兼善中学高2022级高三起步考试数学试题（满分150分。时间120分钟）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合，集合，则（）A．（-2，-1）B．[-2，-1]C．[-2，1）D．[-2，-1）3.设函数,则（ ）A．B．C．D．4.曲线在点处切线的斜率为A,1B,2C,eD,5．阅读右面的程序框图，则输出的（）A．B． C．D．6．不等式的解集是()A．[-5，7]B．[-4，6]C．D．7.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是()A.B.C.D.8．过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，若，则直线AB的倾斜角为A．B．C．D．9．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前9项积为，若，则m的值为A．4B．5C．6D．710.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是A．24B．36C．44D．40一、填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填写在答题卡相应的横线上．11.已知,,,则_________.12关于的不等式的解集为，则不等式错误！未找到引用源。的解集为_________13.观察请根据右边所列等式：①②③……，写出第个等式为考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前面两题给分．14.如右图所示，已知C为圆O的直径AB延长线上的一点，割线CE交圆O于D,E两点，连接AD,AE．若圆O的半径为3，BC=4，CD=5，则的大小为．15.在直角坐标系X0Y中，以原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于A,B两点,则16.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．917.(满分13分)等比数列的各项均为正数，且。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。18.(满分13分)如图所示，张先生开车从甲地到乙地有两条路线可走．路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若走路线，求最多遇到次红灯的概率； （Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．19.(满分13分)已知.（Ⅰ）求：过点且与曲线相切的直线方程；（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；20.(满分12分)把函数的图像向右平移a()个单位，得到的函数的图像关于直线对称.（1）求a的最小值；(2)当a取最小值，求函数在区间上的值域921．(满分12分)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和，且与共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的ABxOy圆的内部，求实数m的取值范围．22.(满分12分)已知，函数．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若和是的两个极值点，求证：．9兼善中学高2022级高三（上）第一次月考数学试题答案一、选择题：1～5：BCDAA6～10:DDBBC10．由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类（1）两人得30分，余下两人得-30分，有C42=6种情况。（2）一人得30分，余下三人得-10分，有4种情况。（3）一人得-30分，余下三人得10分，有4种情况；（4）一人得30分，一人得-30分，一人得10分，一人得-10分，有A43=24种情况。（5）两人得10分，余下两人得-10分，有C42=6种情况．共有6+4+4+24+6=44种情况二、填空题：11.。12.（1,2），13．；14．；15．；16．．三、解答题：17.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。由条件可知,故。……………………………………………………3分由得，所以。数列{an}的通项式为an=…6分（Ⅱ ）…8分故……………………………10分所以数列的前n项和为…………………………………………13分918．解:(Ⅰ)设走路线最多遇到次红灯为事件,则．………………………………………………3分(Ⅱ)依题意，的可能取值为：．…………………………………………………4分`，，．…………………………………………………………………7分所以随机变量的分布列为：所以．……………………………………………9分(Ⅲ)设选择路线遇到红灯次数为，则随机变量服从二项分布：．10分所以．……………………………………………………………………11分因为，所以选择路线上班最好．…………………………………………………13分19.Ⅰ）…………………………………………………………………2分设切点为，切线的斜率为……………………………………………………3分∵点在上，∴∴，解得…………………………………………………6分∴切线的斜率为，∴切线方程为…………………………………………………97分（Ⅱ），则，………………………………8分设，则，……………………………9分①单调递减，②单调递增，∴，……………………………………………………………………12分∴对一切恒成立的的取值范围是.…13分20.……………………………………………………………………3分∴，它关于直线对称，∴∴∵…………6分（2）由（1）知……………………………9分…11分即的值域为……………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得∴，∵与共线，∴，又∴，∴椭圆E的标准方程为………………………5分（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，消去y，得，,………………………6分∴,9（*）………………………7分∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴，即…………8分又由得，依题意且满足（*）故实数m的取值范围是…………………………………………12分22.解：(Ⅰ)∵，………………………………1分，考虑分子当，即时，在上，恒成立，此时在上单调递增；………………3分当，即时，方程有两个不相等的实数根．，，显然，易知，当或时，；当时，；∴函数在上单调递减，在和上单调递增函数……………6分(Ⅱ)∵是的两个极值点，故满足方程，即是的两个解，∴，…………………………7分∵……………………………………………8分9而在中，因此，要证明，等价于证明………………………………………10分注意到，只需证明，即证令，则，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；因此，从而，即，原不等式得证……………………………………12分9
