福建省东山县2022-2022学年高二数学上学期期中试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则﹁p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤12．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.，s2＋1002B．＋100，s2＋1002C.，s2D．＋100，s23．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A．至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶4．设点P(x，y)，则x＝2且y＝－1是点P在直线l：x＋y－1＝0上的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )A．13B．17C.19D．216.一只蚂蚁一直在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行,该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为( )A.B.C.D.7．右图是把二进制的数11111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i>5?B．i≤5?C．i>4?D．i≤4?8．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：玩具个数2468101214161820加工时间471215212527313741如回归方程的斜率是，则它的截距是( )-8-\nA.＝11－22；B.＝22－11；C.＝11－22；D.＝22－119．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆的交点个数为( )A．至多一个 B．2C．1 D．010.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（）A.（-，）B.（-，）C.（，）D.（，）11.已知双曲线的右焦点为，过点作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点（点在第一象限），为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、12.已知椭圆的左顶点为，左焦点为，点为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为，离心率，则的取值范围是()A.[0,12]B.[0.10]C.[-4,10]D.[-4,12]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________；14.已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为1/2，的右焦点与抛物线的焦点重合，是的准线与的两个交点，则；15．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0,1,2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________;-8-\n16．已知为坐标原点，是椭圆（）的左焦点，，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为.三、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17.（10分）已知命题，命题q:.若命题“”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18.（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88．28．48．68．89销量y（件）908483807568 （1）求回归直线方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入－成本）参考公式：19.（12分）已知抛物线,-8-\n(1)设点A的坐标为,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|;(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.20.(12分)某中学的高二(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;（2）经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出2名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验,求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率;（3）实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.21.（12分）已知椭圆C：（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。-8-\n22.（12分）设圆的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AC于点E。（1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。-8-\n高二年理科数学期中考试卷参考答案1B;2D;3D;4A;5C;6D;7D;8B;9B;10A;11C;12A;13．14.615.16.1/317解:p:a≤1q:a≥1或a≤-2若p真q假，则－2＜a＜1若p假q真，则a＞1综上，a∈(-2,1)∪(1,+∞)18解：（1）由于＝8．5，＝80．所以a＝－b ＝80＋20×8．5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250．（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）＝－20x2＋330x－1000 ＝－20（x－）2＋361．25．当且仅当x＝8．25时，L取得最大值．故当单价定为8．25元时，工厂可获得最大利润．19解：(1)设抛物线上上的点,则,当时,达到最小值,当点P的坐标为时,;(2)设为该抛物线上任一点,那么,则点P到直线的距离,当且仅当时,取“=”,此时点-8-\n.即抛物线上的点P的坐标为时,点P到直线的距离最短,最小值为.20解:(1)∵P=,∴某同学被抽到的概率为.设有x名男同学,则,∴x=3.∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b,则选取2名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共12种,其中有1名女同学的有6种,∴选出的2名同学中恰有1名女同学的概率为P=.(3)=71,=71,s1==2,s2=,∴第二个同学的实验更稳定.21解：（1）由已知得，根据椭圆的对称性，必然在椭圆上，代入得，则剩余一点必然为，代入得，所以，。椭圆的方程为。（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，得，设，，由韦达定理得，。则，。又由，得。代入直线方程，及韦达定理的结论，得，化简，得，因为直线不过点，所以，则，所以的方程为，即直线过定点。-8-\n当直线的斜率不存在时，设，，由斜率之和为，得，得，此时的方程为，但此时与椭圆只有一个交点，不符合题意，故舍去这种情况。因此，直线必过定点。22解：（1）将圆的方程化为标准方程：，由于，则，又，所以，因此，所以，这样就得到了为定值，由题设得，，，根据椭圆的定义，点的轨迹方程为：（）。（2）设（），则在中应用余弦定理，有，结合，可解得。类似的，可得，从而。此时直线的方程为，于是圆的弦长。所以可得四边形的面积，因为，所以，于是四边形的面积的取值范围是。 -8-
