东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考理科数学试题第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.若集合=A.B.C.D.2.复数是纯虚数，则实数的值为A.-1B.－2C.2D.2或－13.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:(1)α∥β⇒l⊥m;(2)α⊥β⇒l∥m;(3)l∥m⇒α⊥β;(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题( )A.(1)(2) B.(2)(4)C.(1)(3)D.(3)(4)4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为A.B.+6C.+4D.+65．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?6.函数的最小正周期是A.B.C.D.7.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则A.B.C．1D．2108．已知圆C：，若点P（，）在圆C外，则直线l:与圆C的位置关系为A．相离B．相切C．相交D．不能确定9.的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量,，若，则角的大小为A．B．C．D．10.已知函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为A．B．C．D．11.已知点为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得则此椭圆的离心率的取值范围是A.(0,B.(0,C.(D.[12.对于函数,若,为某一三角形的三条边，则称为“可构造三角形函数”，已知函数（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.由曲线，直线直线围成的封闭图形的面积为14.设数列的前项和为，且数列是首项和公比都是3的等比数列，则的通项公式＝15．外接圆半径为，内角A,B,C对应的边分别为，若A=60°，，则10的值为16.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面，是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（12分）已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，(Ⅰ)求和的通项公式；（Ⅱ）设，求.18.（12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？19.（12分）如图，在四棱锥中，//，，，，平面平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.20.（12分）设M是焦距为2的椭圆E：（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－．（1）求椭圆E的方程；10（2）已知椭圆E：（a＞b＞0）上点N（，）处切线方程为，若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．21.（12分）已知函数f(x)＝＋lnx在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，t∈R.(Ⅰ)求θ的值；(Ⅱ)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；(Ⅲ)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得g(x0)>f(x0)成立，求t的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号.22.(10分)选修4－1：几何证明选讲如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连接并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点．(1)求证：；(2)求证：是圆的切线．23.(10分)选修4-4：极坐标系与参数方程在极坐标系下,已知圆和直线(I)求圆和直线的直角坐标方程;（II）当时,求直线和圆公共点的极坐标.24.(10分)选修4-5：不等式选讲已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(I)求a的值；（II)若≤k恒成立，求k的取值范围．1010东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考理科数学参考答案2022.12.24一、选择题：1——5ACCDB；6——10CBCBB；11——12DD二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.(1))3分;6分(2)12分18．Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为=120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。得奖金30的概率为P（ξ=30）=奖金为0的概率为P（ξ=0）=ξ的分布列为：ξ03060240P6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=10分四次抽奖是相互独立的,所以中奖次数η～B（4，）故.12分19.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴2分10∵平面平面，平面平面∴平面∴，4分∵∴平面.5分∴平面平面.6分（Ⅱ）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由△△，知，∵∴，∵∴，9分作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.10分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为.12分法二：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面又∵，故可如图建立空间直角坐标系2分由已知，，，（）∴，，∴，，∴，，∴平面.4分∴平面平面6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则10分∴，11分显然二面角10的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为12分21.解：(1)由已知得f′(x)＝－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，即≥0在[1，＋∞)上恒成立，2分∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，∴sinθ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sinθ·1－1≥0，即sinθ≥1，∴sinθ＝1，由θ∈(0，π)，知θ＝.4分(2)∵t＝0，∴g(x)＝－－lnx，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝－＝，5分令g′(x)＝0，则x＝2e－1∈(0，＋∞)，∴x，g′(x)和g(x)的变化情况如下表：x(0,2e－1)2e－1(2e－1，＋∞)g′(x)＋0－10g(x)↗极大值↘即函数的单调递增区间是(0,2e－1)，单调递减区间是(2e－1，＋∞)，极大值是g(2e－1)＝－1－ln(2e－1)．7分(3)令F(x)＝g(x)－f(x)＝tx－－2lnx，当t≤0时，由x∈[1，e]有tx－≤0，且－2lnx－<0，∴此时不存在x0∈[1，e]使得g(x0)>f(x0)成立9分当t>0时，F′(x)＝t＋－＝，∵x∈[1，e]，∴2e－2x≥0，又tx2＋t>0，∴F′(x)>0在[1，e]上恒成立，故F(x)在[1，e]上单调递增，∴F(x)max＝F(e)＝te－－4，令te－－4>0，则t>11分故所求t的取值范围为.12分22.证明：（1）因为是圆的直径，是圆的切线，所以.又因为，所以，可知，，所以，所以.因为是的中点，所以，所以是的中点，.………5分（2）如图，连接，因为是圆的直径，所以在中，由（Ⅰ）知是斜边的中点，所以，所以.又因为，所以．因为是圆的切线，所以.因为，所以是圆的切线.………10分23.解：(1)圆:2分直线方程为5分(2)极坐标为(1,)10分1010
