2022—2022学年第一学期东莞一中、松山湖学校12月月考高三文科数学参考公式:锥体的体积公式:.其中是锥体的底面积，是锥体的高.柱体的体积公式:.其中是柱体的底面积，是柱体的高.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数的实部为，且，则复数的虚部是()A．B．C．D．开始输入整数是否输出结束3.一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为()A． B．C． D．4.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为()A．B．C．D．5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．B．C．D．6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是()A．B．C．D．157.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=()A．B．C．D．8.已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为()侧（左）视图421俯视图2正（主）视图（第9题图）A．B．C．D．9.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是()A．B．C．D．10.已知是内的一点，且，，若，和的面xy（第11题图）OF1F2A积分别为，则的最小值是()A．B．C．D．11.如图，椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为,且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A．2 B．C．D．12.已知函数,则的值为()A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）1513.在中,,则_____________．14.曲线在处的切线方程为_____________．15.若满足且的最小值为，则的值为________．16.已知三棱锥,,,且，则三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分12分）已知为等差数列,且数列的前项的和为，且（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.（本小题满分12分）高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．19.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.15PABCDM(1)在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；(2)求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知圆：关于直线对称的圆为．（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）设函数，．其中（1）设，求函数在上的值域；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（1）证明：；（2）若，，求的直径．1523.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程曲线的参数方程为:（为参数），曲线的参数方程为:（为参数）.（1）求曲线的普通方程，若以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,求曲线的极坐标系方程；（2）若点为曲线上任意一点，求点到曲线距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）求的最大值．152022—2022学年第一学期东莞一中、松山湖学校12月月考高三文科数学参考答案一．选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCCDAABCCBD二、填空题：(每小题5分，共20分)11.212.13.－14.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分12分）已知为等差数列,且，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）∴，公差…………………………1分∴ …………………………2分又当=1时，有…………………………3分当……………4分∴数列{}是首项，公比等比数列，∴ …………………………6分（2），设数列的前项和为，(1)…………7分15(2) …………8分得：…………10分化简得： ……………………12分18.（本小题满分12分）高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．解：（1）设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为………1分把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有：共种，………4分其中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………6分（只是列出组合，没考虑顺序的同样给分）15（2），………8分20220325，………11分第二同学B的实验更稳定………………12分19.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.PABCDM(1)在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；(2)求点到平面的距离.(1)当点为棱的中点时,,证明如下:………………1分取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,在菱形中可得………………3分PABCDMQO、所以………………5分(2)点到平面的距离即点到平面的距离,由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,即为三棱锥的体高.………………7分在中,,,在中,,,边上的高,15所以的面积,………………9分设点到平面的距离为,由得………………10分,又,所以,………11分解得,所以点到平面的距离为.………………12分20.（本小题满分12分）已知圆：关于直线对称的圆为．（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.20．解：（1）圆化为标准为.……………………1分设圆的圆心关于直线的对称点为，则且的中点在直线上，所以有，……………………3分解得，……………………4分所以圆的方程为15.……………………5分（2）由可知四边形为平行四边形.又，所以四边形为矩形，所以.要使，必须使，即：.……………………6分①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程，与圆交于两点.因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线：满足条件.……………………7分②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.设.由得.……………………8分由于点在圆内部，所以恒成立.由韦达定理得：，.………………9分要使，必须使，即：也就是：.15整理得：.解得：.所以直线的方程为.…………………11分所以存在直线和，它们与圆交于两点，且四边形的对角线相等．……………………12分21．（本题满分12分）设函数，．其中（1）设，求函数在上的值域；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．21．（本题满分12分）解析：（1），……………1分令，则，当时，，在上单调递减函数，当时，，在上单调递增函数，……………………3分又依据，，…………4分∴在上有最小值，有最大值15即函数在上的值域．…………………5分（2），当时，令，则，…………………6分故，∴，…………………7分原不等式化为，即，令，则，…………………8分由得：，解得，当时，；当时，．故当时，取最小值，…………………10分令，则．故，即．因此，存在正数，使原不等式成立．…………………12分15请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（1）证明：；（2）若，，求的直径．22．又，所以，从而.又切圆于点，得，所以.（2）由（I）知平分，则,又，从而，所以，所以.由切割线定理得，即，故，即圆的直径为.23.（本小题满分10分）曲线的参数方程为:（为参数），曲线的参数方程为:（为参数）.（1）求曲线的普通方程，若以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,求曲线的极坐标系方程；（2）若点为曲线上任意一点，求点到曲线距离的最小值.23.解的普通方程为:15………2分曲线的普通方程为………3分曲线的极坐标系方程………5分（2）设，则求点到曲线距离为………7分………9分故当=时，有最小值为………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）求的最大值．15故.15
