2019-2020学年某校高一（上）期末数学试卷一、填空题)1.函数f(x)=2-x+ln(x-1)的定义域为________．2.设函数f(x)=(x+1)(x-a)x为奇函数，则实数a的值为________．3.已知y＝logax+2(a>0且a≠1)的图象过定点P，点P在指数函数y＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4.方程92x+1＝(13)x的解为________．5.对任意正实数x，y，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(3)=________．6.已知幂函数f(x)＝(m2-5m+7)xm是R上的增函数，则m的值为________．7.已知函数f(x)=2x(x≤0)log2x(0<x≤1) 的反函数是f-1(x)，则f-1(12)＝________．8.函数y＝log34|x2-6x+5|的单调递增区间为________．9.若函数f(x)=loga(x2-ax+2)(a>0且a≠1)满足：对任意x1，x2，当x1<x2≤a2时，f(x1)-f(x2)>0，则a的取值范围为________2）．10.已知x>0，定义f(x)表示不小于x的最小整数，若f（3x+f(x)）＝f(6.5)，则正数x的取值范围为________．11.已知函数f(x)＝loga(mx+2)-loga(2m+1+2x)(a>0且a≠1)只有一个零点，则实数m的取值范围为________．12.已知函数f(x)=log12(1-x),-1≤x≤n22-|x-1|-3,n<x≤m ，(n<m)的值域是[-1, 1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈(0, 2]；（2）n=12时，m∈(12,2]；（3）n=[0,12)时，m∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题)13.下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（）A.f(x)=1x-xB.f(x)＝3|x|C.f(x)＝-x3D.f(x)＝-log2x+1x-114.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞, 0)上单调递增，若实数m满足f(|m-1|)>f(-1)，则m的取值范围是（）A.(-∞, 0)B.(-∞, 0)∪(2, +∞)C.(0, 2)D.(2, +∞)15.如果函数f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+1)＝f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lga2x+1为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A.(12,32)B.(32,3)C.(32,3]D.(3, +∞]试卷第5页，总6页
16.定义在(-1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x-1)+1，当x∈(-1, 0]时，f(x)=1x+1-1，若函数g(x)＝|f(x)-12|-mx-m在(-1, 1)内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.(14,916)B.[14,916)C.[14,12)D.(14,12)三.解谷题)17.已知函数f(x)＝2x-1的反函数是y＝f-1(x)，g(x)＝log4(3x+1)．（1）画出f(x)＝2x-1的图象；（2）解方程f-1(x)＝g(x)．18.已知定义在R上的奇函数f(x)＝kax-a-x（(a>0且a≠1)，k∈R)．（1）求k的值，并用定义证明当a>1时，函数f(x)是R上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a2x+a-2x在区间[0, 1]上的取值范围．19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(t)-1500t-60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.对于定义域为D的函数y＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x-3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m-4x-1有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．21.定义在R上的函数g(x)和二次函数h(x)满足：g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9，h(-2)=h(0)=1，h(-3)=-2．(1)求g(x)和h(x)的解析式；(2)若对于x1，x2∈[-1, 1]，均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)+3-e成立，求a的取值范围；(3)设f(x)=g(x),x>0,h(x),x≤0. 在(1)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a+5的解的个数．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2019-2020学年某校高一（上）期末数学试卷一、填空题1.(1, 2]2.13.2x4.-255.16.37.-18.(-∞, 1)，[3, 5)9.(1，210.(43,53]11.m≤-1或m＝0或m=-1212.（2）（3）二、选择题13.D14.C15.B16.C三.解谷题17.如图所示，由y＝2x-1，解得：x＝log2(y+1)，把x与y互换可得：y＝log2(x+1)，∴f(x)的反函数是y＝f-1(x)＝log2(x+1)(x>-1)．方程f-1(x)＝g(x)即log2(x+1)＝log4(3x+1)．∴(x+1)2＝3x+1>0，解得：x＝0，1．18.因为定义在R上的奇函数f(x)＝kax-a-x（(a>0且a≠1)，k∈R)．所以f(0)＝k-1＝0，解得k＝1，∴f(x)＝ax-a-x，当a>1时，任取x1，x2∈(-∞, +∞)，且x1<x2，f(x1)-f(x2)＝(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)＝(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)，试卷第5页，总6页
＝(ax1-ax2)+(1ax2-1ax1)＝(ax1-ax2)+ax1-ax2ax1ax2＝(ax1-ax2)+ax1-ax2ax1x2＝(ax1-ax2)(1+1ax1+x2)，∵a>1，x1<x2，∴ax1<ax2，即ax1-ax2<0，ax1+x2>0，∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x) 在R上是增函数．由（1）知，k＝1，又因为f(1)=32，a-a-1=32，解得a＝2或-12（舍），所以g(x)＝22x+2-2x＝4x+4-x＝4x+14x，令t＝4x，(1≤t≤4)则y＝t+1t，所以t∈[2, 174]，函数g(x)＝a2x+a-2x在区间[0, 1]上的取值范围[2, 174]．19.解：(1)由题意知，p(t)=400-k(10-t)2,2≤t<10，400,10≤t≤20 （k为常数），∵p(2)=400-k(10-2)2=272，∴k=2．∴p(t)=400-k(10-t)2,2≤t<10，400,10≤t≤20. ∴p(6)=400-2(10-6)2=368；(2)由Q=6p(t)-1500t-60，可得Q=1t(-12t2+180t-300),2≤t<10，1t(-60t+900),10≤t≤20， 当2≤t<10时，Q=180-(12t+300t)≤180-212t⋅300t=60，当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=-60+900t≤-60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20.∵函数f(x)＝x3；∴f(x)在R内单调递增；再令f(x)＝x3＝x，∴x＝-1，0试卷第5页，总6页
，1；∴f(x)＝x3的“和谐区间”为：[-1, 0]、[0, 1]、[-1, 1]；假设函数f(x)=|4x-3|存在和谐区间，∴|4x-3|=x；∴x2+3x-4＝0或x2-3x+4＝0①当x2+3x-4＝0，即x＝-4或1；在[-4, 1]内f(x)不单调，故不成立；②当x2-3x+4＝0时，x无解，故不成立；∴综上所述：函数f(x)=|4x-3|不存在和谐区间；∵函数f(x)=2m-4x-1有“和谐区间”；∴f(x)在(2, k)内单调递增，且f(x)＝x在定义内有两个不等的实数根；∴2m-4x-1=x在定义内有两个不等的实数根；即：2m＝x+4x-1=x-1+4x-1+1；∵x∈(2, k)，∴2m≥2(x-1)⋅4x-1+1=5，即m≥52；∵g(x)=x+4x-1在(2, 3)内单调递减，在(3, +∞)内单调递增，∴k>3；∵函数g(x)=x+4x-1与直线y＝2m在(2, k)有两个交点，g(2)＝6∴k+4k-1=6，∴正整数k最小值为5，此时g(5)＝6；∴2m＝6；即m＝3；此时m的取值范围为(52, 3)．21.解：(1)∵g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9，∴g(-x)+2g(x)=e-x+2ex-9，由以上两式联立可解得，g(x)=ex-3；∵h(-2)=h(0)=1，∴二次函数的对称轴为x=-1，故设二次函数h(x)=a(x+1)2+k，则a+k=1,4a+k=-2. 解得a=-1,k=2. ∴h(x)=-(x+1)2+2=-x2-2x+1.(2)由(1)知，g(x)=ex-3，其在[-1, 1]上为增函数，故g(x)max=g(1)=e-3，∴h(x1)+ax1+5≥e-3+3-e=0对任意x∈[-1, 1]都成立，即x12+(2-a)x1-6≤0对任意x∈[-1, 1]都成立，∴1-(2-a)-6≤0,1+(2-a)-6≤0. 解得-3≤a≤7，故实数的a的取值范围为[-3, 7].试卷第5页，总6页
(3)f(x)=ex-3,x>0,-x2-2x+1,x≤0. 作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[-3, 7]，则f(t)=a+5∈[2, 12]，①当a=-3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=-1，t2=ln5∈(1, 2)，则f(x)=-1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当-3<a<e2-8时，f(t)=a+5∈(2, e2-3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5, 2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2-8时，f(t)=a+5=e2-3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2-8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2-3, 12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2, ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．试卷第5页，总6页
