等式性质与不等式性质[A级 基础巩固]1．如果a＜0，b＞0，那么下列选项正确的是( )A.＜ B.＜C．a2＜b2D．|a|＞|b|解析：选A ∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜，故选A.2．(2021·重庆一中月考)若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )A．ac＞bcB．(a－b)c2＞0C．a2＜b2D．3c－2a＜3c－2b解析：选D 对于选项A，a＞b且c∈R，当c小于或等于0时，不等式ac＞bc不成立，故A错误；对于选项B，a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，当c＝0时不等式(a－b)c2＞0不成立，故B错误；对于选项C，当a＝2，b＝－1时，满足a＞b，但不满足a2＜b2，故C错误；对于选项D，将不等式3c－2a＜3c－2b化简即可得到a＞b，成立，故D正确．3．(2021·福建晋江四校高一联考)已知实数m，n满足－4≤m≤－1，－1≤n≤5，则8n－5m的取值范围是( )A．－3≤8n－5m≤60B．－21≤8n－5m≤78C．12≤8n－5m≤45D．3≤8n－5m≤45解析：选A 由－1≤n≤5可知－8≤8n≤40，由－4≤m≤－1可知1≤－m≤4，则5≤－5m≤20，所以－3≤8n－5m≤60，故选A.4．(多选)若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有( )A．x－1＞1－yB．x－1＞y－1C．x－y＞1－yD．1－x＞y－x解析：选BCD x－1－(1－y)＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)＜0，故选项A中不等式不一定成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故选项B中不等式一定成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故选项C中不等式一定成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故选项D中不等式一定成立．故选B、C、D.5．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则M＝9x－y的取值范围是( )A．－7≤M≤26B．－1≤M≤20C．4≤M≤15D．1≤M≤15解析：选B 令m＝x－y，n＝4x－y，则则9x－y＝n－m.4
∵－4≤m≤－1，∴≤－m≤.∵－1≤n≤5，∴－≤n≤.因此－1≤n－m≤20，即－1≤9x－y≤20，故选B.6．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得<成立的是________(填序号)．解析：<⇔<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤68．已知－1＜α＜β＜1，则α－β的取值范围是________．解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.所以－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.答案：－2＜α－β＜09．已知a＞b＞0，且c＞d＞0.求证：＞.证明：因为c＞d＞0，所以＞＞0，因为a＞b＞0，所以＞＞0，所以＞.10．若实数m，n满足求3m＋4n的取值范围．解：令3m＋4n＝x(2m＋3n)＋y(m－n)＝(2x＋y)m＋(3x－y)n，则解得因此3m＋4n＝(2m＋3n)＋(m－n)．由－1≤2m＋3n≤2得－≤(2m＋3n)≤.由－3＜m－n≤1得－＜(m－n)≤，4
所以－－＜3m＋4n≤＋，即－2＜3m＋4n≤3.[B级 综合运用]11．给出下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒＜1；④a＞b⇒＜.其中正确的命题个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：选A 只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，＜1才成立，故③错误；当a＞0，b＜0时，＞，故④错误．12．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是( )A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选ABC 因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选A、B、C.13．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：314．已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．解：法一(待定系数法)：设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，则4a－2b＝(m＋n)a＋(－m＋n)b，所以解得所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.又2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.4
即5≤4a－2b≤10.法二(换元法)：设则a＝，b＝.所以4a－2b＝2(m＋n)－(n－m)＝3m＋n，而1≤m＝a－b≤2，2≤n＝a＋b≤4，所以5≤4a－2b≤10.[C级 拓展探究]15．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|.(1)求证：b＋c>0；(2)求证：<；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．解：(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0.(2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，所以(a－c)2>(b－d)2>0，所以0<<，①因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0，②①②相乘得<.(3)因为a＋d>b＋c>0，0<<，所以<<或<<.(只要写出其中一个即可)4
