湖北省八校2022届高三第二次联考数学试题（文科）考试时间：2022年4月1日下午15:00—17:00试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合（其中为虚数单位），，，则复数的共轭复数为A．B．C．D．2．若变量，满足约束条件，则的最大值为 A．B．C．D．3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报专业的人数为A．10B．20C．8D．164．已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且，，则的面积等于A．B．C．D．2正视图俯视图11第6题图侧视图5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A．B．C．D．-13-6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A．B．C．D．7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为，，则直线与圆无公共点的概率为A.B.C.D.8．下列命题为真命题的是A．已知，则“”是“”的充分不必要条件B．已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C．已知两个平面，，若两条异面直线满足且∥，∥，则∥D.，使成立9．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为A．B．C．D．10．已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点,位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于和，则点所在曲线为A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线-13-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．11．设向量，，则向量在向量方向上的投影为．开始输出结束否是12．已知为钝角，且，则=．13．设函数，则方程的解集为．14．已知抛物线的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则．15．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是．16．在上的函数满足：①为正常数）；②当时，，若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于__________．17．若集合具有以下性质：①，；②若，则；且时，，则称集合是“完美集”．给出以下结论：①集合是“完美集”；②有理数集是“完美集”；③设集合是“完美集”，若,，则；④设集合是“完美集”，若,，则必有；⑤对任意的一个“完美集”，若，且，则必有．其中正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题满分12分）函数（其中）的图象如图所示，-13-把函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且．若向量与共线，求的值．19.（本小题满分12分）数列中，，，数列满足，．（Ⅰ）若数列是等差数列，求数列的前项和；（Ⅱ）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．20.（本小题满分13分）AFEDBCAlBCEOF如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合，点为的中点，设面与面相交于直线，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：面．-13-21.（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（）．22．（本小题满分14分）已知椭圆：，若椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长．已知点，过点的直线与椭圆交于,两点，点与点关于轴对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）证明：直线恒过某定点．鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中华师一附中湖北省八校2022届高三第二次联考数学试题（文科）参考答案一、选择题1-56-10二．填空题11.12.13.14．-13-15.16.17②③④⑤1.【解析】选．由，可得，即得，，的共轭复数为2.【解析】选．线性约束区域如下图，看作是，当经过与的交点时，取最大值．3.【解析】选．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A专业的有(1+0.75+0.25)0.250=20(人).4.【解析】选.由正弦定理可得，即，所以，因此这是一个正三角形．5.【解析】选．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，根据题意，于是有[20+()+()]()，解得=．6.【解析】选．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为，那么外接球的表面积为．7．【解析】B．直线与圆无公共点,则有，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为．-13-8.【解析】选．选项中，是的必要不充分条件，所以错；选项中，由得或，可以推出；但若，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出，所以错；选项中，当时，，所以错．9.【解析】选．选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．10【解析】选．结合二次函数的顶点坐标为()，根据题意可得，①，二次函数图像和x轴的两个交点分别为()和()，利用射影定理即得：，结合①先求出和之间的关系，代入①可得到，()所在的曲线为，表示椭圆．11.【解析】．向量在向量方向上的投影为．12.【解析】．，即，又为钝角，，．13．【解析】．令=或=或．14.【解析】．点只能在抛物线上半部分，设点为，，-13-，解得，．15．【解析】6．因为，即过A点的切线斜率为，与直线垂直，可得=－1从而，，程序的算法中，，跳出循环时．16．【解析】．先令，那么，=；再令，那么，=；分别算出它们的极值点为()，,，三点共线解得．17.【解析】②③④⑤①－1，1，但是，不是“完美集”；②有理数集肯定满足“完美集”的定义；③0，，0－=－，那么；④对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而，那么，所以，进而，结合前面的算式，；-13-⑤，若，那么，那么由(4)得到：．三．解答题18（Ⅰ）由函数的图象，，得，又，所以． ……………………3分由图像变换，得．……………………6分（Ⅱ）∵，即∵，，∴，∴．………………………………………………7分∵共线，∴．由正弦定理，得①………………………………9分∵，由余弦定理，得②……………………11分解方程组①②，得．……………………………………12分19.（Ⅰ），且是等差数列，，当为奇数时，，即；当为偶数时，，则，，………………6分-13-（Ⅱ）是公差为的等差数列,，．当为奇数时，；当为偶数时，．即且，因为，， ………………………………………12分20．解析：（Ⅰ）．……………分（Ⅱ）①，在中，连接,得,且②结合①②得，即面． ………………………………………………13分21．（Ⅰ），（），，-13-即，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………………………４分（Ⅱ）方法1：因为，对任意的恒成立,由（1）知，则有，所以．……………………………………………9分方法2：记，，,，，由得即上为增函数； 上为增函数；在上为减函数．因为对 即要求恒成立,所以符合且 得．………………………………………………………………分（Ⅲ），由（Ⅰ）知，则（当且仅当取等号）．令（），即，则有-13- 则得证………………………………………………………………14分22．解：（Ⅰ）由题意知，解得，故椭圆的方程．……………………………………………………分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由得．①设点，，，即．……………………………………………………分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，直线的方程为．令，得．将，代入，-13-整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直线恒过定点．…………………………………………14分-13-
