不等式及其性质基础过关练题组一 不等关系与不等式 1.实数m不超过2,是指( )A.m>2B.m≥2C.m<2D.m≤22.完成一项装修工程,请木工每人需付工资500元,请瓦工每人需付工资400元,现有工人工资预算20000元,设木工请x人,瓦工请y人,则x,y应满足的关系式是( )A.5x+4y<200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤2003.学生小李家中有经济困难,为帮助小李解决开学费用问题,小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用.若每人承担12元,则多出84元;若每人承担10元,则不够;若每人承担11元,又多出40元以上.该班共有x人(x∈N*),这笔开学费用共y元,则上述问题中的数量关系可表示为 . 题组二 实数大小的比较4.(2020湖南长沙师大附中高一上第一次月考)设M=3x2-x+1,N=x2+x-1,则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.M与N的大小关系与x有关5.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定6.已知|a|<1,则1a+1与1-a的大小关系为( )A.1a+1<1-aB.1a+1>1-aC.1a+1≥1-aD.1a+1≤1-a7.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R;10
(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.题组三 不等式的性质及其推论8.(2020山西运城新绛中学、河津中学等校高一上10月联考)若a>b,c>d,则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a-b>c-dB.a+c>b+dC.a-c>b-cD.a-c<a-d9.如果a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a210.已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab11.(2020山西师院附中、师苑中学高一上第一次月考)若a,b,c为实数,则下列命题正确的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a<b<0,则1a<1bD.若a<b<0,则ba>ab题组四 求代数式的取值范围12.已知α∈0,12,β∈0,12,则2α-β3的取值范围是( )A.0,56B.-16,56C.(0,1)D.-16,113.(2020山东菏泽第一中学等六校高一上第一次联考)已知-1<2s+t<2,3<s-t<4,则5s+t的取值范围是 .(用区间表示) 14.已知12<a<60,15<b<36,则ab的取值范围为 . 15.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是 . 10
能力提升练一、单项选择题 1.(2019河南商丘九校联考,)已知x>y>z,且x+y+z=1.下列不等式中成立的是( )A.xy>yzB.xy>xzC.xz>yxD.x|y|>z|y|2.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=1x+1y+1z,则( )A.T>0B.T<0C.T=0D.T≥03.(2020江苏南京外国语学校高一上第一次月考,)已知a,b,c∈R,则下列四个命题正确的个数是( )①若ac2>bc2,则a>b;②若|a-2|>|b-2|,则(a-2)2>(b-2)2;③若a>b>c>0,则ab>a+cb+c;④若a>0,b>0,a+b>4,ab>4,则a>2,b>2.A.1B.2C.3D.44.(2020湖南长沙一中高一上第一次阶段性检测,)若P=a+2+a+3,Q=a+a+5,a≥0,则P与Q的大小关系为( )A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定5.(2020辽宁六校高一上第一次联考,)有3个房间需要粉刷,粉刷方案为:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同方案中,下列费用(单位:元)最低的是( )A.ax+by+czB.ay+bx+czC.ay+bz+cxD.az+by+cx10
二、多项选择题6.(2020福建福州高一期中,)已知下列三个不等式:①ab>0;②ca>db;③bc>ab,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可组成真命题的为( )A.①③⇒②B.①②⇒③C.②③⇒①D.不能组成真命题三、填空题7.()若a>b>c,则1a-b+1b-c 3a-c.(填“>”“=”或“<”)8.()不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中是真命题的是 . 四、解答题9.()已知-12<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=11+a,D=11-a,试猜测A,B,C,D的大小关系,并证明.10.()若实数m,n满足-1≤2m+3n≤2,-3<m-n≤1,求3m+4n的取值范围.10
11.(2020安徽合肥七中高一上第一次段考,)已知a,b,c,d为实数,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).答案全解全析第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质基础过关练1.D2.D4.A5.B6.C8.A9.B10.C11.B12.D1.D “不超过”就是“小于或等于”.故选D.2.D 根据题意可知500x+400y≤20000,即5x+4y≤200.故选D.3.答案 12x-y=9610x-y<1011x-y>5110
解析 由题意可得12(x-1)-y=84,10(x-1)<y,11(x-1)-y>40,即12x-y=96,10x-y<10,11x-y>51.4.A ∵M-N=3x2-x+1-(x2+x-1)=2x2-2x+2=2x-122+32>0,∴M>N.5.B 由题意得M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.故选B.6.C 解法一:令a=0,则1a+1=1-a,排除A、B;令a=12,则1a+1>1-a,排除D.故选C.解法二:∵|a|<1,∴a+1>0,a2≥0,∴1a+1-(1-a)=a2a+1≥0,∴1a+1≥1-a.故选C.7.解析 (1)∵x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)≥0,∴x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±1时取等号.(2)∵(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=12且z=1时取等号.8.A 对于A,若a=0,b=-1,c=3,d=-2,显然a-b<c-d,故A不一定成立;对于B,由a>b,c>d,知a+c>b+d,故B一定成立;对于C,由a>b,知a-c>b-c,故C一定成立;对于D,由c>d,知-c<-d,则a-c<a-d,故D一定成立.9.B 解法一:∵a2+a<0,∴0<a2<-a,∴0>-a2>a,∴a<-a2<a2<-a.故选B.解法二:取特殊值检验,∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,令a=-12,则a2=14,-a2=-14,-a=12,又12>14>-14>-12,∴-a>a2>-a2>a,排除A、C、D.故选B.10
10.C 对于A,可举反例,如-2<1,但(-2)2>12,故A不成立;对于B,ab2-a2b=ab(b-a),而ab的符号不确定,故B不一定成立;对于C,因为1ab2-1a2b=a-ba2b2,a<b,且a2b2>0,所以1ab2-1a2b<0,即1ab2<1a2b,故C成立;对于D,要使ba<ab成立,即b2-a2ab<0成立,需b2-a2与ab异号,而b2-a2,ab的符号都不确定,故D不成立.故选C.11.B 对于A选项,若c=0,则ac2=bc2,故A不正确;对于B选项,∵a<b<0,∴在不等式a<b两边同时乘a,得a2>ab,在不等式a<b两边同时乘b,得ab>b2,∴a2>ab>b2,故B正确;对于选项C,在a<b两边同时除以ab(ab>0),可得1b<1a,故C不正确;对于选项D,令a=-2,b=-1,则有ab=-2-1=2,ba=12,ba<ab,故D不正确.12.D 因为0<α<12,0≤β≤12,所以0<2α<1,0≤β3≤16,-16≤-β3≤0,所以-16<2α-β3<1.故选D.13.答案 (1,8)解析 因为-1<2s+t<2,所以-2<4s+2t<4,又因为3<s-t<4,所以1<5s+t<8,所以5s+t的取值范围是(1,8).14.答案 13,4解析 由0<15<b<36得0<136<1b<115,而0<12<a<60,根据不等式性质的推论可得12×136<a·1b<115×60,即13<ab<4,所以ab的取值范围为13,4.15.答案 (0,8)解析 由题意得0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8.能力提升练1.B2.B3.C4.A5.D6.ABC一、单项选择题1.B ∵x>y>z,且x+y+z=1,∴x>0,∴xy>xz.故选B.2.B 因为x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0.T=xy+yz+xzxyz=y(x+z)+xzxyz=-y2+xzxyz.10
因为x>0,z<0,所以xz<0.又因为-y2<0,所以-y2+xz<0.因为xyz>0,所以T<0.故选B.3.C ①当ac2>bc2时,c2>0,两边同时除以c2,得a>b,故①正确;②|a-2|>|b-2|≥0,那么|a-2|2>|b-2|2,即(a-2)2>(b-2)2,故②正确;③ab-a+cb+c=a(b+c)-b(a+c)b(b+c)=c(a-b)b(b+c),∵a>b>c>0,∴c(a-b)>0,b(b+c)>0,∴ab>a+cb+c,故③正确;④令a=10,b=12,满足a+b>4,ab>4,不满足b>2,故不正确.故共有3个正确.4.A P2=2a+5+2(a+2)(a+3)=2a+5+2a2+5a+6,Q2=2a+5+2a(a+5)=2a+5+2a2+5a,因为a2+5a+6>a2+5a,所以P2>Q2,又P>0,Q>0,所以P>Q.5.D 因为x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz.因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx.故最低费用为(az+by+cx)元.二、多项选择题6.ABC 对于②,ca>db⇔bc-adab>0.由ab>0,bc>ad,得②成立,即①③⇒②;若ab>0,bc-adab>0,则bc>ad,即①②⇒③;若bc>ad,bc-adab>0,则ab>0,即②③⇒①.故选ABC.三、填空题7.答案 >解析 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,10
∴1a-b+1b-c-3a-c=(a-b+b-c)(a-c)-3(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)=[(a-b)+(b-c)]2-3(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)=[(a-b)-(b-c)]2+(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)>0,∴1a-b+1b-c>3a-c.8.答案 p1,p2解析 设x+2y=m(x+y)+n(x-2y),则1=m+n,2=m-2n,解得m=43,n=-13.因为x+y≥1,x-2y≤4,所以43(x+y)≥43,-13(x-2y)≥-43,所以x+2y=43(x+y)-13(x-2y)≥0,故命题p1,p2是真命题,p3,p4是假命题.四、解答题9.解析 ∵-12<a<0,∴取a=-14,则A=1716,B=1516,C=43,D=45.由此猜测:C>A>B>D.证明如下:C-A=11+a-(1+a2)=-a(a2+a+1)1+a=-aa+122+341+a.∵1+a>0,-a>0,a+122+34>0,∴C>A.∵A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0,∴A>B.B-D=1-a2-11-a=a(a2-a-1)1-a=aa-122-541-a,∵-12<a<0,∴1-a>0.又∵a-122-54<-12-122-54<0,∴B>D.综上所述,C>A>B>D.10.解析 依题意,令3m+4n=x(2m+3n)+y·(m-n),则2x+y=3,3x-y=4,解得x=75,y=15,所以3m+4n=75(2m+3n)+15(m-n),因为-1≤2m+3n≤2,-3<m-n≤1,10
所以-75-35<3m+4n≤145+15,即-2<3m+4n≤3.故3m+4n的取值范围是(-2,3].11.证明 因为a,b,c,d均为实数,所以(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)=(a2c2+2acbd+b2d2)-(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)=2acbd-a2d2-b2c2=-(ad-bc)2≤0,所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).10
