均值不等式的应用[A级 基础巩固]1．(多选)下列说法正确的是( )A．x＋的最小值为2B．x2＋1的最小值为1C．3x(2－x)的最大值为2D．x2＋最小值为2－2解析：选BD 当x<0时，x＋<0，故选项A错误；∵x2＋1≥1，∴选项B正确；∵3x(2－x)＝－3(x－1)2＋3，故3x(2－x)的最大值为3，∴选项C错误；∵x2＋＝(x2＋2)＋－2≥2－2＝2－2，选项D正确．故选B、D.2．已知正实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为( )A．1 B.C．2D．4解析：选D ∵ab＝a＋b≥2，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故ab的最小值为4，故选D.3．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )A．8B．7C．6D．5解析：选C 由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，7
当且仅当即a＝b＝18时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则( )A．a<v<B．v＝C.<v<D．v＝解析：选A 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，∵b>a>0，则v＝＝<＝，又>＝a，故选A.5．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是( )A．4B．5C．8D．10解析：选B 依题意有x＋y＝m＋n＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝时取等号．故选B.6．(多选)已知a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么下列结论正确的有( )A．a＋b有最大值2＋2B．a＋b有最小值2＋2C．ab有最大值＋1D．ab有最小值2＋3解析：选BD 令a＋b＝s，ab＝t，由题意可得s>2，t>1，t－s＝1，由均值不等式s≥2，则t－1≥2，由t>1可得t2－2t＋1≥4t，则t≥3＋2，a＝b＝＋1取等号；s≥2，由s>2可得s2－4s－4≥0，则s≥2＋2，a＝b＝＋1取等号；故选B、D.7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度c(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为c＝，则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大．7
解析：c＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以c＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，c取得最大值．答案：28．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．解析：∵y＝－x2＋12x－25，∴年平均利润为＝＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．答案：59．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.(1)求xy的最大值；(2)求＋的最小值．解：(1)∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，∴2x＋5y≥2，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为10.(2)＋＝·(2x＋5y)＝＝≥(7＋2)，当且仅当x＝y时，等号成立．∴＋的最小值为(7＋2)．7
10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)解：设总费用为y元，由题意，得y＝76.4×＋7.2××＝＋2x(40≤x≤100)．因为y＝＋2x≥2＝280.当且仅当＝2x，即x＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h.[B级 综合运用]11．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A．a＋b＋≥2B.≥C.≥a＋bD．(a＋b)≥4解析：选ACD 因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立．故B不成立．因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，7
所以≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选A、C、D.12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )A．－B.C.D．－4解析：选A 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.13．一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是( )①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④.A．①③B．①③④C．②④D．②③④解析：选A 设矩形的长和宽分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.对于①(1，4)，则x＋y＝2，xy＝1，满足xy≤，符合题意；对于②(6，8)，则x＋y＝4，xy＝6，不满足xy≤，不符合题意；对于③(7，12)，则x＋y＝6，xy＝7，满足xy≤，符合题意；对于④，则x＋y＝，xy＝3，不满足xy≤，不符合题意．综合，可作为数对(S，l)的序号是①③.14．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，求实数m的取值范围．7
解：∵2x＋m＋>0在x>1时恒成立，∴m>－2x－＝－2＝－2，又x>1时，x－1>0，x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，∴－2≤－2×5＝－10.∴m>－10，∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．[C级 拓展探究]15．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2021年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，又每件产品的销售价格为1.5×元，∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.7
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．7
