兴宁一中高二下期理科数学中段试题2022.5.14一、选择题（每题只有一个答案是正确的，请选出正确答案，每题5分，共40分）1．已知，则是为纯虚数的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．用数学归纳法证明（），在验证当时，等式左边应为( )A.B.C.D.3.已知向量，，且，则向量的模为（）A．B．C．D．4.抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．5.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D．26.用反证法证明“如果，那么”时，假设的内容应是( )A.B.C.且D.或7.把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）A.5种B.1024种C.625种D.120种8.已知都是定义在上的函数，，，9\n且，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（填入正确答案，每题5分，共30分）9．已知，则点A到平面的距离为___。10．已知求。11.已知函数满足，且当时，，设，，，则、、的大小关系是________。12.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）。13.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为,则三棱锥体积。14.在数列中，已知，，记为数列的前项和，则。三、解答题（共80分，每题必须有解答过程，超出答题区域无效）15.（本小题满分12分）(1)设复数满足，其中为虚数单位，求复数.（2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，9\n求实数的集合。16.（本小题满分12分）已知函数。(1)若，求导函数曲线与直线，及轴所围成的面积；(2)求的单调区间。17．（本小题满分14分）数列满足。(1)计算，，，，并由此猜想通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．18．（本小题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于）到ABEF的位置。(1)求证:CE//平面ADF；(2)若K为线段BE上异于B,E的点，CE=．设直线AK与平面BDF所成角为,当时,求BK的取值范围。19.（本小题满分14分）已知两点，满足条件的动点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于不同两点A、B。（1）求k的取值范围；(2)若，求直线的方程。9\n20.已知函数，，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2。（1）求的值（2）若时，，求k的取值范围。兴宁一中高二下期理科数学中段试题2022.5.14参考答案一、选择题（每题只有一个答案是正确的，请选出正确答案，每题5分，共40分）题号12345678答案CDBDADAB二、填空题（填入正确答案，每题5分，共30分）9．110．2211. c<a<b12.369\n13.14.三、解答题（共80分，每题必须有解答过程，超出答题区域无效）15.解：(1)由已知条件可得：………………5分（2）由题意得……………………7分∴即………………10分解得。…………………12分16.解：(1)由已知，当时，，………………1分所以导函数曲线与直线，及坐标轴所围成的面积：=……………5分(2)………………6分①当时，由于，故，，所以函数的单调递增区间为(0，+∞).…………………9分②当时，由，得.在区间上，；在区间上，，所以函数的单调递增区间为(0，-1a)，单调递减区间为(-1a，+∞)…12分17解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，………………2分由此猜想……………………5分(2)证明：当n＝1时，a1＝1，结论成立．……………7分假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，…………8分那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak，…………10分9\n∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立．…………13分综上可知，数列的通项公式为an＝(n∈N*)…………14分18.(1)证明：正方形ABCD中，CDBA，正方形ABEF中，EFBA．…………2分EFCD，四边形EFDC为平行四边形，CE//DF．…………3分又DF平面ADF，CE平面ADF，CE//平面ADF．…………6分(2)解：BE=BC=2，CE=，，∆BCE为直角三角形，BEBC，……………6分又BEBA，BCBA=B，BC、BA平面ABCD，BE平面ABCD．……………8分以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），，．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为．由，，得可取，…10分又，于是sin=，，，即…………12分结合，解得，即BK的取值范围为（0，]．…14分9\n19.解（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且c=,a=1，易知b=1…………………………1分故曲线E的方程为x2-y2=1（x>0）……………2分设，由题意建立方程组消去，得 …………………4分 又已知直线与双曲线右支交于两点，则 解得即k的取值范围是 ………7分（2）∵ ………………………10分依题意得，……………………11分整理后得，解得又，，……………………13分故直线AB的方程为 …………14分9\n20.解：（1）由题意可得：，，…………1分∵曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2，则：………3分故∴，，，………4分（2）由（1）知，.设，则.由题设可得，得.令，即，得，…………………7分（ⅰ）若，则，从而当时，当时，，即在单调递减，在单调递增，故在上有最小值为..故当时，恒成立，即………………9分（ⅱ）若当，则，当时，，即在上单调递增，而,故当且仅当时，恒成立，即………………11分（ⅲ）若，则.9\n从而当时，不可能恒成立.……………13分综上，的取值范围为……………………14分9
