2016-2017学年上海市某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）)1.直线x-3y+6=0的一个法向量n→=________．2.椭圆x2+4y2=100的长轴长为________．3.若直线l1:mx+y-1=0与直线l2:x+(m-1)y+2=0垂直，则实数m=________．4.抛物线的顶点是椭圆x225+y216=1的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为________．5.设方程x2m+2-y22m-1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．6.设线性方程组的增广矩阵为23t101t2，解为x=3y=5，则三阶行列式1-1t101-1-1t2-6的值为________．7.某圆圆心在x轴上，半径为5，且与直线x+2y=0相切，则此圆的方程为________．8.若直线l经过原点，且与直线y=3x+2的夹角为30∘，则直线l方程为________．9.设变量x，y满足约束条件：x+y≥3x-y≥-12x-y≤3 ．则目标函数z＝2x+3y的最小值为________．10.已知椭圆Γ：x24+y23=1，过点P(1, 1)的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，若弦AB恰好以点P为中点，则直线l的方程为________．（写成一般式）11.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθy=1+3sinθ（θ为参数），直线l的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为________个．12.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则p的值为________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）)13.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件14.关于x、y的方程组(m+1)x-y-3m=04x+(m-1)y+7=0()A.有唯一的解B.有无穷多解C.由m的值决定解的情况D.无解15.已知直线x=3+4ty=-4+3t，则下列说法错误的是（）A.直线的倾斜角为arctan34试卷第5页，总5页
B.直线必过点(1,-112)C.当t=1时，直线上对应点到点(1, 2)的距离是32D.直线不经过第二象限16.方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形面积为（）A.1B.2C.3D.4三、解答题)17.设直线l过点(2, 3)，且与直线x-2y+1=0平行，若点P(a, 2)(a>0)到直线l的距离为55，试求a的值．18.已知向量x→、y→满足：|x→|=1，|y→|=2，且(x→-2y→)⋅(2x→-y→)=5．（1）求x→与y→的夹角θ；（2）若(x→-my→)⊥y→，求实数m的值．19.已知双曲线C:x2-y2=1，直线y=kx-1交双曲线的左支于A、B两点．（1）求实数k的取值范围；（2）如果|AB|=63，求实数k的值．20.已知抛物线C:y2＝4x 的焦点为F．（1）点A，P满足AP→=-2FA→．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．21.设点F1(-3,0)、F2(3,0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点D(t, 0)(|t|<2)作直线l交曲线C于A、B两点，设O为坐标原点，若直线l与x轴垂直，求△OAB面积的最大值；（3）过点(1, 0)作直线l交曲线C于A、B两点，在x轴上是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．试卷第5页，总5页
参考答案与试题解析2016-2017学年上海市某校高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）1.(1, -3)2.203.124.y2=12x5.(-∞, -2)∪(12, +∞)6.197.(x±5)2+y2=58.x=0或y=33x9.710.4y+3x-7=011.412.2或8二、选择题（本大题共有4题，满分12分）13.A14.A15.C16.B三、解答题17.解：直线l过点(2, 3)，且与直线x-2y+1=0平行的斜率为：12，所求直线方程为：y-3=12(x-2)，即直线方程为：x-2y+4=0，点P(a, 2)(a>0)到直线l的距离为55，可得：|a-2×2+4|12+(-2)2=55∵a>0，∴a=1（a=-1舍去）．18.解：（1）∵(x→-2y→)⋅(2x→-y→)=5，∴2|x→|2-5x→⋅y→+2|y→|2=5，又|x→|=1，|y→|=2，∴解得x→⋅y→=1；…又∵cosθ=x→⋅y→|x→|⋅|y→|=12，…且θ∈[0, π]，∴θ=π3；…试卷第5页，总5页
（2）∵(x→-my→)⊥y→，∴(x→-my→)⋅y→=0，即x→⋅y→-m|y→|2=0，…∴1-4m=0，解得m=14．…19.解：（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)x2-y2=1y=kx-1⇒(1-k2)x2+2kx-2=0…∵直线y=kx-1交双曲线的左支于A、B两点∴1-k2≠0△=4k2+8(1-k2)>0x1+x2=2kk2-1<0x1x2=2k2-1>0…⇒-2<k<-1…（2）∵|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]…∴63=(1+k2)[(2kk2-1)2-42k2-1]…∴28k4-55k2+25=0∴k2=54或k2=57…又∵-2<k<-1∴k=-52…20.设动点P的坐标为(x, y)，点A的坐标为(xA, yA)，则AP→=(x-xA,y-yA)，因为F的坐标为(1, 0)，所以FA→=(xA-1,yA)，由AP→=-2FA→，得(x-xA, y-yA)＝-2(xA-1, yA)．即x-xA=-2(xA-1)y-yA=-2yA ，解得xA=2-xyA=-y 代入y2＝4x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8-4x．设点Q的坐标为(t, 0)．点Q关于直线y＝2x的对称点为Q'(x, y)，则yx-t=-12y2=x+t ，解得x=-35ty=45t ．若Q'在C上，将Q'的坐标代入y2＝4x，得4t2+15t＝0，即t＝0或t=-154．所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0, 0)和(-154,0)．21.解：（1）∵动点P满足|PF1|+|PF2|=4，∴P的轨迹是长轴2a=4，焦半距c=3的椭圆．∴b2=a2-c2=1．∴试卷第5页，总5页
曲线C的方程为x24+y2=1；（2）联立x=tx24+y2=1，解得A(t, -4-t22)、B(t, 4-t22)．∴S△OAB=12|t|4-t2=12-(t2-2)2+4．当t2=2，即t=±2时，(S△OAB)max=1；（3）设E(m, 0)、A(x1, y1)、B(x2, y2)．若l与x轴不垂直，设l:y=k(x-1)，由y=k(x-1)x24+y2=1，得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0．∴x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2-41+4k2．∵kAE⋅kBE=y1x1-m⋅y2x2-m=k2(x1-1)(x2-1)x1x2-m(x1+x2)+m2=-3k2(4-8m+4m2)k2+(m2-4)为非零常数．∴m2-4=0，得m=±2．当E(2, 0)时，kAE⋅kBE=-34．当E(-2, 0)时，kAE⋅kBE=-112．若l与x轴垂直时，验证上述结论显然成立．∴在x轴上存在一点E(2, 0)或(-2, 0)，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数．试卷第5页，总5页
