福建省东山县2022-2022学年高二数学上学期期中试题文（必修3、选修1-1至圆锥曲线）一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1、有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90～100分，10人低于90分。现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道。就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（）A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样2、F1（0，﹣1）、F2（0，1）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（ ）A．B．C．D．3、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．1D．4、设命题甲：有一内角是，命题乙：三内角的度数成等差数列，那么（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件5、某公司过去五个月的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：x24568y40605070工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且回归方程为=6.5x+17.5，则下列说法：①销售额y与广告费支出x正相关；②丢失的数据（表中处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；-9-\n④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为70万元．其中，正确说法有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个6、程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，那么判断框中应填入（）A、B、C、D、7、下列命题中，真命题是（）A.,B.,C.D.8、已知抛物线x=4y2上一点P（m，1），焦点为F．则|PF|=（ ）A．m+1B．2C．D．9、已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（ ）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=010、在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x＋y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则( )A.p1<p2<B.p2<<p1C.p1<<p2D.<p2<p111、已知函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12、我们把离心率的椭圆叫做“优美椭圆”。设椭圆-9-\n为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则等于（）A.900B.750C.600D.1200二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、二进制数101101110（2）化为十进制数是 ，再化为八进制数是 ．14、若椭圆的离心率e=，则m的值为15、过原点的直线l与双曲线有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是16、已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，过F的直线与抛物线交于A、B两点，AB中点为C，过C作抛物线的准线的垂线交准线于C1点，若CC1中点M的坐标为（，4），则p= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分10分）运行右图所示的程序框图，当输入实数的值为时，输出的函数值为12，当输入实数的值为1时，输出的函数值为2。（1）求函数的解析式；（2）(2)当输出结果为80时，求输入的的值。18、（本小题满分12分）已知命题p：命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线。．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．19、（本小题满分12分）-9-\n已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），(Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线l的方程。20、（本小题满分12分）某班50位同学周考数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．（1）求图中[80，90）的矩形高的值，并估计这50人周考数学的平均成绩；（2）根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数（精确到0.1）；（3）从成绩在[40，60）的学生中随机选取2人，求这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率．21、（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且|AF|=4．（1）求抛物线的方程；（2）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC． 22、(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为．（1）求椭圆C的方程；-9-\n（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点．①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；②若直线l的斜率为，试探究OA2+OB2是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．-9-\n高二（上）数学（文）期中考参考答案DBBCBABDACCA13、366，556（8）14、2或15、（﹣∞，﹣）∪（，+∞）16、【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则其准线为x=﹣∵CC1中点M的坐标为（，4），∴y1+y2=8，C（2+，4），F（，0），可得AB的斜率为：，AB的方程为：y=（x﹣），代入抛物线方程可得：y2﹣py﹣p2=0∴y1+y2=，可得p=8，∴p=4．故答案为：4．17、18、解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…4分（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…6分由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题…当命题p为真、命题q为假时，则，解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…8分当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…10分∴实数k的取值范围是．…12分19、解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为-9-\n，四个顶点构成的四边形的面积为12，∴，解得a=2，b=，∴椭圆方程为，5分∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又，两式相减，得：（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率k==．直线l的方程：x-2y+4=012分20、解：（1）由频率分布直方图得：（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018．∴图中[80，90）的矩形高的值为0.018．1分由频率分布直方图估计这50人周考数学的平均成绩：=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74（分）．3分（2）由频率分布直方图得这50人成绩的众数为75，4分∵（0.006+0.006+0.01+0.54）×10=0.76，∴中位数应位于第四个小矩形中，设其底边为x，高为0.054，则0.054x=0.28，解得x≈5.2∴中位数M=75.2．6分（3）成绩在[40，60）的学生有（0.006+0.006）×10×50=6人，其中成绩在[40，50）、[50，60）中各有3人，从中随机选取2人，基本事件总数n=158分这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）包含的基本事件个数m=3×3=9，10分∴这2人成绩分别在[40，50）、[50，60）的概率p==．12分21、【解答】（1）解：设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），由其定义知|AF|=4=2+，所以p=4，y2=8x；4分-9-\n（2）证明：法一：设B、C两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+8，由方程组得y2﹣8ky﹣64=0，y1+y2=8k，y1y2=﹣64，因为，所以=（k2+1）y1y2+8ky（y1+y2）+64=0所以OB⊥OC．12分法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，﹣8），即，有，所以OB⊥OC．6分②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣8），方程组得k2x2﹣（16k2+8）x﹣64k2=0，ky2﹣8y﹣64k=0，所以x1x2=64，y1y2=﹣64，因为，所以，所以OB⊥OC，由①②得OB⊥OC．12分22、【分析】（1）由椭圆过点P（1，），离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）①设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出t的最大值．②设直线l的方程为y=，代入椭圆，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出OA2+OB2为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（1，），离心率为，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为=1．4分（2）①设直线l的方程为x=my+1，直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），-9-\n由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）＞0，，，∴kAP•kBP====﹣，∴t=kAB•kAP•kBP=﹣=﹣（）2+，∴当m=﹣时，t有最大值．8分②设直线l的方程为y=，直线l与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，，即，，，=（+n）2+（+n）2===（x1+x2）+2n2==7．∴OA2+OB2为定值7．12分-9-
