陕西省城固县第一中学2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3，5，7}，B={x∈N|2<x≤6}，全集U=A∪B，则∁UB=( )A.{1,2，7}B.{1,7}C.{2,3，7}D.{2,7}【答案】A【解析】解：集合A={1,2，3，5，7}，B={x∈N|2<x≤6}={3,4，5，6}，全集U=A∪B={1,2，3，4，5，6，7}，则∁UB={1,2，7}．故选：A．用列举法写出集合B，再根据并集与补集的定义计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.已知对数式log(x−1)(x+2)有意义，则x的取值范围是( )A.x>−2B.x>1C.x>1且x≠2D.x>−2且x≠2【答案】C【解析】解：由题意得：x+2>0x−1>0且x−1≠1，解得：x>1且x≠2，故选：C．根据对数函数的定义判断即可．本题考查了对数函数的性质，考查对应思想，是一道常规题．3.已知函数f(x)为定义在[2b,1−b]上的偶函数，且在[0,1−b]上单调递增，则f(x)≤f(1)的解集( )A.[1,2]B.[3,5]C.[−1,1]D.[12,32]【答案】C【解析】解：由−2b=1−b得，b=−1，则f(x)在[0,2]上递增，在[−2,0]上递减，f(x)≤f(1)，所以−1≤x≤1．故选：C．利用函数的奇偶性求出b，利用函数的单调性求解不等式即可．9/10\n本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．1.函数y=x2−6x+10在区间(2,4)上是( )A.减函数B.增函数C.先递减再递增D.先递增再递减【答案】C【解析】解：∵函数y=x2−6x+10∴对称轴为x=3∵3∈(2,4)并且a=1>0抛物线开口向上∴函数y=x2−6x+10在区间(2,4)上线递减再递增故选：C．由于二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关，但a=1>0抛物线开口向上故只需判断对称轴与区间的关系即可判断出单调性．此题主要考查了利用二次函数的性质判断二次函数在区间上的单调性，属基础题较简单只要理解二次函数的单调性是以对称轴为分界线并与开口方向有关即可正确求解！2.已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a//b( )A.a//α，b//αB.a⊥c，b⊥cC.a、b与c成等角D.a//c，b//c【答案】D【解析】解：A如图可否定A；B如图可否定B；C正三棱锥侧棱与底面所成角相等，却不平行；D符合平行的传递性，显然D正确，故选：D．利用图示可否定A，B，C，利用平行的传递性，容易确定答案为D．此题考查了线线，线面关系，属容易题．9/10\n1.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )A.(5−1)π2+2B.(5+1)π2+2C.π2+3D.52π+2【答案】B【解析】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是5，∴该几何体的表面积是12π⋅5+12π⋅12+12×2×2=(5+1)π2+2，故选：B．由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是5，即可求出几何体的表面积．本题考查由三视图得到直观图，考查求简单几何体的体积，本题不是一个完整的圆锥，只是圆锥的一部分．2.设a=log0.50.6，b=log1.10.6，c=1.10.6，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】C【解析】解：∵log0.51=0<a=log0.50.6<log0.50.5=1，b=log1.10.6<log1.11=0，c=1.10.6>1.10=1．∴b<a<c．故选：C．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.若log2[log0.5(log2x)]=0，则x的值是( )A.2B.2C.12D.1【答案】A9/10\n【解析】解：∵log2[log0.5(log2x)]=0，∴log0.5(log2x)=1，∴log2x=0.5，解得x=2．故选：A．推导出log0.5(log2x)=1，从而log2x=0.5，由此能求出x的值．本题考查实数值的求法，考查对数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．1.下列叙述中不正确的是( )A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0∘或90∘D.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα【答案】D【解析】解：A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0∘或90∘，正确；D.若直线的倾斜角为α，α=π2时，则直线的斜率不存在，因此不正确．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是( )A.4B.13C.15D.17【答案】D【解析】解：根据中点坐标公式得到x−22=15−32=y，解得y=1x=4，所以P的坐标为(4,1)则点P(x,y)到原点的距离d=(4−0)2+(1−0)2=17故选：D．由A(x,5)关于点(1,y)的对称点(−2,−3)，根据中点坐标公式列出方程即可求出x与y的值，得到点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求出P到原点的距离即可．本题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是一道基础题．3.已知圆O：x2+y2=5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )9/10\nA.5B.10C.252D.254【答案】D【解析】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，则OA的斜率k=2，则切线斜率为−12，则切线方程为：y−2=−12(x−1)，即x+2y−5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以，所求面积为12×5×52=254．故选：D．判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积.判断A是切点是解决本题的关键．1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内，当|a−b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0=a+b2与真实零点的误差最大不超过( )A.ε4B.ε2C.εD.2ε【答案】B【解析】解：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b−a+b2=a+b2−a=b−a2=ε2，因此误差最大不超过ε2．故选：B．根据用“二分法”求函数近似零点的步骤，结合真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，由此即可得到结论．本题考查二分法求方程的近似解，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.点M(2,−1,3)关于坐标平面xoz的对称点的坐标为______．【答案】(2,1，3)【解析】解：点M(2,−1,3)关于坐标平面xoz的对称点的坐标为(2,1，3)．故答案为：(2,1，3)．点M(a,b，c)关于坐标平面xoz的对称点的坐标为(a,−b,c)．9/10\n本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1.不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a−1)y+7=0恒过第______象限．【答案】二【解析】解：直线方程可变形为：(3x−y+7)+a(x+2y)=0，由x+2y=03x−y+7=0，求得y=1x=−2，∴直线过定点(−2,1)，因此直线必定过第二象限，故答案为：二．直线方程可变形为：(3x−y+7)+a(x+2y)=0，由x+2y=03x−y+7=0，求得定点的坐标，从而得出结论．本题主要考查直线经过定点问题，求直线的交点问题，属于基础题．2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．【答案】28π【解析】解：如图，M，N分别是上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，易知O为外接球的球心，在直角三角形ONA中，可得半径OA=7，∴S球=4π×7=28π，故答案为：28π．连接上下底面的中心M，N，则MN得中点即为外接球球心，容易求得半径，面积．此题考查了三棱柱外接球，难度不大．3.已知关于x的不等式logm(mx2−x+12)>0在[1,2]上恒成立，则实数m的取值范围为______【答案】(12,58)∪(32,+∞)【解析】解：关于x的不等式logm(mx2−x+12)>0在[1,2]上恒成立，当m>1时，mx2−x+12>1在[1,2]恒成立，即为m>2x+12x2在[1,2]恒成立，由12(1x2+2x+1)−12=12(1x+1)2−12，可得x=1时，取得最大值32，即m>32；当0<m<1时，0<mx2−x+12<1在[1,2]恒成立，即有m>2x−12x2=−12(1x−1)2+12，显然x=19/10\n时，m>12，由m−1+12<1且4m−2+12<1，解得m<58，可得12<m<58，综上可得m的范围是(12,58)∪(32,+∞)，故答案为：(12,58)∪(32,+∞)．由对数函数的单调性，讨论m>1，0<m<1，运用不等式恒成立问题解法，参数分离和二次函数的最值求法，即可得到所求范围．本题考查对数函数的性质和运用，以及不等式恒成立问题解法，注意运用分离参数和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.求函数f(x)=log12(x2+2x−3)的递增区间．【答案】解：对于函数f(x)=log12(x2+2x−3)，令t=x2+2x−3>0，求得，x>1或x<−3，故函数的定义域为{x|x>1或x<−3}，本题即求函数t在定义域内的减区间．而二次函数t=x2+2x−3在定义域内的减区间为(−∞,−3)，．所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−3)．【解析】令t=x2+2x−3>0，求得函数的定义域.根据复合函数的单调性，本题即求二次函数t=x2+2x−3在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．2.已知函数f(x)=x2+2ax+3，x∈[−4,6](1)当a=−2时，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=x2−4x+3，x∈[−4,6]，对称轴为x=2∈[−4,6]，则f(x)的最小值为f(2)=−1；f(x)的最大值为f(−4)=35；(2)若f(x)是单调函数，9/10\n且对称轴为x=−a，则−a≥6或−a≤−4，解得a≥4或a≤−6．【解析】(1)求出对称轴，可得最小值，计算端点处函数值，可得最大值；(2)求出对称轴，即有−a≥6或−a≤−4，解不等式即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值的求法，以及单调区间的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．1.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=3，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．【答案】解：(1)连接OM，则OM⊥AB设OM=r，OB=3−r，在△BMO中，sin∠ABC=r3−r=12⇒r=33∴S=4πr2=43π.(2)∵△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=3，∴AC=1．∴V=V圆锥−V球=13π×AC2×BC−43πr3=13π×3−43π×39=5327π.【解析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可．本题考查旋转体的表面积与体积的计算.S球=4πr2；V圆锥=13πr3．2.已知3x2+2y2=6x，试求x2+y2的最大值．【答案】解：由题意可得，y2=3x−3x22由y2≥0可得3x−3x22≥0解可得，0≤x≤2设t=x2+y2=x2+3x−3x22=−12x2+3x=−12(x2−6x)=−12(x−3)2+92∵0≤x≤2又∵函数t=−12(x−3)2+92在[0,2]上单调递增当x=2时，函数t有最大值49/10\n【解析】由题意可得，y2=3x−3x22由y2≥0可得3x−3x22≥0，可求x的范围，则设t=x2+y2=x2+3x−3x22，结合二次函数的性质可求函数的最大值本题主要考查了利用二次方程求解函数的最大值，解题中要注意x的范围的限制不要漏掉考虑1.已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x−12y+24=0．(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．【答案】解：(1)圆的圆心为C(−2,6)，半径r=4，∵直线l被圆C解得弦长为43，∴圆心C到直线l的距离d=42−(23)2=2，若直线l无斜率，则直线方程为x=0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；若直线l有斜率，设斜率为k，则直线l的方程为y=kx+5，即kx−y+5=0，∴|2k+1|k2+1=2，解得k=34，∴直线l的方程为y=34x+5．综上，直线l的方程为x=0或y=34x+5．(2)设所求轨迹上任意一点为M(x,y)，则kCM=y−6x+2(x≠−2)，kPM=y−5x(x≠0)，∴y−6x+2⋅y−5x=−1，整理得x2+y2+2x−11y+30=0，经验证当x=−2时，弦的中点为(−2,5)或(−2,6)，符合上式，当x=0时，弦的中点为(0,6)，符合上式，∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x−11y+30=0．【解析】(1)讨论直线l是否有斜率，就两种情况分别求出直线方程；(2)设弦的中点为M(x,y)根据CM⊥PM得出轨迹方程．本题考查了直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解，属于中档题．2.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．9/10\n(1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表达式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．【答案】解：(1)由题意：当0<x≤4时，v(x)=2.…(2分)当4<x≤20时，设v(x)=ax+b，显然v(x)=ax+b在[4,20]是减函数，由已知得4a+b=220a+b=0，解得a=−18b=52…(4分)故函数v(x)=2,0<x≤4,x∈N*−18x+52,4≤x≤20,x∈N*…(6分)(2)依题意并由(1)，得f(x)=2x,0<x≤4,x∈N*−18x2+52x,4≤x≤20,x∈N*.，…(8分)当0≤x≤4时，f(x)为增函数，故fmax(x)=f(4)=4×2=8.…(10分)当4≤x≤20时，f(x)=−18x2+52x=−18(x2−20x)=−18(x−10)2+1008，fmax(x)=f(10)=12.5.…(12分)所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米.…(14分)【解析】(1)由题意：当0<x≤4时，v(x)=2.当4<x≤20时，设v(x)=ax+b，v(x)=ax+b在[4,20]是减函数，由已知得4a+b=220a+b=0，能求出函数v(x)．(2)依题意并由(1)，得f(x)=2x,0<x≤4,x∈N*−18x2+52x,4≤x≤20,x∈N*.，当0≤x≤4时，f(x)为增函数，由此能求出fmax(x)=f(4)，由此能求出结果．本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数有生产生活中的实际应用．9/10
