仙游一中2022-2022学年度上学期期中考高二年数学（理科）试卷满分150分，答卷时间2小时.第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列语句中，是命题的个数是()①|x+2|；②－5∈Z；③πR；④{0}∈N。A.1B.2C.3D.42．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,533．若的（）A．充公不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知样本点的散点图呈线性正相关，且回归直线的斜率估计值的绝对值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A.＝1.23x＋4B.＝1.23x＋5C.＝1.23x＋0.08D.＝0.08x＋1.235．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A．2B．C．D．46．命题p：x>1，log2x>0，则p是( )A.x>1，log2x≤0 B.x≤1，log2x>0C.x≤1，log2x>0D.x>1，log2x≤07.运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素α，则函数y＝xα x∈[0，＋∞)是增函数的概率为（）A.B.C.D.8.从装有2个红球和2个黑球的袋内任取2球，那么互斥不对立的两个事件是A.至少有一个黑球与都是黑球B.至多有一个黑球与都是黑球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有一个黑球与恰有两个黑球-7-\n9．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．若“”和“”都是真命题,其逆命题都是假命题，则“”是“”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件11．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )A．12 B．16 C．24 D．3212．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为（）A．－ B.C.D．－第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分．13．二进制数10111转化为十进制数是_______．14．在区间[0,4]上任取一实数a，使双曲线的离心率e>2的概率是．15．p：函数f(x)＝lgx＋1无零点；q：存在α、β，使sin(α－β)＝sinα－sinβ，在p∨q，p∧q，③p，④q中真命题为（填上序号即可）。16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）仙游一中团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分。-7-\n18.（本小题满分12分）已知命题：关于的不等式对一切恒成立；命题：函数是R上的减函数．若为真，为假，求：实数的取值范围．19．（本小题满分12分）设双曲线中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的渐进线方程是y=x，求：（1）双曲线的标准方程；（2）过点P(1,1)能否作一条直线，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？请说明原因。开始i=0S=bi=i+1S=S+是输入S结束否输入b20．（本小题满分12分）某企业生产的某产品经市场调查得到如下信息：在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，销售量为b件；若作广告宣传，销售量为S与广告费n千元的关系可用程序框图（如图）表示。（1）试写出销售量S与广告费n千元的函数关系式；（2）当a=40，b=4000时，该企业应生产多少件产品，作多少千元广告，才能获利最多？21．已知函数（）(1)若从集合中任取一个元素，从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求：方程恰有两个不相等实根的概率；(2)若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，求：方程没有实根的概率．-7-\n22．（本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．仙游一中2022-2022学年度上学期期中考高二年数学（理科）参考答案一、选择题：CAACCDCDABBA二、填空题：13.23；14.；15.③；16.b≥4。三、解答题：17解(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.03.其频率分布直方图如图所示（略）．(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.所以，估计这次考试的合格率是75%.利用组中值估算这次考试的平均分，可得：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试的平均分是71分．18解：p：由x2-2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，得△=（2a）2-4×4＜0，解得-2＜a＜2．所以p真：-2＜a＜2．q：∵函数是R上的减函数∴0＜2a－5＜1，解得：＜a＜3所以q真：＜a＜3-7-\n由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．；所以-2＜a＜2或＜a＜319解：(1)设双曲线的标准方程，因抛物线的焦点为F，依题意：，解得：。所以双曲线的标准方程.(2)设A、B，则，由(1)-(2)得：，因AB中点为点P(1,1)，直线的斜率k=所以。直线的方程为：.联立：，消去y得：，所以x无解。所以过点P(1,1)不能作一条直线满足条件。20.(1)；(2)该企业应生产7875件产品，作5千元广告，才能获利最多。21.解：(1)∵取集合中任一个元素，取集合{0，1，2，3}中任一个元素 取值的情况是：，（0，3），（1，3），（2，3），（3，3）其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．即基本事件总数为16，设“方程恰有两个不相等的实根”为事件当时，方程恰有两个不相等实根的充要条件为b>且不等于零当b>时，取值的情况有（1，2）,（1，3）,（2，3）即包含的基本事件数为3,∴方程恰有两个不相等实根的概率(2)∵从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，则试验的全部结果构成区域，这是一个矩形区域，其面积-7-\n设“方程没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为其面积由几何概型的概率计算公式可得：方程没有实根的概率22解：（1）依题意得：，解得：。所以椭圆C的标准方程是（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.设M为PQ的中点，则点M.因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.当时，，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点M代入，得.解得.（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.于是，.所以.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．-7-\n故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．-7-
