平衡物体的临界状态与极值问题\n一、临界状态问题1．临界状态某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种状态变化为另一种状态时,发生质的飞跃的转折状态叫临界状态．2．平衡物体的临界状态问题平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态,涉及到平衡物体的临界状态的问题称为平衡物体的临界问题．\n3．临界状态的特征体现为“恰好出现”或“恰好不出现”的某种现象或状态．平衡问题的临界状态,常常通过一些特殊词语来表达,如“恰”“最大”“最多”“至少”等．如“刚好沿斜面匀速下滑”,不仅隐含a＝0,还隐含μ＝tanθ的条件．有些运动变化中,一些物理量变化到零的时刻常是一种临界状态的表现．\n【例1】一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动,小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于图示状态．设斜面对小球的支持力为N,细绳对小球的拉力为T,关于此时刻小球的受力情况,下列说法正确的是()\nA．若小车向左运动,N可能为零B．若小车向左运动,T可能为零C．若小车向右运动,N不可能为零D．若小车向右运动,T不可能为零\n【解析】对小球受力分析,一般情况下受力如图所示,但小球是否同时受拉力及支持力要根据车的加速度情况分析；若小车向左运动做减速运动,则加速度向右,小球受重力及绳子的拉力可以使小球的加速度与小车相同,故此时N为零,故A项正确；\n若小球向左加速运动,则加速度向左,此时重力与斜面的支持力可以使合力向左,则绳子的拉力为零,故B项正确；同理可知当小球向右时,也可能做加速或减速运动,故加速度也可能向右或向左,故N和T均可以为零,故C、D项均错误．【答案】AB\n二、极值问题极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值．\n【例2】当物体从高空下落时,空气的阻力随速度的增大而增大,因此经过一段距离后将匀速下落,这个速度称为此物体下落的终极速度,已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v,且正比于球半径r,即阻力f＝krv,k是比例系数．对于常温下的空气,比例系数k＝3.4×10－4N·s/m.已知水的密度ρ＝1.0×103kg/m3,取重力加速度g＝10m/s2.试求半径r＝0.10mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度vT.(结果取两位数字)\n\n【学法指导】(1)“终极速度”这一说法在平时的解题中是经常遇到,如“达到最大速度”“速度不能再增加”等,均表明以恒定速度运动．加速度为0,合外力为0.体现出物理量出现最大值特点．理解最大速度这一概念时,要注意结合物体存在的状态．如单摆振动的平衡位置,达到最大速度,其合力为零是指沿振动方向的合外力,这也是全面理解“平衡位置”这一概念所必需的．(2)本题求解的另一个训练目的在于培养自己严谨的解题作风,从应试角度看,若vT＝1.2m/s写成vT＝1.23m/s,则不能得全分,注意题目的要求．\n\n\n【例1】如图所示,将质量为M的木块,分成质量为m1、m2两部分,并用细线连接,置于光滑水平桌面上,m2通过定滑轮竖直悬挂,m1和m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大？拉力的最大值是多少？\n\n\n\n\n(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；(2)拉力F与斜面的夹角多大时,拉力F最小？拉力F的最小值是多少？【解析】(1)设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为v,由运动学公式,得\n\n\n\n【触类旁通】木箱重为G,与地面间的动摩擦因数为μ,用斜向上的力F拉木箱,使之沿水平地面匀速前进,如图所示,问角α为何值时拉力F最小？这个最小值为多大？\n\n\n3．数形结合求极值【例3】如图所示,质量为m的球,放在倾角为α的光滑斜面上,试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时,AO所受压力最小？\n【解析】对球受力分析如图所示,由前面所学动态平衡知识,可知N1与N2的合力始终与G等大反向,且N1方向不变．随β角增大,N2在减小,当β＝90°时,即N2与N1垂直时有最小值．即β＝90°,N2min＝mgsinα【答案】β＝90°mgsinα\n【学法指导】数形结合求极值是一种形象、直观、减小数学运算的有效方法．要掌握这种分析问题的思路和方法．\n一、承重极限【例1】(经典题)如图所示,不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60°,轻杆BC与竖直墙夹角为30°,杆可绕C自由转动,若细绳承受的最大拉力为200N,轻杆能承受的最大压力为300N,则在B点最多能挂多重的物体？\n【解析】以结点B为研究对象,受力如图所示．三力作用的平衡,首先利用拉密定理找出各力间的制约关系．\n【答案】346.4N\n【学法指导】承重极限问题是历年高考考查的热点．“承重极限”的难点在于哪一个力为基准．解决这类题目的方法很多．利用拉密定理判断的最大优势在于通过拉密定理,将三力之间的相互制约关系显示得一目了然．由此判断力的变化,既快又准．一旦找出基准量,代入拉密定理表达式即得结果．\n二、电磁中的平衡极限问题【例2】如图所示,足够长平行金属导轨倾斜放置,倾角为37°,宽度为0.5m,电阻忽略不计,其上端接一小灯泡,电阻为1Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置,质量为0.2kg,接入电路的电阻为1Ω,两端与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为0.5.\n在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度为0.8T．将导体棒MN由静止释放,运动一段时间后,小灯泡稳定发光,此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10m/s2,sin37°＝0.6)()A．2.5m/s1WB．5m/s1WC．7.5m/s9WD．15m/s9W\n【解析】小灯泡稳定发光,说明MN产生的电动势稳定,即导体棒做匀速直线运动,也就是说导体棒处于平衡状态,所受合力为零,导体棒受力如图所示,受重力mg、垂直斜面的支持力N、摩擦力f、安培力F安,由平衡条件,可知mgsin37°＝μmgcos37°＋F安\n【答案】B\n【触类旁通】如图所示,有两根和水平方向成角α的光滑平行的金属轨道,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B,一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm,则()\nA．如果B增大,vm将变大B．如果α变大,vm将变大C．如果R变大,vm将变大D．如果m变大,vm将变大\n【解析】以金属杆为研究对象,画出受力的切面图,如图所示,金属杆切割磁感线产生感应电流,导体棒受安培力作用,由楞次定律和左手定则可判定安培力的方向如图所示,大小随运动速度的增大而增大,当速度最大时,杆做匀速直线运动处于平衡状态．\n【答案】BC\n
