2020-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填结果，每题填对得3分，否则一律得零分．)1.直线x=-1倾斜角的大小为________．2.椭圆x29+y25=1的焦距为________．3.计算：＝________．4.已知向量＝(m+1, 2)，＝(1, m)，若⊥，则实数m的值为________．5.若2与a的等差中项与等比中项相等，则实数a的值为________．6.平行直线2x+y-1＝0与2x+y+1＝0之间的距离为________．7.△ABC的三条边的中点分别为(2, 1)，(-3, 4)，(-1, -1)，则△ABC的重心坐标为________．8.两条直线的夹角的取值范围为________．9.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1, 2)，则圆C的半径长为________．10.若向量，的夹角为，||＝2，||＝3，m为非零实数，则|m+|的最小值为________．11.若将直线x+y-1＝0，nx+y-n＝0，x+ny-n＝0(n∈N*, n≥2)围成的三角形面积记为Sn，则＝________．12.过直线l:y＝2x+b(b∈R)上一点P作圆x2+y2＝1的切线，A，B为两切点，若直线l上不存在满足的点P，则的b取值范围为________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．)13.已知，为两个非零向量，若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则“＝”是“ // ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)…(n+n)＝2n⋅1⋅2⋅3...•(2n-1)(n∈N*)．从k(k∈N*)到k+1，若设f(k)＝(k+1)(k+2)…(k+k)，则f(k+1)等于（）试卷第7页，总7页
A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)•[2(2k+1)]C.D.15.方程的图形是图中的（）A.B.C.D.16.已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y＝kx（k为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域，写出必要的步骤.)17.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，设向量＝、＝．（1）用向量，分别表示向、；（2）若P为直线AB上一点，k是实数，且，用向量表示．18.一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%．求该热气球在前n(n∈N*)分钟里上升的总高度，并判断这个热气球上升的高度是否能超过125m，请说明理由．19.设a∈R．圆C：(x-1)2+(y-a)2＝4．（1）若a＝0，点P的坐标为P(3, -2)，Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若圆C上有且仅有一个点到直线x-y＝0的距离等于1，求a的值．试卷第7页，总7页
20.在数列{an}(n∈N*)中，am＝4，am+3＝-2，其中m为给定的正整数．（1）若{an}为等比数列，m＝1，求a10；（2）若{an}为等差数列，其前n项和为Sn，是否存在正整数m，使得Sm＝0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．21.已知椭圆，F为左焦点，P为直线x＝3上一动点，Q为线段PF与Γ的交点，定义：．（1）若点P的纵坐标为，求d(P)；（2）证明：存在常数m，n，使得md(P)＝|PF|+n．试卷第7页，总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在符题卷的相应编号的空格内直接填结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.π22.43.4.5.26.7.(-23, 43)8.9.1或510.311.12.(-∞，-]∪[，+∞)二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.A14.B15.D16.A三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域，写出必要的步骤.17.因为平行四边形ABCD的对角线相交于点O，所以＝＝-＝-，＝-＝-2-（-）＝--＝--．试卷第7页，总7页
＝+＝+k＝+k（-）＝(1-k)+k＝(1-k)+k．18.用an表示热气球在第n分钟上升的高度，n∈N*，由题意可知：，所以数列{an}是首项为a1＝25，公比q＝的等比数列，所以该热气球在前n(n∈N*)分钟里上升的总高度为Sn＝＝＝125×[1-（）n]<125，故这个热气球上升的高度不可能超过125m，19.根据题意，设M的坐标为(x, y)，又由P(3, -2)，则Q的坐标(2x-3, 2y+2)，若a＝0，圆C：(x-1)2+y2＝4，Q为圆C上的动点，则有(2x-4)2+(2y+2)2＝4，变形可得：(x-2)2+(y+1)2＝1；根据题意，圆C：(x-1)2+(y-a)2＝4，圆心为(1, a)，半径r＝2，若圆C上有且仅有一个点到直线x-y＝0的距离等于1，则圆心到直线x-y＝0的距离d＝3，则有＝3，解可得a＝1+3或1-3．故a＝a＝1+3或1-3．20.因为{an}为等比数列，a1＝4，a4＝-2，则等比数列的公比为q，则，所以；试卷第7页，总7页
若{an}为等差数列，设公差为d，则am+3-am＝3d＝-6，解得d＝-2，又am＝a1+(m-1)d＝4，所以a1＝2m+2，所以＝，令，解得m＝0或m＝-3，又因为m为正整数，故不存在正整数m，使得Sm＝0．21.因为椭圆，F为左焦点，所以F(-2, 0)，又，所以直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，联立方程组可得，得8x2+30x+27＝0，解得或（舍），所以Q的横坐标为，则＝；证明：设P(3, y0)，其中y0∈R，则，又直线PF的方程为，联立方程组试卷第7页，总7页
，可得，所以，化简可得，所以，所以md(P)＝PF+n，可得n＝md(P)-PF，所以，故当给定y0的值时，m，n构成一条直线，所以存在常数m，n，使得md(P)＝|PF|+n．试卷第7页，总7页
