高三理科数学八校联考第二次试卷鄂南高中黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学襄樊四中襄樊五中孝感高中命题人：襄樊五中刘军何宇飞审题人：襄樊四中尹春明考试时间：2022.3.27下午15：00～17：00一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.成立的充要条件是（）2.设复数，（），若为实数，则等于（）3.已知、是不共线的向量，，（、），则、、三点共线的充要条件是（）4.设映射是实数集到实数集的映射，若对于实数，在中不存在原象，则的取值范围是（）5.等差数列中，是其前项和，，，则的值为（）6.已知函数（）（其中是自然对数的底数）的反函数为，则有（）10/10\n7.要从名女生和名男生中选出名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（）8.半径为的球面上有、、三点，其中点与、两点间的球面距离均为，、两点间的球面距离均为，则球心到平面的距离为（）9.已知函数（，）对定义域内的任意，都满足条件，若，，则有（）10.已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设实数、满足，则的取值范围是__________.12.设是的展开式中项的系数（、、、…），则_____________.13.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值为_____________.10/10\n14.在中，，以点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边上，且这个椭圆过、两点，则这个椭圆的焦距长为_____________.15.设、、依次是的角、、所对的边，若，且，则_____________.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）已知向量，（，）.函数，的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间。17．（本小题满分12分）在某社区举办的《2022奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；（Ⅱ）用表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望.10/10\n18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。（Ⅰ）试确定的值，使得；（Ⅱ）若，求二面角的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到面的距离。19．（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有.10/10\n20．（本小题满分13分）如图，已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.（Ⅰ）当为定值时，求证为定值（与无关），并求出这个定值；（Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程。21．（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足.令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求证：（）；（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，10/10\n湖北省2022届八校联考第二次理科数学选择题答题卡题号12345678910答案11.；12.；13．或或；14.；15．.16【解】（Ⅰ）…………3′由题意得周期，故.…………4′又图象过点，∴即，而，∴，∴………6′（Ⅱ）当时，∴当时，即时，是减函数当时，即时，是增函数∴函数的单调减区间是，单调增区间是…………12′17．【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即∴，.…………6′10/10\n（Ⅱ）由（Ⅰ），.的可能取值为：、、、.则；；；.…………9′∴的分布列为的数学期望.…………12′18【法一】（Ⅰ）当时，作在上的射影.连结.则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点，即.反之当时，取的中点，连接、.∵为正三角形，∴.由于为的中点时，∵平面，∴平面，∴.……4′（Ⅱ）当时，作在上的射影.则底面.作在上的射影，连结，则.∴为二面角的平面角。又∵，∴，∴.∴，又∵，∴.∴，∴的大小为.…8′（Ⅲ）设到面的距离为，则，∵，∴平面,∴即为点到平面的距离，又，∴.即，解得.即到面的距离为.……12′【法二】以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则、、.10/10\n（Ⅰ）由得，即，∴，即为的中点，也即时，.…………4′（Ⅱ）当时，点的坐标是.取.则，.∴是平面的一个法向量。又平面的一个法向量为.∴，∴二面角的大小是.……8′（Ⅲ）设到面的距离为，则，∴到面的距离为.…12′19【解】（Ⅰ）∴的增区间为，减区间为和.极大值为，极小值为.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为.∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而…8′（Ⅲ）设则.∴当时，，故在上是减函数，又当、、、是正实数时，∴.由的单调性有：，10/10\n即.…………12′20．【解】（Ⅰ）设点的坐标为，曲线的方程可写成：，∴∴…2′又…………4′∴为定值。……6′（Ⅱ）如图设点的坐标为，则.由（Ⅰ）知：，则直线.∵过点，则，即，∴点.…8′将代入曲线的方程得.∴.由重要不等式得.……10′当且仅当“”成立时，有，解得∴，.……13′21．【解】（Ⅰ）由题意知即……1′∴……2′检验知、时，结论也成立，故.…………3′（Ⅱ）由于故10/10\n.…………6′（Ⅲ）（ⅰ）当时，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，∴.取等于不超过的最大整数，则当时，.…9′（ⅱ）当时，∵，，∴，∴.∴.由（ⅰ）知存在，当时，，故存在，当时，，不满足条件.…12′（ⅲ）当时，∵，，∴，∴.∴.取，若存在，当时，，则.∴矛盾.故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.…………14′本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！10/10
