2020-2021学年山东省日照市五莲县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.若向量ሺെെ，向量ሺ䁞，且满足向量，则等于()A.െB.െC.䁞D.䁞2.点ሺെ到直线＝ሺ䁩െ距离的最大值为（）A.െB.䁞C.D.䁞3.已知向量ሺ䁞െ为平面的法向量，点ሺെ䁞െ在内，则ሺെ䁞䁞到的距离为（）A.B.C.䁞D.െ4.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点െ，䁞均在䁩轴上，的面积为䁞，过点െ的直线交于点，，且䁞的周长为，则的标准方程为（）䁩䁞䁞䁩䁞䁞䁩䁞䁞䁩䁞䁞A.െB.െC.െD.െെ5.在平面内，，是两个定点，是动点．若െ，则点的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线6.如图，正方体ܥെെെܥെ的棱长为，对角线െ和ܥെ相交于点，则ሺA.െെ䁞䁞B.െ䁞䁞െ䁞䁞C.D.ܥെ䁞7.台风中心从地以每小时䁞千米的速度向东北方向移动，离台风中心千米内的地区为危险区，城市在的正东千米处，则城市处于危险区内的时间为（）试卷第1页，总9页,A.香小时B.െ小时C.െ香小时D.䁞小时䁩䁞䁞8.已知双曲线䁞䁞െሺ的左、右焦点分别为െ，䁞，点是的右支上一点，连接െ与轴交于点，若െ＝䁞（为坐标原点），െ䁞，则双曲线的渐近线方程为（）A.＝䁩B.䁩C.＝䁞䁩D.䁞䁩二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)9.已知直线䁩䁞䁞＝．（）A.直线䁩䁞െ＝与直线平行B.直线䁩䁞െ＝与直线平行C.直线䁞䁩䁞＝与直线垂直D.直线䁩䁞െ与直线垂直10.已知曲线曲䁩䁞䁞＝െ．（）A.若曲，则是椭圆，其焦点在䁩轴上B.若曲＝，则是圆，其半径为曲C.若曲㠴，则是双曲线，其渐近线方程为䁩D.若曲＝，，则是两条直线11.在正方体ܥെെെܥെ中，，分别是െܥെ和െܥെ的中点，则下列结论正确的是（）A.െെ平面B.െܥ平面െC.ܥܥܥെܥ䁞D.点ܥ与点െ到平面的距离相等െ䁩䁞䁞12.我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆െሺ䁞䁞䁞，െ，䁞，െ，䁞分别为左、右、上、下顶点，െ，䁞分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（）试卷第2页，总9页,A.＝䁞െെ䁞䁞െ䁞B.＝െെ䁞C.െ䁩轴，且䁞െD.四边形െ䁞䁞െ的内切圆过焦点െ，䁞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。)䁞െ13.抛物线䁩的准线方程是________．14.已知向量ሺെ䁞െ，ሺെ，ሺെെ，且，，三点共线，则________．䁩䁞䁞15.已知为双曲线െሺ的右焦点，为的右顶点，为䁞䁞上的点，且垂直于䁩轴．若的斜率为，则的离心率为________．16.䁞䁞年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：ሺ是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在䁩轴上，圆与圆的半径都等于䁞，圆、圆均与圆外切．已知直线过点．（1）若直线与圆、圆均相切，则截圆所得弦长为________；（2）若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则________．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17.已知直线经过两条直线䁞䁩＝和䁩＝的交点，且与直线䁩䁞＝垂直．（1）求直线的方程；（2）若圆过点ሺെ，且圆心在䁩轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为䁞䁞，求圆的标准方程．18.已知长方体ܥെെെܥെ，െ，＝䁞＝䁞，为棱的中点，为线段ܥെ的中点．（1）求异面直线与ܥെ所成角的余弦值；（2）求直线ܥെ与平面ܥ所成角的正弦值．试卷第3页，总9页,䁞19.已知椭圆中心在原点，焦点在䁩轴上，离心率为，且一个焦点和短轴的两个端䁞点构成面积为െ的等腰直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于点，，又直线交直线䁩＝䁞于点，若䁞，求线段的长．20.已知点ሺെ，ሺ，曲线上任意一点满足＝䁞．（1）求曲线的方程；（2）设点ܥሺ，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，䁩轴都平分ܥ，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．21.如图，矩形ܥ和梯形所在平面互相垂直，，＝＝．ܥ，＝䁞（1）求证：平面ܥ；（2）当的长为何值时，二面角的大小为．䁩䁞䁞22.已知抛物线䁞＝䁞䁩ሺ的焦点与椭圆െ的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为െ，䁞，证明：െ䁞为定值；（3）求的最小值．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省日照市五莲县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D2.B3.B4.C5.A6.C7.B8.C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9.A,B,C10.C,D11.A,C12.B,D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。െ13.െ䁞14.15.䁞16.െ䁞四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。䁞䁩17.由已知得：，解得两直线交点为ሺ䁞െ，䁩∵与䁩䁞＝垂直，∴െ＝െ．∵过点ሺ䁞െ，∴的方程െ＝ሺ䁩䁞即＝䁩െ．ሺെ䁞䁞设圆的标准方程为ሺ䁩䁞䁞＝䁞，则，解得＝，＝䁞．െ䁞ሺ䁞䁞∴圆的标准方程为ሺ䁩䁞䁞＝．试卷第5页，总9页,18.以ܥ为原点，以ܥ、ܥ、ܥܥെ分别为䁩轴，轴，轴建立空间直角坐标系．则ሺെെ，ሺെ，ሺെ，ܥെሺ䁞则ሺെ，ܥെሺെ，直线与ܥെ所成角为，䁞ܥെ䁞则cos．ܥെെ故异面直线与ܥെ所成角的余弦值为．െܥሺെെ，ܥሺെ，ܥെሺെ，䁞设面ܥ的法向量为ሺ䁩，ܥ䁩则，令＝䁞，可得ሺ䁞，ܥ䁞设直线ܥെ与平面ܥ所成角为，ܥെ则sin，ܥെെ䁞所以直线ܥെ与平面ܥ所成角的正弦值为．䁞䁩䁞䁞19.设椭圆方程为െሺ．䁞䁞䁞䁞因为离心率为，所以，䁞䁞焦点和短轴的两个端点恰为一个等腰直角三角形的顶点且面积为െ，于是＝．＝െ．因为䁞െ䁞．䁩䁞故椭圆的方程为䁞െ．䁞由题意可知䁞，为中点，䁩＝䁩＝＝െ，䁩䁞故将䁩＝െ代入䁞െ，䁞䁞可得，从而䁞．䁞试卷第6页，总9页,20.设ሺ䁩，∵＝䁞．∴ሺ䁩䁞䁞䁞ሺ䁩െ䁞䁞，化为：䁩䁞䁞＝．设存在定点满足条件，设直线的方程为＝䁩．设ሺ䁩െെ，ሺ䁩䁞䁞．䁩联立，䁩䁞䁞化为：䁩䁞ሺ䁩䁞＝，∴ሺെ䁞䁩䁞䁞䁩䁞＝，．䁞䁞∴䁩െ䁩䁞െ䁞，䁩െ䁩䁞െ䁞，无论直线如何运动，䁩轴都平分ܥ，则ܥܥ＝，െ䁞∴．䁩െ䁩䁞∴ሺ䁩െሺ䁩䁞ሺ䁩䁞ሺ䁩െ＝，∴䁞䁩െ䁩䁞ሺሺ䁩െ䁩䁞＝，䁞䁞∴䁞ሺ＝，െ䁞െ䁞化为：＝．∴．∴＝ሺ䁩െ，可得直线经过定点ሺ．∴存在过定点ሺ的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，䁩轴都平分ܥ．21.过作于，连接ܥ，则四边形为矩形．又ܥ为矩形，∴ܥ平行且等于，试卷第7页，总9页,∴四边形ܥ为平行四边形，∴ܥ，∵平面ܥ，ܥ平面ܥ，∴平面ܥ．分别以直线、、所在的直线为䁩轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，依题意可得：ሺ，ሺ，ሺ，ሺ，设＝曲，则ሺ曲．ሺ曲，ሺെ，平面的法向量曲ሺെ．设平面的法向量ሺ䁩，䁩曲则，取＝，得ሺ曲曲䁩∵二面角的大小为，曲∴cos，解得曲．曲െ䁞曲䁞െ䁞∴当时，二面角的大小为．䁞22.由椭圆方程得，椭圆的右焦点为ሺെ∴抛物线的焦点为ሺെ，∴＝䁞，所以抛物线的标准方程：䁞＝䁩．抛物线的准线方程为䁩＝െ．设ሺെ，设过点ሺെ的直线方程为＝ሺ䁩െ，与抛物线方程䁞＝䁩联立，消去䁩得：䁞＝．其判别式＝െെሺ，令＝，得：䁞െ＝．由韦达定理知െ䁞＝，െ䁞＝െ，故െ䁞＝െ（定值）．䁞െ䁞设ሺ䁩െെ，ሺ䁩䁞䁞，由െ＝，得，䁞䁞െ䁞䁞䁞䁞故＝ሺ，䁞െ所以，代入抛物线方程得䁩，䁞െ䁞െ䁞所以ሺ䁞，ሺ䁞，െെ䁞䁞试卷第8页，总9页,െെ䁞䁞ሺ䁞ሺ䁞䁞䁞െ䁞䁞െ䁞䁞䁞െ䁞െ䁞䁞ሺሺ䁞䁞െ䁞䁞െ因为െ䁞＝െ，െ䁞＝，所以ሺ䁞䁞䁞ሺ䁞䁞െ䁞െ䁞െ䁞䁞ሺെ䁞䁞െ䁞䁞䁞＝䁞，当且仅当＝时取等号．当且仅时取等号．故的最小值为．试卷第9页，总9页
