阜阳一中2022届高三最后一次模拟数学理试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（）（A）（B）（C）（D）（2）已知全集，，则（）（A）（B）（C）（D）（3）设x,y满足约束条件则z=-2x+y的最小值为（）（A）－（B）－1（C）0（D）1（4）已知为等差数列，若，则（）（A）24（B）27（C）15（D）54开始，输出S结束是否（5）下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是（）（A）（B）（C）（D）（6）执行如右图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）（B）1（C）（D）2（7）已知函数y＝Asin＋m的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )（A）（B）（C）（D）（8）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如10图所示，则该几何体的体积为（）（A）7（B）（C）（D）（9）在矩形ABCD中，AB=1,AD=,P为矩形内一点，且.AP=若,则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）（10）某大学的8名同学准备拼车（共同租用两辆出租车）去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一有一对的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（）（A）24种（B）18种（C）48种（D）36种二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。（11）已知实数4，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（12）若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（13）已知函数．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围为（14）的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为10（15）给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数定义域是R，值域是；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数．则其中真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内，否则不给分。（16）(满分12分)如图,四边形中,,,为的内角的对边，且满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，设，,，求四边形面积的最大值.（17）（满分12分）已知,数列满足,数列满足……+；又知数列中，，且对任意正整数，.（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；（Ⅱ）将数列中的第项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.（18）（满分12分）已知抛物线C:的焦点F到其准线的距离为4，过F的直线L交曲线C于A,B两点,直线L的倾斜角为锐角。10（I）抛物线上一点满足PF轴，在轴上方，求证：过点且斜率为抛物线离心率的直线与抛物线相切；（II）线段AB的垂直平分线交轴于点.求证：为定值，并求出该定值。（19）.（满分13分）在平行六面体中，所有的棱长都为2，，平面平面（I）证明：；（II）若将平行六面体的各个面上的对角线的交点依次相连，求所得的以这些交点为顶点的多面体的体积；（Ⅲ）求二面角的正切函数值。（20）（满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2畅通；2～4基本畅通；4～6轻度拥堵；6～8中度拥堵；8～10严重拥堵．早高峰时段，从某市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用的平均时间．10（21）（满分13分）已知函数，，其中（I）过点作函数图像的切线，求证：切线有且只有两条；（II）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对任意的（为自然对数的底数）且，都有成立，求实数的取值范围。10安徽省阜阳一中2022届高三最后一次模拟考试数学(理科)参考答案三、解答题：16.………………………………2分17解：,=………………3分又由题知：令，则,………………5分若，则，，所以恒成立…………………………6分（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数项与偶数项仍分别成等比数列，首项分别是，公比均是…………9分…………………………………………12分18.解：易知，故抛物线C的方程：…………………2分10（1）易得，斜率1，直线方程为，与联立得，，命题成立…………………5分（2）设，直线，…………………6分由得。设的中点，则，…………………8分AB的中垂线方程为：令得…………………10分=8即为定值，定值为8…………………12分由（1）知，,又,,所以。故：,所以，多面体的体积为：…………………8分10（3）在中，作,由（2）知：,在,则就是二面角的平面角，在中，,，所以，,而所求二面角是二面角的补角故：二面角的平面角的正切值为。…………………13分20.解析：（Ⅰ）这50路段为中度拥堵的有18个．……………………………4分（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则事件B“至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是…………………………8分（III）分布列如下表：203036426000.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．……………………………13分21（1）命题“对任意的（为自然对数的底数）都有成立”等价于“当时，”。由知在上递增，所以【解法一】:等价于10而在上恒成立，所以……………4分【解法二】:由得，又可知在上递减，在上递增。当时，，由，得，即，矛盾；当时，，由，得，即，所以；当时，，由，得，即，所以方程在上有且仅有两个解，故切线有且只有两条。………9分1010
