专题检测卷(一) 三角函数与解三角形(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·广州一模)sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝( )A.－B.C.－D.解析 sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝sin80°cos50°－sin50°·cos80°＝sin30°＝.故选D.答案 D2.(2020·长沙模拟)已知α为锐角，且cosα(1＋tan10°)＝1，则α的值为( )A.20°B.40°C.50°D.70°解析 由cosα(1＋tan10°)＝1，可得cosα＝1，即cosα＝1.所以cosα＝＝＝＝cos40°.又α为锐角，故α＝40°.故选B.答案 B3.(2020·重庆模拟)函数f(x)＝sincosx－cos22x的最小值为( )A.－2B.－1C.0D.解析 f(x)＝sincosx－cos22x＝－cos2x－cos22x＝－cos2x－(2cos2x－1)2＝－4cos4x＋3cos2x－1＝－4－.当cos2x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－2.故选A.答案 A4.(2020·湘赣皖十五校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋2c＝2bcosA，则角B的大小为( )A.B.C.D.\n解析 法一 由正弦定理可得sinA＋2sinC＝2sinBcosA，即sinA＋2sin(A＋B)＝2sinBcosA，所以sinA(1＋2cosB)＝0.因为sinA>0，所以cosB＝－.又B∈(0，π)，所以B＝.故选A.法二 由余弦定理可得b2＋c2－2bccosA＝a2①，又a＋2c＝2bcosA②，所以②×c－①得a2＋c2－b2＝－ac.又由余弦定理可得cosB＝＝－，B∈(0，π)，所以B＝.故选A.答案 A5.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )A.B.C.D.(0，2]解析 由<x<π得，＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sinx在上递减，所以令k＝0，得≤ω≤，故选A.答案 A6.某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A12海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A8海里处，游轮由A处由正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为( )A.20海里B.8海里C.23海里D.24海里解析 如图所示，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ADB＝60°，∴B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，\n∴AD＝＝＝24.在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192，∴CD＝8.答案 B7.(2020·衡水中学调考)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)，若集合{x∈(0，π)|f(x)＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是( )A.B.C.D.解析 函数f(x)＝sinωx－cosωx＝2＝2sin(ω>0).由集合{x∈(0，π)|f(x)＝－1}含有4个元素，得2sin＝－1，即sin＝－，即ωx－＝－＋2kπ(k∈Z)或ωx－＝＋2kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)或x＝＋(k∈Z).设直线y＝－1与y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.又直线y＝－1与y＝f(x)的图象在(0，π)上有且只有4个交点，则xA<π≤xB，即＋<π≤＋，得<ω≤.故选D.答案 D8.(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是( )\nA.3nB.6nC.3nD.6n解析 设单位圆的内接正6n边形的周长为C1，外切正6n边形的周长为C2，如图(1)所示，sin＝，∴BC＝sin，∴AB＝2sin，C1＝12nsin.如图(2)所示，tan＝，∴B′C′＝tan，∴A′B′＝2tan，C2＝12ntan.∴2π＝＝6n，∴π＝3n.故选A.答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·泰安三校模拟)要得到y＝cos2x的图象C1，需将y＝sin的图象C2怎样变化( )A.将y＝sin的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度B.将y＝sin的图象C2沿x轴方向向右平移个单位长度C.先作图象C2关于x轴的对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度D.先作图象C2关于x轴的对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度解析 对于A，将y＝sin的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos2x的图象C1，正确；对于B，将y＝sin的图象C2沿x\n轴方向向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos2x的图象C1，正确；对于C，先作图象C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sin的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝cos2x的图象C1，正确；对于D，先作图象C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sin的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度，得到y＝－sin＝－sin＝－cos2x的图象，错误.故选ABC.答案 ABC10.(2020·青岛崂山区模拟)已知函数f(x)＝sinx·sin－的定义域为[m，n](m<n)，值域为，则n－m的值可能是( )A.B.C.D.解析 因为f(x)＝sinxsin－＝sinx－＝(1－cos2x)＋sin2x－＝＝sin，其值域为，所以sin∈，所以2x－∈，k∈Z，所以x∈，k∈Z.因为kπ＋－＝，k∈Z，所以n－m的最大值为，且n－m的最小值为.故选AB.答案 AB11.已知函数f(x)＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称B.函数f(x)的周期为\nC.点(π，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心D.函数f(x)在区间上单调递增解析 因为函数f(x)＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx|＝|sin2x|，画出函数图象，如图.由图可知，函数f(x)的对称轴是x＝，k∈Z，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，A正确；函数f(x)的最小正周期是，B正确；函数f(x)是偶函数，其图象没有对称中心，C错误；函数f(x)在区间上单调递减，D错误.故选AB.答案 AB12.(2020·济南联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，无最大值.则( )A.f＝－1B.若x0＝0，则f(x)＝sinC.f(x)的最小正周期为3D.f(x)在(0，2022)上的零点的个数最少为1346个解析 因为f(x0)＝f(x0＋1)＝－，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，无最大值，所以函数f(x)在区间(x0，x0＋1)的中点处取得最小值，即f＝－1，所以A正确；不妨令ωx0＋φ＝2kπ－π，k∈Z，ω(x0＋1)＋φ＝2kπ－，k∈Z，两式相减得ω＝，所以T＝＝3，B错误，C正确；因为T＝3，所以函数f(x)的图象在(0，2022)上恰好重复674次，当f(0)＝0，即φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)在区间(0，2022)上的零点个数至少为674×2－1＝1347(个)，D错误.故选AC.答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·烟台诊断)已知tanα＝2，则cos＝________.解析 由题意，得cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－＝\n－＝－＝－.答案 －14.(2020·广州一模)定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是________.解析 f(x)＝2cosx－2sinx＝4cos，依题意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函数(其中φ>0).∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φmin＝π.答案 15.(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×＝.答案 16.(2020·新高考山东、海南卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB\n与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为______cm2.解析 如图，连接OA，过A作AP⊥EF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R.由题意知AP＝EP＝7cm，又DE＝2cm，EF＝12cm，所以AQ＝QG＝5cm，所以∠AHO＝∠AGQ＝.因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，所以∠AOB＝.设AR＝xcm，则OR＝xcm，RQ＝(5－x)cm.因为tan∠ODC＝，所以tan∠ODC＝＝，解得x＝2，则OA＝2cm.所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆＝××(2)2＋×4×2－π×12＝＋4(cm2).答案 ＋4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·青岛模拟)在①B＝，②a＝2，③bcosA＋acosB＝＋1这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)\n解 因为4S＝b2＋c2－a2，cosA＝，S＝bcsinA，所以2bcsinA＝2bccosA.显然cosA≠0，所以tanA＝1.又A∈，所以A＝.选择①B＝.由＝，得a＝＝2.又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以S＝absinC＝.选择②a＝2.由＝，得sinB＝＝.因为B∈，所以cosB＝.又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以S＝absinC＝.选择③bcosA＋acosB＝＋1.由b＝，A＝，得acosB＝1，即a·＝1.所以a2＝6＋2c－c2.又a2＝6＋c2－2c·＝6＋c2－2c，所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1(c＝0舍去).所以S＝bc·sinA＝.18.(本小题满分12分)(2020·北京海淀区调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，函数f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为，________.(1)在①函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝－，②函数f(x)的图象的一个对称中心为点，③函数f(x)的图象经过点这三个条件中任选一个补充至横线上，然后确定函数的解析式；\n(2)若动直线x＝t，t∈[0，π]与函数f(x)和函数g(x)＝2sinxcosx的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 (1)函数f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为，得该函数的最小正周期T＝2×＝π，∴ω＝＝＝2，此时f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.若选①函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝－，则－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，得φ＝＋kπ(k∈Z).∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.若选②函数f(x)的图象的一个对称中心为点，则＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－(k∈Z).∵|φ|<，∴当k＝1时，φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.若选③函数f(x)的图象经过点，则f＝2sin＋1＝0，得sin＝－.∵|φ|<，∴<＋φ<，∴＋φ＝，解得φ＝，此时f(x)＝2sin＋1.(2)由(1)可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin＋1.令h(x)＝f(x)－g(x)＝2sin＋1－2sinxcosx＝2＋1－sin2x＝cos2x＋1≥0，∴|PQ|＝h(t)＝cos2t＋1.\n∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，当2t＝0或2t＝2π，即当t＝0或t＝π时，线段PQ的长取到最大值2.19.(本小题满分12分)(2020·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.(1)求角C的大小；(2)求sinA的值；(3)求sin的值.解 (1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，有cosC＝＝.又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sinA＝＝.(3)由a＜c及sinA＝，可得cosA＝＝，进而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.所以sin＝sin2Acos＋cos2Asin＝×＋×＝.20.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值.解 (1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－.所以A＋B＝，从而C＝.\n(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.21.(本小题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.解 (1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以<a<2，从而<S△ABC<.因此，△ABC面积的取值范围是.22.(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b＋c＝acosC＋asinC.(1)求A；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解 (1)由条件及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，因为B＝π－(A＋C)，所以sinAsinC－cosAsinC＝sinC，又sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，\n所以sin＝，又0<A<π，所以A＝.(2)法一 由(1)得B＋C＝，从而C＝－B，0<B<，由正弦定理得＝＝＝＝，所以b＝sinB，c＝sinC.所以S△ABC＝bcsinA＝×sinB×sinC×sin＝·sinB·sin＝·sinB·＝4sin2B－cos2B＋.＝sin＋.因为－<2B－<，所以当2B－＝，即B＝时，S△ABC取得最大值，最大值为4.法二 由(1)知A＝，又a＝4，由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccos，即b2＋c2－bc＝16，因为b2＋c2≥2bc，所以2bc－bc≤16，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号.所以S△ABC＝bcsinA＝×bc≤×16＝4，所以S△ABC的最大值为4.
