不等式的解集[A级 基础巩固]1．已知数轴上A，B两点的坐标分别为，－，则AB为( )A．0 B．－C.D.解析：选C AB＝＝.2．不等式组的解集为( )A．(－2，1]B．(－∞，－2)∪[1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－2)解析：选C 由得∴x≥1.3．不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，则a，b的值分别是( )A．a＝3，b＝6B．a＝－3，b＝9C．a＝6，b＝3D．a＝－3，b＝6解析：选A 不等式|x－a|＜b，等价于－b＜x－a＜b，等价于a－b＜x＜a＋b，再根据不等式|x－a|＜b的解集是{x|－3＜x＜9}，可得a－b＝－3，a＋b＝9，求得a＝3，b＝6，故选A.4．若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )A．a＜－36B．a≤－36C．a＞－36D．a≥－36解析：选C 解不等式1＋x＜a，得x＜a－1.解不等式＋1≥－1，得x≥－37.因为不等式组有解，所以a－1＞－37，即a＞－36.5．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是( )A．(－3，2)B．(－1，3)C．(－4，1)D.解析：选C |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，5
－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4，1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4，1)．6．不等式组的所有正整数解的和为________．解析：解原不等式组，得不等式组的解集是－≤x＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6.答案：67．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2.即x≥－1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}8．关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为则m＝________．解析：|mx－2|＜3⇔－3＜mx－2＜3⇔－1＜mx＜5，①若m＞0，则－＜x＜，由题意得－＝－且＝，无解，②若m＜0，则＜x＜，由题意得＝－且＝，所以m＝－6，综上可得m＝－6.答案：－69．已知关于x的不等式组(1)当m＝－11时，求不等式组的解集；(2)当m取何值时，该不等式组的解集是∅？解：(1)当m＝－11时，5
解不等式①得x>－4，解不等式②得x<－，∴不等式组的解集为.(2)解不等式m－2x<x－1，得x>.∵不等式组的解集为∅，∴≥－，∴m≥－.10．解关于x的不等式：|2x－1|＜2m－1(m∈R)．解：(1)当2m－1≤0时，即m≤，因为|2x－1|≥0，故原不等式的解集是空集．(2)当2m－1＞0时，即m＞，原不等式等价于－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，解得1－m＜x＜m.综上，当m≤时，原不等式解集为空集；当m＞时，不等式解集为{x|1－m＜x＜m}．[B级 综合运用]11．(多选)下列各项可以作为不等式＞x＋1的解集的子集的是( )A．{x|x＜－3}B．{x|x＞5}C．{x|x＜－}D．{x|1＜x＜}解析：选ACD 当x－1＞0即x＞1时，有1＞(x＋1)(x－1)，即x2＜2，∴1＜x＜；当x－1＜0即x＜1时，有1＜(x＋1)(x－1)，即x2＞2，∴x＜－或x＞(舍)，故原不等式的解集为(－∞，－)∪(1，)，A、C、D均为其子集．12．(多选)如果<x<是不等式|x－a|<1成立的充分条件，但不是必要条件，则实数a的值可以是( )A.B．15
C.D．0解析：选ABC 根据题意，不等式|x－a|<1的解集是{x|a－1<x<a＋1}，设其为p，<x<为q，则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示的集合的真子集．则有(等号不同时成立)，解得≤a≤，故选A、B、C.13．对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，因为ymin＝0，所以m＋2≤0，所以m≤－2，所以m的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]14．如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．解：原不等式组的解集可利用a，b表示为≤x≤，根据不等式组的整数解仅有1，2，可确定a，b的范围为0＜≤1，2≤＜3，即0＜a≤3，4≤b＜6，因为a，b为整数，所以a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5.[C级 拓展探究]15．已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．解：法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB.由图(图略)知(PA－PB)max＝1，(PA－PB)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.5
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．5
