均值不等式[A级 基础巩固]1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )A．s≥t B．s>tC．s≤tD．s<t解析：选A ∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.2．下列不等式中正确的是( )A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：选D 若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错；取a＝4，b＝16，则＜，故C错；由均值不等式可知D项正确．3．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是( )A．ab≤B．ab≤C.≥D.≤解析：选ABC 由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤，∴≥，故选A、B、C.4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )A．a＞b＞＞B．a＞＞＞bC．a＞＞b＞D．a＞＞＞b解析：选B a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )5
A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)解析：选D 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝.答案：≤7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．解析：用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．答案：x≤8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，5
此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，∴＝3，即a＝36.答案：369．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.证明：由题意a，b为正实数，则＋＝＋＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时“＝”成立．10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．∴＋＋－3≥3，即＋＋≥3.[B级 综合运用]11．下列不等式一定成立的是( )A．x＋≥2B.≥C.≥2D．2－3x－≥2解析：选B A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．5
B项中，＝≥，∴B正确．而对于C，当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．D项中，取x＝1，2－3x－<2，∴D错误．12．(多选)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )A．ab＞1B．ab＜1C.＜1D.＞1解析：选BD 因为ab≤，a≠b，所以ab＜1，又1＝＝＜，所以＞1，所以ab＜1＜.13．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；＝＝≥＝＝，故②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1，可知④不正确．答案：①②14．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c＞＋＋.5
[C级 拓展探究]15．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．(1)求证：＋＋≥；(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，所以＋＋＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝≥(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，所以＋＋≥得证．(2)因为a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2，2]使不等式成立．5
