惠州市2022届高三第二次调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合，集合，则等于()（A）(1,2)（B）(1,2]（C）[1,2)（D）[1,2]（2）在复平面内，复数所对应的点位于()（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率等于()（A）（B）（C）（D）（4）已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是()（A）在方向上的投影为（B）俯视图主视图侧视图（C）（D）（5）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积()（A）（B）（C）（D）（6）惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在-15-岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()（A）岁（B）岁（C）岁（D）岁（7）函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像()（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位（8）若函数（0且）在上既是奇函数又是增函数，则的图像是()（A）（B）（C）（D）（9）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有()（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个（10）已知变量满足,则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）（11）由等式,定义映射，则()（A）0（B）10（C）15（D）16（12）如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为()-15-（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．（14）在中，设角的对边分别是，且，，则．（15）如图所示程序框图，输出的结果是．（16）若数列满足(为常数，,)，则称数列为等方差数列，为公方差，已知正数等方差数列的首项，且，，成等比数列，，设集合，取的非空子集，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知是公差为2的等差数列，且是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．（18）（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)-15-芯片甲81240328芯片乙71840296（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布列和数学期望值．（19）（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角余弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数．-15-（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若函数与有相同极值点．①求实数的值；②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围．-15-请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点．（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）求证：．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．惠州市2022届高三第二次调研考试数学（理科）答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。-15-题号123456789101112答案BACDACDCBBAC（1）【解析】集合=，集合=，所以=(1,2]，故选B．（2）【解析】，故选A．（3）【解析】由渐近线知，则双曲线的离心率，故选C．（4）【解析】因为为单位向量，所以，故选D．（5）【解析】把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径，所以，所以外接球的表面积为，故选A．（6）【解析】由面积和为1，知的频率为，为保证中位数的左右两边面积都是，必须把的面积划分为，此时划分边界为，故选C．（7）【解析】由图像知，，，，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．（8）【解析】是奇函数，所以，即，所以，即，又函数在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知，所以函数，故选C．（9）【解析】据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个．所以共有个，选B．-15-（10）【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以．故选．（11）【解析】由定义可知，令得，，所以，即，故选A．（12）【解析】因为，令，则，所以．令，则当时，，所以在上单调递增．又因为，所以在上有唯一零点，所以的值所在区间为．故选．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13），（14），（15），（16）（13）【解析】．（14）【解析】由正弦定理，所以，代入得．（15）【解析】本程序框图中循环体为“直到型”循环结构，第1次循环：，，；第2次循环：，，；第3次循环：，，；结束循环，-15-输出．（16）【解析】根据等方差数列的即时定义得，，令，则，由得可取1,2,3……6，即集合中有六个整数，于是中的完美子集的个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）解（Ⅰ），又d=2，得=3，………………………2分，的通项公式为……5分（Ⅱ）………………………………………………6分=…………8分……………………………………………11分数列的前项和…………………………………12分（18）（本小题满分12分）解（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为＝，…………………1分芯片乙为合格品的概率约为＝．…………………2分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为，…………………………4分×＝，×＝，×＝，×＝，……………8分所以随机变量的概率分布列为-15-……………………………10分．所以随机变量的数学期望值为．…………………………………12分（19）（本小题满分12分）解（Ⅰ）取中点，连结，．因为，所以．……1分因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．……2分又，………………………………3分面，面，……………4分所以平面，又面，所以．………………………………5分（Ⅱ）因面面，且，所以面，所以．由两两垂直，建立如图的空间直角坐标系．………………6分因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，，，．所以，，，………………7分设平面的一个法向量为．则，所以可取……………………8分设平面的一个法向量为．则，所以可取………………9分所以，………………………………………………11分-15-由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分（20）（本小题满分12分）解（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，…1分又抛物线的焦点为，所以，………2分椭圆的方程是.……………………………………………3分（Ⅱ）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是.………………………………………4分由解得即两圆相切于点.………………………5分因此所求的点如果存在，只能是.事实上，点就是所求的点.证明如下：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点.……………………………6分当直线不垂直于轴时，可设直线.………………………………7分由消去得.…………………8分设，则…………………………………9分又因为，…………………………………………………10分-15-………………………………………………………………………11分,即以为直径的圆恒过点.故在坐标平面上存在一个定点满足条件.………………………………12分（21）（本小题满分12分）解（Ⅰ），…………………………1分由得；由得.在上为增函数，在上为减函数.……………………2分函数的最大值为.…………………………………………3分（Ⅱ）.①由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点，是函数的极值点，，解得.……………………………………………4分经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意.……5分②，易知，即.………7分由①知.-15-当时，；当时，.故在上为减函数，在上为增函数.，而..…………………9分当，即时，对于，不等式恒成立.，.……………………………………………10分当，即时，对于，不等式恒成立.，.………………………………11分综上，所求实数的取值范围为.…………………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连结.∵点是中点，点是中点，∴，∴，.∵，∴，∴.在和中，∵，，-15-∴，即.∵是圆上一点，∴是圆的切线.………………………………5分（Ⅱ）延长交圆于点.∵≌，∴.∵点是的中点，∴.∵是圆的切线，∴.∴.∵，∴.∵是圆的切线，是圆的割线，∴，∴……………………10分23.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）将直线消去参数得普通方程，…2分将代入得.……4分化简得……4分（注意解析式不进行此化简步骤也不扣分）（Ⅱ）方法一：的普通方程为.…………………………6分由解得：或………………………8分所以与交点的极坐标分别为：，.……………………10分方法二：由，……………………………6分得：，又因为…………………………8分所以或-15-所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分24.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当时，所以或或………………………3分解得或或……………………………………4分综上，不等式的解集为.……………………………………………5分（Ⅱ），转化为令，……………………………………6分，……………………………………7分时，,……………………………………………8分令得………………………………………………10分-15-
