2022-2022学年上学期高三数学（文科）期末八校联考试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∩B等于（ ） A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{1，2} 2．设i为虚数单位，复数等于（ ） A．1+iB．﹣1﹣iC．1﹣iD．﹣1+i3．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ） A．πB．2πC．3πD．4π4．执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ） A．120B．720C．1440D．50405．已知{an}为等差数列，且a3+a8=8，则S10的值为（ ） A．40B．45C．50D．556．双曲线的离心率e为（ ） A．B．C．D． 7．已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=（ ） A．B．﹣C．D．﹣8．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（ ） A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1B．（x+1）2+（y﹣2）2=1-9-C．（x+2）2+（y﹣1）2=1D．（x﹣1）2+（y+2）2=19．双曲线x2﹣y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ） A．B． C．D．10．已知均为单位向量，那么是的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件11．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ） A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞） 12．G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的a，b∈G，a0b=c，则c∈G，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合A={x|x2=1}，A对于数的乘法作成一个封闭集合．以下四个结论：①集合{0}对于加法作成一个封闭集合；②集合B={x|x=2n，n为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合；③集合C={x|0＜x≤1}，C对于数的乘法作成一个封闭集合；④令Φ是全体大于零的实数所成的集合，RΦ对于数的乘法作成一个封闭集合；其中，正确结论的个数是（ ） A．4B．3C．2D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是 ．14．已知函数f（x）=mx2+nx﹣2（m＞0，n＞0）的一个零点是2，则的最小值为 ． 15．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M-9-（图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为 ．16．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x）≥m2﹣m有解，则实数m的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17．等差数列{an}中，已知a1=3，a4=12，（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a4分别为等比数列{bn}的第1项和第2项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．18．已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量=（2sinB，），，且⊥，（1）求f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB的单调减区间；（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．19．沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名，某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]，进行分组，得到频率分布直方图如图3，已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．（1）求a，b的值；（2）从样本中产量在区间（50，60]上的果树随机抽取两株，求产量在区间（55，60]上的果树至少有一株被抽中的概率． 20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．-9-21．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围． 22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2．（1）求椭圆的标准方程．（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴上方与椭圆交于P1，P2两点（P1在P2的左侧），P1F1和P2F2都是圆的切线，且P1F1⊥P2F2？如果存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由． -9-2022-2022学年上学期高三数学（文科）期末八校联考答案一、选择题：CDCBAADAABAA二、填空题：13.30014.815.16.-9-三、解答题：17.解：（I）设数列{an}的公差为d，由已知有（2分）解得d=3（4分）∴an=3+（n﹣1）3=3n（6分）（Ⅱ）由（I）得a2=6，a4=12，则b1=6，b2=12，（8分）设bn的公比为q，则，（9分）从而bn=6•2n﹣1=3•2n（11分）所以数列{bn}的前n项和（12分）18.解：∵向量=（2sinB，），=（2cos2﹣1，cos2B），且⊥，∴•=2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+）=0，（2分）∴2B+=kπ，即B=π﹣，k∈Z，∵0＜B＜，∴B=，（4分）（1）f（x）=sin2xcosB﹣cos2xsinB=sin（2x﹣B）=sin（2x﹣），（6分）由2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（8分）（2）由余弦定理得：16=a2+c2﹣2accos=a2+c2﹣ac≥ac，（10分）∴S△ABC=acsin≤4，则△ABC面积的最大值为4．（12分）19.解：（1）由题意知：解得：，（4分）（2）在（50，55]中有4个个体，在（55，60]中有2个个体，所以（50，60]中共6个个体．-9-所以从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数为=15个，（8分）设“至少有一个个体落在（55，60]之间”为事件A，则A包含基本事件15﹣C=9个，（10分）所以P（A）==．（12分）20.证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）21.解：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）的极值点为x=﹣和x=1∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（）=﹣b+c=0，解得，b=，c=﹣3（4分）∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），当f'（x）＞0时，解得x＜﹣，或x＞1，当f'（x）＜0时，解得﹣＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣）和（1，+∞），单调减区间为（﹣，1），（6分）-9-（2）有（1）知f（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，故函数在[﹣1，﹣）和（1，2]单调递增增，在（﹣，1）单调递减，（8分）当x=﹣，函数有极大值，f（）=，f（2）=2，所以函数的最大值为2，（10分）所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，故m＞2故实数m的取值范围为（2，+∞）.（12分）22.解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点（1，），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且F1、F2距离为2，∴，解得，∴椭圆的标准方程为．（4分）（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，知，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥，得﹣（x1+1）2+=0，由椭圆方程得1﹣=（x1+1）2，即=0，解得或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，-9-设C（0，y0），由CP1⊥F1P1，得，而y1=|x1+1|=，故，圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足条件的圆，其方程为：=．-9-
