2017-2018学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．)1.计算limn→∞3n+2n-5=________．2.已知点A(1, 2)，B(-2, 7)，那么向量AB→的位置向量的终点坐标为________．3.抛物线y2＝-8x的准线方程是________．4.若倾斜角为3π4的直线过点(1, 3)和(2, m)，则m＝________．5.直线y＝1与直线2x+y+1＝0的夹角为________（结果用反三角函数值表示）．6.若非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→-b→|，则a→与b→所成角的大小为________．7.设双曲线x29-y2b2=1(b>0)的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝________．8.已知数列{________．9.曲线xy＝2上的点到直线x+y+2=0的距离的最小值为________．10.如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．已知灯口直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点O的距离为3.6cm．11.已知P为圆x2+(y-4)2＝2上一动点，点Q(1, 1)，O为坐标原点，那么OP→⋅OQ→的取值范围为________．12.已知动点A在x轴的非负半轴上，动点B在y轴的非负半轴上，且|AB|＝2，C为AB的中点，若点P满足点集D＝{P||PC|≤1}，则D所表示图形的面积为________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．)13.已知向量a→=(5,8)，e1→=(2,-3)，若向量a→可以唯一表示为e1→、e2→的线性组合，那么e2→可以是（）A.(0, 0)B.(2, 3)C.(-2, 3)D.(6, -9)14.a＝3是直线ax+2y+3a＝0和直线3x+(a-1)y＝a-7平行且不重合的（）试卷第5页，总5页
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.已知数列{an}，{bn}(n∈N*)，如果数列{an+bn}和{an-bn}的极限均存在，那么在下列数列中，其极限不一定存在的数列是（）A.{an}B.{3an-2bn}C.{an⋅bn}D.{anbn}16.设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若四点P1(1, 1)，P2(0, 1)，P3(-1,32)，P4(1,32)中恰有三点在椭圆Γ上，则不在Γ上的点为（）A.P1B.P2C.P3D.P4三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．)17.将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项的值，由此猜测an＝1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算1＝1，1+2+1＝4，1+2+3+2+1＝________，1+2+3+4+3+2+1＝________，由此猜想an＝1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1＝________．(*)下面用数学归纳法证明这一猜想．(i)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以等式成立．(ⅱ)假设当n＝k(k∈N*, k≥1)时，等式成立，即ak＝1+2+3+...+(k-1)+k+(k-1)+...+3+2+1＝________．那么，当n＝k+1时，ak+1＝________＝ak+________＝________．等式也成立．根据(i)和(ⅱ)可以断定，(*)式对任何n∈N*都成立．18.已如等差数列{an}(n∈N*)，Sn为其前n项和，a1＝t，a4＝t-6，其中t∈R．（1）求a10及S10（用t表示）；（2）在S1，S2，…，Sn中，有且只有S8的值最大，求t的取值范围．19.已知圆C:x2+y2-4x-2y-1＝0．（1）求y轴被圆C所截得的线段的长；（2）过圆C圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S，求S的最小值．20.已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a,b>0)，O为坐标原点．（1）若Γ为等轴双曲线，且Γ的右焦点F到点O的距离为2，求Γ的方程；（2）a=2，b=3，设斜率为1的直线l交Γ于P、Q两点，且OP⊥OQ，若l与圆x2+y2＝r2(r>0)相切，求r的值．21.已如椭圆Γ:x29+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为Γ上的动点．（1）若b=5，设点P的横坐标为x0，试用解析式将|PF1|表示成x0的函数；（2）试根据b的不同取值，讨论满足△F1F2P为等腰锐角三角形的点P的个数．试卷第5页，总5页
参考答案与试题解析2017-2018学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.32.(-3, 5)3.x＝24.25.arctan26.π27.118.an}的通项公式为an=3n，则limn→∞a1+a2+a3+⋯+anan=329.110.则：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点(10, 12)在抛物线y2＝2px上，∴144＝2p×10．∴p2=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．故答案为：3.6．11.[2, 6]12.2π二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.B14.C15.D16.A三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.①,②,③,④,⑤,⑥,⑦试卷第5页，总5页
18.等差数，{an}中，a1＝t，a4＝t-6，∴d=a4-a14-1=-2，∴a10＝t+9×(-2)＝t-18，S10＝10t+45×(-2)＝10t-90；∵在S1，S2，…，Sn中，有且只有S8的值最大，∴a8>0且a9<0，即t-14>0t-16<0 得t∈(14, 16)．19.由圆C:x2+y2-4x-2y-1＝0，得(x-2)2+(y-1)2＝6．圆心为(2, 1)，半径为6．圆心到y轴的距离为2，则y轴被圆C所截得的线段的长为26-4=22；利用截距式，设l:xa+yb=1(a,b>0)，由于l过C(2, 1)，∴1=2a+1b，利用基本不等式，得1=2a+1b≥22a⋅1b，得到ab≥8，∴S=12ab≥4，即S的最小值为4，当且仅当a＝4，b＝2，此时l:x4+y2=1，即l:x+2y-4＝0．20.Γ为等轴双曲线，可得a＝b，由Γ的右焦点F(c, 0)到点O的距离为2，可得c＝2，即a2+b2＝4，解得a＝b=2，则双曲线的方程为x22-y22=1；由题意可得Γ:x22-y23=1，设直线l:y＝x+m，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，将直线方程代入双曲线方程，并化简得x2-4mx-(2m2+6)＝0，则△＝16m2-4(2m2+6)>0，解得m>3或m<-3，且x1+x2＝4m，x1x2＝-2m2-6，(*)∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0，将(*)代入，得m2＝12，∴m=±23，又直线l与圆相切，可得r=d=|m|2=6．21.设P(x0, y0)，其中x029+y025=1，x0∈[-3, 3]则|PF1|=(x0+2)2+y02=(x0+2)2+5(1-x029)=49x02+4x0+9=|23x0+3|=23x0+3,x0∈[-3,3]；试卷第5页，总5页
图1至图5分别对应P点为2个，2个，6个，4个，4个的情况，其中图2与图4为临界情况，如图2:△P3F1F2为等腰直角三角形(∠F1F2P3=π2)，|F1F2|=|P3F2|⇒2c=b1-c29⇒b=182-18，如图4:△F1P1F2为等腰直角三角形(∠F1P1F2=π2)，b=c=322，①b∈[322,3)，点P的个数为2；②b∈(182-18,322)，点P的个数为6；③b∈(0,182-18]，点P的个数为4．试卷第5页，总5页
