2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题)1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3<0, x∈Z}=________．2.命题“若x>2且y>3，则x+y>5”的否命题是________命题．（填入“真”或“假”）3.函数y=4x，x∈[1, 12]的值域为________．4.已知函数f(x)＝2x，则f（f(2)）＝________．5.不等式|x-1|<2的解集为________．6.已知a∈{-2, -1, -12，12, 1, 2, 3}，若幂函数f(x)=xa为奇函数，且在(0, +∞)上递减，则a=________．7.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x-1，则f(-2)＝________．8.已知m>2，且10x=lg(100m)+lg1m，则x的值为________．9.已知a>0，b>0，且a+4b=4，则ab的最大值等于________．10.已知函数f(x)=ax+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[-1, 0]，则a+b=________．11.记函数f(x)＝|x+b|，x∈[-2, 2]的最大值为g(b)，则g(b)＝________．12.函数f(x)＝|x2-2x|，x∈[-2, 2]的最大值为________．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞)上单调递增，则关于x的不等式f(x)-f(1)+x2-1<0的解是________．14.已知f(x)＝x4+x2，则关于x的不等式f(x+1)<f(2)的解是________．二.选择题)15.已知1<a<3，2<b<4，现给出以下结论：（1）3<a+b<7；（2）-3<a-b<1；（3）2<a⋅b<12；(4)14<ab<32；以上结论正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个16.已知a∈r，则“a<1”是“1a>1”的（）试卷第7页，总7页, A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.已知函数y＝3|x|-2的值域是（）A.RB.(-2, +∞)C.[-2, +∞)D.[-1, +∞)18.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间(0, 2)和(4, 6)内，那么下列不等式中一定正确的是（）A.f(0)⋅f(2)<0B.f(0)⋅f(6)>0C.f(2)⋅f(4)>0D.f(2)⋅f(6)>019.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有偶数个零点；以上结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题)20.解下列方程：（1）2x+2⋅2-x＝3；（2）lg2x-lgx-2＝0．21.设a∈R，函数f(x)=2x+a2x+1．（1）当a＝-1时，判定f(x)的奇偶性，并给出证明；（2）当a＝0时，证明此函数在(-∞, +∞)上单调递增．22.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[288, 488](488, 888](888, 1888](1888, 2888]…获得奖券的金额（元）285888128…试卷第7页，总7页, 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元，于是，该顾客获得的优惠额为：400×0.2+28＝108元，设购买商品得到的优惠率=，试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）当商品的标价为[100, 600]元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；（3）当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由．23.已知函数f(x)＝x2-2ax+2，x∈[-1, 1]．（1）当a＝1时，求f-1(1)；（2）当a=-12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；（3）当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f-1(x)．24.已知函数f(x)的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．（1）证明函数f(x)＝lg(x2+1)+1是“正函数”；（2）如果函数f(x)=|x|+a|x|+1-1不是“正函数”，求正数a的取值范围；（3）如果函数f(x)=x2+(a-2)x-2a+42x2+(a-1)x-2a+2是“正函数”，求正数a取值范围．（4）证明函数f(x)＝lg(x2+1)+1是“正函数”；（5）如果函数f(x)=|x|+1|x|-a不是“正函数”，求实数a的取值范围；（6）如果函数f(x)＝ax2+ax+2是“正函数”，求实数a的取值范围．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2019-2020学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题1.{0, 1, 2}2.假3.[13,4]4.165.(-1, 3)6.-17.-38.lg29.110.-3211.2+b,b≥02-b,b<012.813.(-1, 1)14.(-3, 1)二.选择题15.D16.B17.D18.C19.B三.解答题20.因为2x+2⋅2-x＝3，令t＝2x，则t>0且t+2t=3，整理可得，t2-3t+2＝0，解可得t＝1或t＝2，故x＝0或x＝1；试卷第7页，总7页, 因为lg2x-lgx-2＝0．可得2lgx-lgx-2＝0，所以lgx＝2或lgx＝-1，故x＝100或x=110．21.根据题意，函数f(x)=2x+a2x+1，当a＝-1时，f(x)=2x-12x+1，其定义域为R，f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-(2x-12x+1)＝-f(x)，即函数f(x)为奇函数；证明：当a＝0时，f(x)=2x2x+1=1-12x+1，设x1<x2，f(x1)-f(x2)＝(1-12x1+1)-(1-12x2+1)=2x1-2x2(2x1+1)(2x2+1)，又由x1<x2，则2x1-2x2<0，2x1+1>0，2x2+1>0，则f(x1)-f(x2)<0，故f(x)在(-∞, +∞)上单调递增．22.购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，能获得对应的奖券金额为58元，于是，该顾客获得的优惠额为：1000×0.2+58＝258元，所以购买商品得到的优惠率=2581000×100%=25.8%；当商品的标价为[100, 360)元时，则消费金额为[80, 288)元，不能获得奖券，所以顾客得到的优惠率y=0.2xx=0.2；当商品的标价为[360, 600]元时，则消费金额为[288, 480]元，能获得对应的奖券金额为28元，所以顾客得到的优惠率y=o.2x+28x=0.2+28x，∴y=0.2,x∈[100,360)0.2+28x,x∈[360,600] ；试卷第7页，总7页, 当顾客购买标价不超过360元的商品时，顾客得到的优惠率为20%，当顾客购买标价在360元到600元之间的商品时，顾客得到的优惠率y＝0.2+28x，是减函数，∴当顾客购买标价为360元的商品时，顾客得到的优惠率最大，最大值为0.2+28360≈27.8%，∴该顾客不能得到超过30%的优惠率．23.a＝1时f(x)＝x2-2x+2，求f-1(1)即是求f(x)＝1在[-1, 1]的解，所以x2-2x+2＝1，解得x＝1，所以f-1(1)＝1；a=-12，时f(x)＝x2+x+2＝(x+12)2+74，x∈[-1, 1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数；函数存在反函数时必须在[-1, 1]上单调，而f(x)＝(x-a)2+2-a2，x∈[-1, 1]，对称轴x＝a，所以a≥1或a≤-1；当a≥1时，f-1(x)＝a-x+a2-2，x∈[3-2a, 3+2a]；当a≤-1 时，f-1(x)＝a+x+a2-2，x∈[3+2a, 3-2a]．24.证明：函数的定义域为R，且f(x)＝lg(x2+1)+1≥lg1+1＝1，函数值恒为正，故为正函数，得证；从反面入手，即函数f(x)=|x|+a|x|+1-1是“正函数”，求实数a的取值范围；函数的定义域为R，且f(x)=|x|+1+a|x|+1-2≥2a-2>0，则a>1，故0<a≤1；依题意，(a-2)2-4(4-2a)<0(a-1)2-8(2-2a)<0>0，则a<2，故a≥2；依题意，函数的定义域为R，且f(x)>0恒成立，当a＝0时，2>0恒成立，满足题意；当a≠0时，则需a>0△=a2-8a<0 ，解得0</a≤1；依题意，(a-2)2-4(4-2a)<0(a-1)2-8(2-2a)<0></x2，f(x1)-f(x2)＝(1-12x1+1)-(1-12x2+1)=2x1-2x2(2x1+1)(2x2+1)，又由x1<x2，则2x1-2x2<0，2x1+1></f(2)的解是________．二.选择题)15.已知1<a<3，2<b<4，现给出以下结论：（1）3<a+b<7；（2）-3<a-b<1；（3）2<a⋅b<12；(4)14<ab<32；以上结论正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个16.已知a∈r，则“a<1”是“1a>
