熟练掌握线面垂直、平行的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．（12分）如图，一艘轮船在A处正沿直线返回港口B，接到气象台的台风预报，台风中心O位于轮船正西40km处，受影响的范围是半径为20km的圆形区域．已知港口B位于台风中心正北30km处．（1）建立适当的坐标系，写出直线AB的方程；（2）如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？（不考虑台风中心的移动）13考点：直线与圆的位置关系．专题：应用题；直线与圆．分析：（1）以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系．进而可推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，（2）求得圆心到直线的距离，根据圆心到直线的距离与半径的关系推断出轮船是否受台风影响．解答：（1）解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．∴A（40，0），B（0，30）∴直线AB的方程为即3x+4y﹣120=0（2）受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=202①则圆心到直线AB的距离d==24＞20∴O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O（0，0）到直线l的距离d=所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点． 19．（13分）A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边，已知，，且∥，B为锐角，（1）求B的大小；（2）如果b=3，求△ABC的面积的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．专题：解三角形．分析：（1）利用倍角公式和两角和的正弦公式及正弦函数的单调性即可求出；（2）利用余弦定理和三角形的面积计算公式及基本不等式的性质即可求出．解答：解：（1）∵，∴=0，化为，∴2，即．∵，∴，∴，解得．（2）由余弦定理可得，∴9=a2+b2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤9，13∴==．即△ABC的面积的最大值为．点评：熟练掌握正余弦定理、倍角公式、两角和的正余弦公式、三角形的面积计算公式及基本不等式的性质是解题的关键． 20．（13分）已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn），（n∈N+）都在函数y=f（x）的图象上，（1）求{an}的通项公式；（2）令，求{bn}的前n项和Tn；（3）令，证明：，n∈N+．考点：数列与不等式的综合；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用点（n，Sn），（n∈N+）都在函数y=f（x）的图象上，可得Sn=，再写一式，两式相减，即可求{an}的通项公式；（2）求出数列{bn}的通项，利用错位相减法，即可求得{bn}的前n项和Tn；（3）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可证明结论．解答：（1）解：∵点（n，Sn），（n∈N+）都在函数y=f（x）的图象上，∴Sn=∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣[]=n+1n=1时，也满足上式∴an=n+1；（2）解：=∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+∴Tn=+…++两式相减可得Tn=++…+﹣=3﹣﹣；（3）证明：==2+（）∴c1+c2+…+cn=2n+（++…+）=2n+13∴点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键． 21．（13分）已知a∈R，函数f（x）=ax﹣lnx，，x∈（0，e]，（其中e是自然对数的底数，为常数），（1）当a=1时，求f（x）的单调区间与极值；（2）在（1）的条件下，求证：；（3）是否存在实数a，使得f（x）的最小值为3．若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1），由x∈（0，e]和导数的性质能求出f（x）的单调区间、极值．（2）f（x）=x﹣lnx在（0，e]上的最小值为1，所以，由此能够证明f（x）＞g（x）+．（3），由此进行分类讨论能推导出存在a=e2．解答：解：（1），∵x∈（0，e]，由＞0，得1＜x＜e，∴增区间（1，e）．由＜0，得0＜x＜1．∴减区间（0，1）．故减区间（0，1）；增区间（1，e）．所以，f（x）极小值=f（1）=1．（2）由（1）知f（x）=x﹣lnx在（0，e]上的最小值为f（1）=1，∵g（x）=，∴，由＞0，解得0＜x≤e，∴g（x）在（0，e]上为增函数，13∴g（x）max=g（e）=，∵1＞，∴f（x）＞g（x）+．（3），①当a≤0时，f（x）在（0，e）上是减函数，∴ae﹣1=3，a=．②当时，f（x）=，f（x）在（0，e]上是减函数，∴ae﹣1=3，a=．③当时，f（x）在上是减函数，是增函数，∴，a=e2，所以存在a=e2．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．13
