专题二 三角函数与平面向量、解三角形时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856017)(2022·九江调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则A等于( )A.B.C.D.2．(导学号：05856018)(2022·新余联考)已知两个平面向量a、b的夹角为π，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于( )A.B．1C．2D．23．(2022·遵义质检)“sinx＞”是“＜x＜”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(导学号：05856019)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则为( )A.B．－C．2D．－25．(导学号：05856020)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，则b＝( )A．6B．4C．2D．16．(导学号：05856021)如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于( )11/11\nA．1B．3C．5D．67．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝( )A.B．2C．2D．38．(导学号：05856022)(2022·湖州摸底考试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图，当x∈[0，]时，满足f(x)＝1的x的值为( )A.B.C.D.9．(导学号：05856023)已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6，平面内一点M满足＝－，则·等于( )A．－9B．－18C．12D．1810．(导学号：05856024)(2022·青岛二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的一个零点，x＝为y＝f(x)图像的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )11/11\nA．11B．9C．7D．511．(导学号：05856025)(2022·清远调研)将函数y＝sin(6x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )A．(，0)B．(，0)C．(，0)D．(，0)12．(导学号：05856026)(2022·咸宁质检)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是( )A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：05856027)(2022·恩施联考)若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA＝________.14．对于函数f(x)＝asinx＋bx＋1(a，b∈R)，已知f(1)＝3，则f(－1)＝________.15．已知△ABC外接圆O的半径为2，且＋＝2，||＝||，则·＝__________.16．(2022·达州二模)△ABC中，A＝30°，BC＝1，则AC－AB的取值范围是__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2022·龙岩联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A11/11\n＝，bsinC－csinB＝a.(1)求B的值；(2)若a＝，求b的值．18.(本小题满分12分)(2022·通化联考)已知平面向量a，b，c，其中a＝(3,4)．(1)若c为单位向量，且a∥c，求c的坐标；(2)若|b|＝且a－2b与2a－b垂直，求向量a，b夹角的余弦值．19.(导学号：05856028)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝，求cosC的值．11/11\n20.(导学号：05856029)(本小题满分12分)已知f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的部分图象如图所示．(1)求ω的值；(2)若x∈(－，)，求f(x)的值域；(3)若方程3[f(x)]2－f(x)＋m＝0在x∈(－，)内有解，求实数m的取值范围．21.(导学号：05856030)(本小题满分12分)(2022·泸州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；11/11\n(2)若sinAcos2＋sinB·cos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．22.(导学号：05856033)(本小题满分12分)(2022·雅安质检)如图，某市效外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向且距A8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km，AD＞BD.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求∠ACD的正弦值．11/11\n专题二 三角函数与平面向量、解三角形1.A 由＝得b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝，A＝.2．A |a－b|＝＝＝.3．B4．A tanθ＝2，∴＝＝＝.5．C 由题意得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正余弦定理，得a·＝3c·，整理，得2(a2－c2)＝b2……①，又a2－c2＝b……②，联立①②得b＝2，故选C.6．B 令＝a，＝b，则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，∴·＝b·(1,2)＝3.7．B 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4，因为b＜c，所以b＝2.8．D9．B 因为·＝－·＝·(－)＝·－·＝×6×6×cos120°－×6×6×cos60°＝－18.10．B 因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)图象的对称轴，所以－(－)＝＋kT，即＝·T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在(，)单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此ω的最大值为9，故选B.11．A 变换后函数为y＝sin2x，故选A.12．D 正弦值不可能为负值，故B、C错；取A1＝65°，B1＝70°，C111/11\n＝45°，则A2＝25°，B2＝20°，C2＝135°，故A错．13. sin2A＝2sinAcosA＝，且A是△ABC的内角，所以0＜2A＜π，所以0＜A＜，(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝1＋＝，sinA＋cosA＝＝.14．－1 F(x)＝f(x)－1＝asinx＋bx为奇函数，故F(－1)＝－F(1)＝1－f(1)＝－2.15．12 由＋＝2可得＋＝0时，即＝，故圆心在BC上且AB⊥AC，注意到||＝||＝2，故B＝，C＝，BC＝4，AC＝2，·＝||·||cos＝2×4×＝12.16．(－1,2] AC－AB＝2sinB－2sinC＝－2sinC＋2sin(150°－C)＝－2sinC＋cosC＋3sinC＝sinC＋cosC＝2sin(C＋60°)．∵C∈(0°，150°)，∴C＋60°∈(60°，210°)，∴sin(C＋60°)∈(－，1]，∴AC－AB∈(－1,2]．17．(1)∵bsinC－csinB＝a，由正弦定理得sinBsinC－sinCsinB＝sinA，整理得sin(B－C)＝sinA，又∵B，C∈(0，π)，∴B－C＝A，11/11\n∵A＝，∴B＝，C＝.6分(2)由a＝，A＝，得b＝＝＝2.10分18．(1)设c＝(x，y)，由a∥c和|c|＝1可得：∴或，∴c＝(，)或c＝(－，－).6分(2)∵(a－2b)·(2a－b)＝0，即2|a|2－5a·b＋2|b|2＝0，又|a|＝5，|b|＝，∴a·b＝12，∴向量a，b夹角的余弦值cos<a，b>＝＝.12分19．(1)由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是，sinB＝sin(A－B)，又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此，A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.6分(2)由cosB＝，得sinB＝，cos2B＝2cos2B－1＝－，故cosA＝－，sinA＝，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.12分20．(1)f(x)＝sin(ωx＋)，∵T＝＝4(－)，∴ω＝1.4分(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，∵－＜x＜，∴0＜x＋＜π，∴0＜sin(x＋)≤1，∴f(x)的值域为(0,1].8分(3)令f(x)＝t，则m＝－3t2＋t，t∈(0,1]，11/11\n当t＝时，m最大为；当t＝1时，m最小为－2，∴－2≤m≤.12分21．(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.由余弦定理得cosC＝＝＝－.4分(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得sinA·＋sinB·＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.12分22．(1)△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝xkm.则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，∴这条公路长为(4－3)km.5分(2)在△ADB中，＝，∴sin∠DAB＝＝，∴cos∠DAB＝.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝，11/11\nsin105°＝sin(60°＋45°)＝，∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]＝sin(∠DAC＋105°)＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°＝×＋×＝.12分11/11
