2022年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•潮州二模）设i为虚数单位，则复数等于（ ） A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题． 2．（5分）（2022•东莞二模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（ ） A．∀x∈R，x2+1＜1B．∃x∈R，x2+1≤1C．∃x∈R，x2+1＜1D．∃x∈R，x2+1≥1考点：Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选C．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键． 3．（5分）（2022•佛山一模）程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是（ ）15\n A．10B．11C．12D．13考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环abi循环前/421第一圈是212第二圈是13第三圈是4第四圈是5…第9圈是10第10圈是11第11圈是12第12圈是13第13圈否该程序运行后输出的i的值是13，15\n故选D．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题． 4．（5分）（2022•佛山一模）已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（ ） A．2B．﹣2C．8D．﹣8考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．解答：解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又因为，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C点评：本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系，属基础题． 5．（5分）（2022•潮州二模）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（ ） A．﹣3B．C．5D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，15\n其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故选：C点评：题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 6．（5分）（2022•佛山一模）已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（ ） A．6B．7C．8D．9考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合M中的不等式表示数轴上到1的距离与到4的距离之和小于5，求出x的范围，确定出M，由M与N的交集及N，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：由集合M中的不等式，解得：0＜x＜5，∴M={x|0＜x＜5}，∵N={x|a＜x＜6}，且M∩N=（2，b），∴a=2，b=5，则a+b=2+5=7．故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 7．（5分）（2022•河东区二模）函数f（x）=ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=ex+x2﹣2得f'（x）=ex+2xf''（x）=ex+2＞0从而f'（x）是增函数，15\nf'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点．故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档． 8．（5分）（2022•佛山一模）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点∴双曲线的顶点是，焦点是（±a，0）设双曲线方程为∴双曲线的渐近线方程为∵∴n=b∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴m=n∴a2﹣b2=b2∴c2=a2﹣c2∴a2=2c215\n∴∴故选D．点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是关键． 9．（5分）（2022•佛山一模）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为（ ） A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过正视图与俯视图，判断几何体的形状，然后推断侧视图的图形即可．解答：解：由题意可知，几何体是长方体被截去正面左上部一个角的图形，如图：因此它的侧视图是故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力． 10．（5分）（2022•济宁二模）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（ ） A．3B．C．5D．7考点：基本不等式．15\n专题：不等式的解法及应用．分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，则则≥2×=3，当且仅当时取等号，则的最小值是3．故选A．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题． 二、填空题：必做题（11～13题）每小题5分．11．（5分）（2022•上海）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 2 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决． 12．（5分）（2022•佛山一模）函数y=sinx+sin（x﹣）的最小正周期为 2π ，最大值是 ．考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的正弦函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出函数的周期与最大值．解答：解：因为函数y=sinx+sin（x﹣）=sinx+sinx﹣cosx=sin（x﹣）．所以函数的周期为T==2π（2分）；函数的最大值为：（3分）故答案为：2π；．点评：本题考查三角函数的化简求值，函数周期的求法，考查基本知识的应用． 13．（5分）（2022•佛山一模）观察下列不等式：15\n①＜1；②+；③；…则第5个不等式为 ．考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：压轴题；规律型．分析：前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右边应是根号内的序号数．解答：解：由①＜1；②+；③；归纳可知第四个不等式应为；第五个不等式应为．故答案为．点评：本题考查了合情推理中的归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理．是基础题． 三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）每小题5分14．（5分）（2022•崇明县二模）在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为 ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将直线极坐标方程（ρ∈R）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直的直线方程，最后再化成极坐标方程即可．解答：解：由题意可知直线（ρ∈R）的直角坐标方程为：x﹣y=0，过点（1，0）且与直线x﹣y=0垂直的直线方程为：y=﹣（x﹣1），即所求直线普通方程为x+y﹣1=0，则其极坐标方程为．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．15\n 15．（2022•佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC= 1：4 ．考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出．解答：解：如图所示，设直线l交CD的延长线于点N．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵M是边AB的中点，∴．∴，∴．故答案为1：4．点评：熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 四、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2022•崇明县二模）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=．（1）求cosα；（2）求BC边上高的值．考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα（2）方法一、由15\n可求sinα，而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，利用sin∠CAD=sin（）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解方法二、作BC边上的高为AH，在直角△ADH中，由（1）可得，设出AD，则可表示DH，AH，结合△AHC为等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴，∵，∴cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）方法一、由（1）得=，∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，∴sin∠CAD=sin（）=sin==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）在△ACD中，由正弦定理得：，∴AD==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）则高h=ADsin∠ADB==4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法二、如图，作BC边上的高为AH在直角△△ADH中，由（1）可得=，则不妨设AD=5m则DH=3m，AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）注意到C=45°，则△AHC为等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，则1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以m=1，即AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式15\n 17．（12分）（2022•佛山一模）组别候车时间人数一[0，5）2二[5，10）6三[10，15）4四[15，20）2五[20，25]1城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）累积各组组中与频数的积，可得这15名乘客的这15名乘客的总和，除以15可得这15名乘客的平均候车时间；（2）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．解答：解：（1）=min．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）候车时间少于10分钟的概率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以候车时间少于10分钟的人数为人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人有包含以下15个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题． 18．（14分）（2022•佛山一模）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．15\n考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC=AC算出∠ABC=30°，进而得到．△BCD中用余弦定理算出CD长，从而CD2+DB2=BC2，可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；（2）根据（1）中计算的结果，利用锥体体积公式算出，而VP﹣BDC=VD﹣PDC，由此设点D到平面PBC的距离为d，可得，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．解答：解：（1）∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，，由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DB•BCcos30°=3，∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵，，，∴△PBC为等腰三角形，可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）设点D到平面PBC的距离为d，由VP﹣BDC=VD﹣PBC，得，解之得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识，属于中档题． 19．（14分）（2022•佛山一模）数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}与{bn}的通项公式；（3）求证：＜5．15\n考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由Sn=2an﹣2，分别令n=1，2，3可求a1，a2，a3（2）n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可得an=2an﹣1，结合等比数列的通项公式可求an，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项（3）令Tn=，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明解答：（本题满分14分）解：（1）∵Sn=2an﹣2，∴当=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2；当n=2时，S2=2+a2=2a2﹣2，解得a2=4；当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得an=2an﹣1又，a1=2，∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{an}的通项公式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列得（2+2d）2=2（2+10d），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得d=0（舍去）或d=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴bn=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）令Tn==，∴2Tn=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）两式式相减得=2+=5﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又＞0，故：＜5．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公、性质及等差数列的通项公式的应用，数列的错位相减求和方法的应用，适用具有一定的计算量 15\n20．（14分）（2022•佛山一模）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（m，n）．（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圆的方程；（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．考点：圆的一般方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；综合题；直线与圆．分析：（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意，求得D，E，F即可；法2：可求得线段AC的中点为（﹣，），直线AC的斜率为k1=及线段AC的中垂线的方程，从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，从而知△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆；法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=﹣，由k1•k2=﹣1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆；（2）设点R的坐标为（2，t），由A，C，R三点共线，而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2）可求得t=，继而可求得直线CD的方程，于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r，从而可判断直线CD与圆O相切．解答：解：（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可得，解得D=E=0，F=﹣4，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣4=0，即x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法2：线段AC的中点为（﹣，），直线AC的斜率为k1=，∴线段AC的中垂线的方程为y﹣=﹣（x+），线段AB的中垂线方程为x=0，∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法3：∵|OC|==2，而|OA|=|OB|=2，∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）法4：直线AC的斜率为k1=，直线BC的斜率为k2=﹣，∴k1•k2=﹣1，即AC⊥BC，∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为（2，t），∵A，C，R三点共线，∴∥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）15\n而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），∴t=，∴点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴直线CD的斜率为k===，而m2+n2=4，∴m2﹣4=﹣n2，∴k==﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，所以直线CD与圆O相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查圆的一般方程，考查圆的方程的确定，突出考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离，考查推理分析与运算能力，属于难题． 21．（14分）（2022•佛山一模）设函数f（x）=，x≠0．（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性．（2）先将|f（x）﹣1|化为|f（x）﹣1|=，从而原不等式化为＜a，即ex﹣（1+a）x﹣1＜0．令∅（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．解答：解：（1）f′（x）==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令h（x）=（x﹣1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x﹣1）=xex，当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，∴h（x）＞h（0）=015\n故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）|f（x）﹣1|=||，当x＞0时，令g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，原不等式化为＜a，即ex﹣（1+a）x﹣1＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令∅（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=ex﹣（1+a），由∅（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0．故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0．因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用．利用导数判断函数的单调性常用的方法． 15
