2022版高考数学3-2-1精品系列专题04三角函数（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲解读：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；解答题中单纯的三角变换问题已不多见，要重视解三角形，特别是实际应用问题。解答题也要重视与其它知识的综合，如平面向量。近几年考点分布分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。基于以上分析，预测在2022年的高考试卷中，考查三角函数的题仍为一小题一大题。主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题。【考点pk】名师考点透析考点一有关三角函数的概念和公式的简单应用141\n（1）；……8分（2）【名师点睛】①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.考点二有关三角函数的性质问题例3：已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。141\n所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以由，得从而所以【名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝sin(ωx＋φ)(cosφ＝，sinφ＝)的形式来求．例4：设函数的图象经过点．（Ⅰ）求的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（Ⅱ）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求和的长．解：（Ⅰ）函数的图象经过点141\n……….4分函数的最小正周期….5分由可得的调递增区间为………………7分（Ⅱ）因为即∴…9分∵是面积为的锐角的内角，……….10分…….12分由余弦定理得：…………………….13分【名师点睛】求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．例5：已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)若函数在[-，]上的最大值与最小值之和为，求实数的值.由题意，有∴……12分【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.141\n考点三三角函数的图象变换例6：为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位【名师点睛】三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．例7：已知函数的部分图象如下图所示：（1）求函数的解析式并写出其所有对称中心；（2）若的图象与的图象关于点P（4，0）对称，求的单调递增区间．解：（1）由图可得。A=，，所以，，…2分则此时，将点代入，可得.…4分∴；对称中心为………7分（2）由的图角与的图象关于点P（4，0）对称，得,………9分==,…11分令.即单调递增区间为……13分【名师点睛】本题①三角函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离正好是半个周期，从而确定参数，由最高点和最低点可确定振幅，代入某一点的坐标到三角函数解析式可以确定初相；②求给定区间上的三角函数的最值（或值域）问题，一般思路是求的范围，并作为一个整体，借助基本函数解决.由图象求解析式时,“找准关键点”的确定很重要,尽量使A取正值.141\n考点四三角恒等变换例8：的值等于（）A．B．C．D．【解析】原式=，故选A。例9：若，是第三象限的角，则(A)(B)(C)2(D)-2解：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由例10：（）A．B．C．D．141\n解：【名师点睛】给值求值、给值求角问题.⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.例11：求值：【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.例12：已知,,,(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.解:（Ⅰ）因为,又,所以（Ⅱ）根据（Ⅰ），得…8分而,且,1故=【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．角的常见变换：α＋2β＝(α＋β)＋β，(α－)－(－β)＝考点五解三角形及实际应用例13：在等比数列。141\n【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．例14：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中141\n．运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．例15：。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；141\n(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题1．（2022年高考（重庆文））（ ）A．B．C．D．2．（2022年高考（重庆理））设是方程的两个根,则的值为（ ）A．B．C．1D．3【解析】【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.3．（2022年高考（陕西文））设向量=(1.)与=(-1,2)垂直,则等于ABC．0D．-1【解析】,,,故选C.4．（2022年高考（辽宁文））已知,(0,π),则=（ ）A．1B．C．D．1【解析】141\n【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.5．（2022年高考（辽宁理））已知,(0,π),则=（ ）A．1B．C．D．1【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.6．（2022年高考（江西文））若,则tan2α=（ ）A．-B．C．-D．【解析】7．（2022年高考（江西理））若tan+=4,则sin2=（ ）A．B．C．D．【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为,所以..【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.8．（2022年高考（大纲文））已知为第二象限角,,则（ ）A．B．C．D．141\n【解析】因为为第二象限角,故,而,故,所以,故选答案A.9．（2022年高考（山东理））若,,则（ ）A．B．C．D．【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.10．（2022年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（ ）A．[-2,2]B．[-,]C．[-1,1]D．[-,]11．（2022年高考（大纲理））已知为第二象限角,,则（ ）A．B．C．D．【解析】,两边平方可得是第二象限角,因此,所以141\n法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选.12．（2022年高考（上海文））在中,若,则的形状是（ ）A．钝角三角形.B．直角三角形.C．锐角三角形.D．不能确定.13．（2022年高考（湖南文））在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于（ ）A．B．C．D．【解析】设,在△ABC中,由余弦定理知,即,又设BC边上的高等于,由三角形面积公式,知,解得.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.14．（2022年高考（湖北文））设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,,则为（ ）A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】因为为连续的三个正整数,且,可得,所以①;又因为已知,所以②.由余弦定理可得③,则由②③可得④,联立①④,得,解得或(舍去),则,.故由正弦定理可得,.故应选D.【点评】141\n本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.15．（2022年高考（广东文））(解三角形)在中,若,,,则（ ）A．B．C．D．【解析】由正弦定理,可得,所以.16．（2022年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（ ）A．B．C．D．【解析】∵,由正弦定理得,又∵,∴,所以,易知,∴,=.17．（2022年高考（上海理））在中,若,则的形状是（ ）A．锐角三角形.B．直角三角形.C．钝角三角形.D．不能确定.【解析】由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得,所以C是钝角,选C.18．（2022年高考（陕西理））在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（ ）A．B．C．D．【解析】由余弦定理得,当且仅当时取“=”,选C.19．（2022年高考（浙江文理））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是141\n【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点变为,选A.20．（2022年高考（天津文））将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则的最小值是（ ）A．B．1C．D．2【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.21．（2022年高考（四川文））如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则（ ）A．B．C．D．141\n[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.22．（2022年高考（山东文））函数的最大值与最小值之和为（ ）A．B．0C．-1D．23．（2022年高考（辽宁文））已知,(0,π),则=（ ）A．1B．C．D．1【解析】故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.24．（2022年高考（课标文））已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则=（ ）A．B．C．D．【解析】由题设知,=,∴=1,∴=(),∴=(),∵,∴=,故选A.25．（2022年高考（福建文））函数的图像的一条对称轴是（ ）A．B．C．D．【解析】把代入后得到,因而对称轴为,答案C正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法.26．（2022年高考（大纲文））若函数是偶函数,则（ ）A．B．C．D．141\n而,故时,,故选答案C.27．（2022年高考（安徽文））要得到函数的图象,只要将函数的图象（ ）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】左+1,平移选28．（2022年高考（新课标理））已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解析】不合题意排除合题意排除另:,得:选二、填空题1．（2022年高考（大纲文））当函数取最大值时,____.【解析】由由可知当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值.2．（2022年高考（江苏））设为锐角,若,则的值为____.141\n【解析】∵为锐角,即,∴.∵,∴.∴.∴.∴.3．（2022年高考（大纲理））当函数取最大值时,____.【解析】由由可知当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值.4．（2022年高考（重庆文））设△的内角的对边分别为,且,则____【解析】,由余弦定理得,则,即,故.【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值5．（2022年高考（陕西文））在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b=______【解析】由余弦定理得,,所以.6．（2022年高考（福建文））在中,已知,则_______.141\n【解析】由正弦定理得【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.7．（2022年高考（北京文））在△ABC中,若,,,则的大小为___________.【解析】,而,故.【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案.8．（2022年高考（重庆理））设的内角的对边分别为,且则______【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.9．（2022年高考（湖北理））设△的内角,,所对的边分别为,,.若,则角_________.【解析】由根据余弦定理可得10．（2022年高考（福建理））已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为____.【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、余弦定理,考查分析推理能力、运算求解能力.141\n11．（2022年高考（北京理））在△ABC中,若,,,则___________.【解析】在中,得用余弦定理,化简得,与题目条件联立,可解得,答案为.【考点定位】本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求解.12．（2022年高考（安徽理））设的内角所对的边为;则下列命题正确的是①若;则②若;则③若;则④若;则⑤若;则三、解答题1．（2022年高考（四川文））已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;(Ⅱ)若,求的值.【解析】(1)由已知,f(x)=所以f(x)的最小正周期为2,值域为141\n(2)由(1)知,f()=所以cos().所以,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.2．（2022年高考（湖南文））已知函数的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数的单调递增区间.【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期.因为点在函数图像上,所以.又即.又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.3．（2022年高考（湖北文））设函数的图像关于直线141\n对称,其中为常数,且(1)求函数的最小正周期;(2)若的图像经过点,求函数的值域.【解析】(1)因为由直线是图像的一条对称轴,可得所以,即又,所以时,,故的最小正周期是.(2)由的图象过点,得即,即故,函数的值域为.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌.求三角函数的最小正周期,一般运用公式来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量的范围确定函数的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.4．（2022年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】:本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.(1)选择(2)式计算如下(2)证明:141\n5．（2022年高考北京）已知函数.(1)求的定义域及最小正周期;(2)求的单调递减区间.【解析】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.(1)由得,故的定义域为.因为===,所以的最小正周期.(2)函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为6．（2022年高考（天津理））已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.所以,的最小正周期.(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7．（2022年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)141\n设,其中(Ⅰ)求函数的值域(Ⅱ)若在区间上为增函数,求的最大值.依题意知对某个成立,此时必有,于是,解得,故的最大值为.8．（2022年高考（四川理））函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.(Ⅰ)求的值及函数的值域;(Ⅱ)若,且,求的值.【解析】(Ⅰ)由已知可得:=3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4所以,函数所以,函数141\n(Ⅱ)因为(Ⅰ)有由x0[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.9．（2022年高考（山东理））已知向量,函数的最大值为6.(Ⅰ)求;(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.【解析】(Ⅰ),则;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.当时,,.故函数在上的值域为.141\n另解:由可得,令,则,而,则,于是,故,即函数在上的值域为.10．（2022年高考（湖北理））已知向量,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为.由直线是图象的一条对称轴,可得,所以,即.又,,所以,故.所以的最小正周期是.(Ⅱ)由的图象过点,得,即,即.故,由,有,所以,得,故函数在上的取值范围为.11．（2022年高考（广东理））(三角函数)已知函数(其中)的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设、,,141\n,求的值.【解析】(Ⅰ),所以.(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,所以.12．（2022年高考（安徽理））设函数(I)求函数的最小正周期;(II)设函数对任意,有,且当时,,求函数在上的解析式.【解析】(I)函数的最小正周期(2)当时,当时,当时,得:函数在上的解析式为13．（2022年高考（浙江文））在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.141\n【解析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得,即得,.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得,由余弦定理,解得,.14．（2022年高考（天津文））在中,内角所对的分别是.已知.(I)求和的值;(II)求的值.,所以15．（2022年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.(Ⅰ)求证:成等比数列;(Ⅱ)若,求△的面积S.【解析】(I)由已知得:,,则,再由正弦定理可得:,所以成等比数列.141\n(II)若,则,∴,,∴△的面积.16．（2022年高考（辽宁文））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.【解析】(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以,【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于,所以,又,故.(Ⅱ)的面积==,故=4,而故=8,解得=2.法二:解:已知:,由正弦定理得:因,所以:,由公式:得:,是的内角,所以,所以:141\n(2)，解得:18．（2022年高考（江西文））△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.【解析】，，则.(2)由（1）得,由面积可得bc=6①，则根据余弦定理则=13②，①②两式联立可得或.19．（2022年高考（大纲文））中,内角A.B.C成等差数列,其对边满足,求.【解析】由A.B.C成等差数列可得,而,故且而由与正弦定理可得所以可得,由,故或,于是可得到或.20．（2022年高考（安徽文））设的内角所对的边为,且有141\n(Ⅰ)求角的大小;[(II)若,,为的中点,求的长.【解析】(Ⅰ)(II)在中,21．（2022年高考（浙江理））在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=cosC+sinC.整理得:tanC=.(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=.又由正弦定理知:,故.(1)对角A运用余弦定理:cosA=.(2)解(1)(2)得:orb=(舍去).∴ABC的面积为:S=.22．（2022年高考（辽宁理））在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值.【解析】(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以,【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.141\n23．（2022年高考（江西理））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.(1)求证:(2)若,求△ABC的面积.【解析】(1)证明:由及正弦定理得:所以三角形ABC的面积【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.24．（2022年高考（江苏））在中,已知.(1)求证:;(2)若求A的值.【解析】(1)∵,∴,即.由正弦定理,得,∴.又∵,∴.∴即.(2)∵,∴.∴.141\n∴,即.∴.由(1),得,解得.∵,∴.∴.【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.25．（2022年高考（大纲理））的内角、、的对边分别为、、,已知,求.【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到角关系,然后结合,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角的值.26．（2022年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数(其中)在处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为(I)求的解析式;(II)求函数的值域.【解析】：（Ⅰ）由题设条件知的周期，即，解得因在处取得最大值2，所以，从而，所以，又由得故的解析式为（Ⅱ）141\n因，且故的值域为27．（2022年高考陕西）函数()的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值.【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即。∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴故函数的解析式为（Ⅱ）∵，即，∵，∴，∴，故。141\n【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.3.解析:,,,故选C.4.【答案】A【解析】故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.5.【答案】A【解析一】,故选A【解析二】,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.6.【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以可得,带入所求式可得结果.7.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为,所以.141\n.【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.9.【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.10.【答案】B【解析】f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,].【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.11.答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】,两边平方可得是第二象限角,因此,141\n所以法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选.二、填空题2.【答案】.【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.【解析】∵为锐角,即,∴.∵,∴.∴.∴.∴.3.答案:141\n【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由由可知当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值.三、解答题1.[解析](1)由已知,f(x)=所以f(x)的最小正周期为2,值域为(2)由(1)知,f()=所以cos().所以,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.2.【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期.因为点在函数图像上,所以.又即.又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为(Ⅱ)141\n由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.3.【解析】(1)因为由直线是图像的一条对称轴,可得所以,即又,所以时,,故的最小正周期是.(2)由的图象过点,得即,即故,函数的值域为.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌.求三角函数的最小正周期,一般运用公式来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量的范围确定函数的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.141\n4.【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下(2)证明:(2)函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为6.【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.所以,的最小正周期.(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为141\n的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7.【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值.解:(1)因,所以函数的值域为(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.依题意知对某个成立,此时必有,于是,解得,故的最大值为.8.[解析](Ⅰ)由已知可得:=3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4所以,函数所以,函数141\n(Ⅱ)因为(Ⅰ)有由x0所以,故[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.9.解析:(Ⅰ),则;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.当时,,.故函数在上的值域为.另解:由可得,令,则,而,则,141\n于是,故,即函数在上的值域为.10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为.由直线是图象的一条对称轴,可得,所以,即.又,,所以,故.所以的最小正周期是.(Ⅱ)由的图象过点,得,即,即.故,由,有,所以,得,故函数在上的取值范围为.11.解析:(Ⅰ),所以.(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,所以.12.【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.141\n解:(1)选择(2)式计算如下(2)证明:13.【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:====,(1)原函数的定义域为,最小正周期为π;(2)原函数的单调递增区间为,.14.【解析】(I)函数的最小正周期(2)当时,当时,当时,得:函数在上的解析式为11年高考试题及解析141\n1、（江苏7）、已知则的值为__________解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。2、函数是常数，的部分图象如图所示，则答案：解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图可知：由图知：3、（四川文8）、理6.在△ABC中，sin2A ≤ sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是（A）（B）(C)（D）解析：由正弦定理，得，由余弦定理，得，则,,.4、（山东文、理3）.若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为（A）0(B)(C)1(D)【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.5、（山东文、理6）.若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=141\n(A)(B)(C)2(D)3【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=,则故选B.6、（全国文7、理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）（B）（C）（D）【解析】即则时故选C7、（全国文14）已知，则【解析】由又所以8、（全国理14）已知∈(，)，sin=，则=【解析】∈(，)，sin=则=故=9、（浙江文5）在中，角所对的边分.若，则(A)-(B)(C)-1(D)1【解析】：由余弦定理得：则，故选D141\n10、（浙江理6）若，，，，则（A）（B）（C）（D）【解析】：故选C11、（课标卷文7）、理5.已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（）ABCD解析：B因为该直线的斜率是，所以，；点评：此题考查三角求值、直线的斜率、倾斜角等概念及其运算。把斜率转化成倾斜角的正切，就把问题有直线转化成了三角求值，然后用公式即可。12、（课标卷文11）.设函数，则（）A函数单调递增，其图像关于直线对称；B函数单调递增，其图像关于直线对称；C函数单调递减,其图像关于直线对称；D函数单调递减,其图像关于直线对称；解析：D化简得，由余弦函数的图像知D正确。故选D点评：该题考查三角函数的化简、正余弦函数的图像和性质，掌握好概念和性质，抓住图像不难求解。13、（课标卷理11）.设函数的最小正周期为，且141\n，则
（A）在单调递减（B）在单调递减
（C）在单调递增（D）在单调递增解析：A.函数解析式可化为，又因为该函数是偶函数，所以，，所以，该函数在上是减函数。故选A点评：三角函数的图像和性质是此题考查的主要内容，要确定该函数的单调性一般是先化简再化一（化成一个角的正线性函数），然后借助图像解答。14、（湖北文6、理3）已知函数，若，则的取值范围为A.B.C.D.解析：由，即，解得，所以选A.15、（辽宁理7）、设sin，则（）(A)(B)(C)(D)解析：16、（福建文9）.若∈（0，），且，则的值等于A.B.C.D.【解析】因为∈（0，），且，所以,141\n即,所以=或(舍去),所以,即,选D.17、（重庆文12）．若,且，则【命题意图】本题考查同角三角函数基本关系，是简单题.【解析】∵=，且，∴，∴==.18、（重庆理14）已知，且，则的值为解析：由题设条件易得：，故，，所以19、（福建理9）.对于函数(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2【解析】：，，，又cZ，所以为偶数，所以同奇、偶。故选D20、（辽宁文12)已知函数=Atan()，的部分图像如图，则=（）（A）2+(B)(C)(D)解析：函数的周期是，故，由141\n得.所以，故。21、（辽宁理16）已知函数=Atan（x+）（＞0，），y=的部分图像如下图，则=.解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.22、（天津文7）.已知函数其中若的最小正周期为,且当时,取得最大值,则A.在区间上是增函数B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数D.在区间上是减函数【答案】A【解析】由题意知,解得,又,且,所以,所以,故A正确.23、（安徽文15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则①[XK]②＜③既不是奇函数也不是偶函数④的单调递增区间是141\n⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】，又，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.①，故①正确；②，，所以＜，②错误；③，所以③正确；④由①知，，由知，所以③不正确；⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。141\n24、（上海文4）、函数的最大值为【解析】所以最大值为25、（上海理8）、函数的最大值为。【解析】最大值为26、（安徽理9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（A）（B）（C）（D）【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.27、（安徽理14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积_____【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.141\n【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.27、（江西文14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=.【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.=.28、（重庆文8）．若△的内角，满足，则A．B．C．D．【命题意图】本题考查正余弦定理及其应用，是中档题.【解析】由==得，：：=2:3:4，由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），则==，故选D.29、（重庆理6）若的内角所对的边满足，且，则的值为（A）(B)(C)1(D)解析：由得，由得，解得选A。30、（福建文14）.若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于__________.141\n【解析】由于△ABC的面积为，BC=2，C=，所以,所以AC=2,△ABC为正三角形,所以AB=2.31、（福建理14）.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。【解析】：过A作于E，AB=AC，E为BC中点，BC=所以CE，在中，，在中，∠ADC=45°，所以32、（辽宁理4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=则（）(A)(B)(C)(D)解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB=sinA，所以；33、（北京文9）在中，若，则.【解析】：由正弦定理得又所以34、（北京理9）.在中，若，，，则，.【解析】由，又所以解得，正弦定理得则。35、（天津理6）.如图，在△中，是边上的点，且141\n，则的值为（）A． B． C． D．【解析】设,则由题意可得:,在中,由余弦定理得：=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.36、（课标卷文15）.在中,,则的面积为________.解析：由余弦定理得因此，点评：本题考查解三角形的有关知识和面积公式，在解三角形时，要善于由正余弦定理创造条件来进行下面的运算。37、（课标卷理16）.在中，，则的最大值为。解析：在三角形ABC中，由正弦定理得141\n其中，，又因为，所以最大值为点评：本题考查解三角形和三角函数求最值，其中，主要是用角A来表示所求的边长，人后求最值。同时也包含了利用基本公式化简，关键是在该条件下，三角形不确定，使得，从而由正弦函数的只有可求。38、（上海文17）、若三角方程与的解集分别为和，则（）ABCD解：，则故选A39、（陕西文、理18）.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，，.证法一如图，即同理可证，证法二：已知建立直角坐标系，则同理可证40、（江苏15）、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若求A的值；（2）若，求的值.解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。141\n（1）（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）41、（四川文18）、理17.（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.解析：（Ⅰ）∵，∴的最小正周期是，当，即时，函数取得最小值-2.（Ⅱ），，..，，所以，结论成立.42、（广东文16）．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的值；（2）设求141\n的值．【解析】43、（广东理16）.（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；（2）设求的值.【解析】44、（山东文17）.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.141\n(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：，即，解得a=1，所以b=2.45、（山东理17）.（本小题满分12分）在ABC中，内角的对边分别为.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知:,即,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以,又因为，所以，故的面积为=46、（全国文18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若【解析】：(Ⅰ)由正弦定理得即，故B=450（Ⅱ）法一A=750，由正弦定理得：，则由，即141\n法二（Ⅱ）首先由正弦定理同理47、（全国理17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.【解析】：由正弦定理得，由，即A+B+C=1800，，即，由A-C=900得A=900+C即48、（重庆文18）．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）设函数（1）求的最小正周期；（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。解：（I）故的最小正周期为（II）依题意141\n当为增函数，所以上的最大值为49、（重庆理16）（本小题满分13分）设满足，求函数在上的最大值和最小值解析：由得，解得：因此当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在上的最大值为又因为，所以在上的最小值为50、（浙江文18）（本题满分14分）已知函数，，，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.[（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.141\n【解析】：（Ⅰ）（Ⅱ）法一：设点由题意可知所以，连结，在中，由余弦定理得解得又所以法二：设点由题意可知所以，在中，51、（浙江理18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c.已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得，①又②联立①②解得(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，由余弦定理得即由题设知所以52、（湖南文、理17）．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为141\n且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.53、（湖北文、理16）.（本小题满分10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求△ABC的周长；(Ⅱ)求cos(A—C.)本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（1）∵∴.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.（2）∵∴∵∵，故A为锐角.∴∴54、（辽宁文17）（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，141\n+b=a。（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。解析：⑴由正弦定理得，+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB=sinA，所以；⑵由余弦定理和c2=b2+a2，得cosB=由⑴知，b2=2a2,故，可得,又cosB>0,故cosB=，所以B=450.55、（北京文、理15）（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。【解析】：（Ⅰ）因为所以的最小正周期为（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1．56、（天津文16）.（本小题满分13分）在中,内角A,B,C的对边分别为.已知B=C,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,,可得,所以.(Ⅱ)因为,,所以,,141\n故,所以.【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力.57、（天津理15）.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若求的大小．【解析】本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.（Ⅰ）由得所以的定义域为.的最小正周期为.（Ⅱ）由得即,整理得:,因为,所以可得,解得,由得,所以,.58、（安徽文16）(本小题满分13分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.（16）【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又，∴，141\n即，，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得，又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝.【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。本题属于中档题。59、（江西文17）.(本小题满分12分）在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值．【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂.（1）由正弦定理得：及：所以。（2）由,展开易得：,正弦定理：60、（江西理17）.（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值.解：（1）由已知得即141\n由同边平方得：（2）由，即由由余弦定理得2022高考试题及解析5.一、选择题1．（2022年高考全国卷I理科2）记,那么A.B.-C.D.-1.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】,所以2．(2022年高考湖北卷理科3)在△ABC中，a=15，b=10,∠A=，则A.B.C.D.【答案】C【解析】由正弦定理得，解得，又因为，所以，故，所以,故选C。3．（2022年高考福建卷理科1）的值等于（）A.B.C.D.【答案】A141\n【解析】原式=，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。4．（2022年高考安徽卷理科9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、B、C、D、和【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。D【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.5.(2022年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：，所以A=30°，选A。【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。6.(2022年高考湖南卷理科6)141\n【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。7．（2022年高考四川卷理科6文科7）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A）（B）（C）（D）解析：将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－),再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.答案：C8.(2022年全国高考宁夏卷4）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为141\n【答案】C解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C．另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C．9.(2022年全国高考宁夏卷9）若，是第三象限的角，则(A)(B)(C)2(D)-2【答案】A解析：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由解得：，从而．另解：由已知得，所以．10．（2022年高考陕西卷理科3）对于函数，下列选项中正确的是（B）（A）f（x）在（，）上是递增的（B）的图像关于原点对称（C）的最小正周期为2（D）的最大值为2【答案】B【解析】∵，∴易知在上是递减的，∴选项错误.141\n∵，∴易知为奇函数，∴的图象关于原点对称，∴选项正确.∵，∴，∴选项错误.∵，∴的最大值为，∴选项错误.故综上知，本题应选.11．（2022年高考江西卷理科7）是等腰直角斜边上的三等分点，则A．B．C．D．【答案】D12．（2022年高考浙江卷4）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B13．（2022年高考辽宁卷理科5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）(B)(C)(D)3【答案】C14．(2022年高考全国2卷理数7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位【答案】B141\n【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.15．（2022年高考上海市理科15）“”是“”成立的（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.【答案】A16.(2022年高考重庆市理科6)已知函数的部分图象如题(6)图所示，则Oxy1题(6)图（A）（B）（C）(D)【答案】D解析：,由五点作图法知，=-.17．（2022年高考天津卷文科8）为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由给出的三角函数图象知，A=1，，解得，又，141\n所以，即原函数解析式为，所以只要将的图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变即可得到函数的图象，选A。【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力。18．（2022年高考福建卷文科2）计算的结果等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】原式=,故选B.【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值.19．（2022年高考福建卷文科10）将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】因为将函数的图像向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即，解得，故选B。【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。20．(2022年高考北京卷文科7)某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）；（B）（C）（D）答案A【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.141\n21．(2022年高考江西卷文科6)函数的值域为A．B．C．D．【答案】C【命题意图】考察换元的数学思想，及二次函数的图像性质【解析】令则，问题化为求函数的值域。由，结合二次函数图像得原函数的值域。22．(2022年高考江西卷文科12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质.【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择C。23．（2022年高考上海卷文科16）“”是“”成立的（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如141\n24．（2022年高考上海卷文科18）若△的三个内角满足，则△（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C为钝角25．（2022年高考辽宁卷文科6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）（B）（C）（D）3解析：选C.由已知，周期26.(2022年高考宁夏卷文科6)如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为【答案】C解析：显然，当时，由已知得，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间的变化质点P到轴的距离先减小，再排除B，即得C．另解：根据已知条件得，再结合已知得质点P到轴的距离关于时间的函数为，画图得C．27.(2022年高考宁夏卷文科10)若=-，a是第一象限的角，则=141\n（A）-（B）（C）（D）【答案】A解析：由已知得，所以。28．（2022年高考重庆卷文科6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】C、D中函数周期为2，所以错误，当时，，函数为减函数而函数为增函数，所以选A29．（2022年高考陕西卷文科3）函数f(x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数【答案】C【解析】因为f(x)=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C。30．（2022年高考湖北卷文科2）函数f(x)=的最小正周期为A.B.xC.2D.4【答案】D【解析】由T=||=4π，故D正确.31．（2022年高考湖南卷文科7）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定141\n【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。32．（2022年高考全国Ⅰ卷文科1）(A)(B)-(C)(D)C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】33．（2022年高考全国卷Ⅱ文科3）已知，则（A）（B）（C）（D）【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵SINA=2/3，∴二、填空题：1．（2022年高考山东卷理科15文科15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为．【答案】【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。141\n【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。2．（2022年高考全国卷I理科14）已知为第三象限的角，,则.2．【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第三象限的角,所以，又<0,所以,于是有,,所以.3．（2022年高考福建卷理科14）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是。【答案】【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。4．（2022年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.【答案】1【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，，.5．（2022年高考江苏卷试题10）定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2141\n,则线段P1P2的长为_______▲_____。【答案】[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为。6．（2022年高考江苏卷试题13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。【答案】4[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，，=4。（方法二），由正弦定理，得：上式=.7.(2022年全国高考宁夏卷16）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______【答案】解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以141\n．8．（2022年高考北京卷理科10）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。【答案】1【解析】由正弦定理得，解得，又，所以，所以a=b=1。9．（2022年高考浙江卷11）函数f（x）=sin（2x－）－2sin2x的最小正周期是________.【答案】10．(2022年高考全国2卷理数13）已知是第二象限的角，，则．11．（2022年上海市春季高考1)函数的最小正周期。答案：解析：由周期公式得。12．（2022年高考福建卷文科16）观察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1可以推测，m–n+p=.【答案】962【解析】因为所以；观察可得，，141\n所以m–n+p=962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。13．(2022年高考北京卷文科10)在中。若，，，则a=。14.(2022年高考浙江卷文科12)函数的最小正周期是。解析：对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小正周期为，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。15．(2022年高考宁夏卷文科16)在中，D为BC边上一点，,,.若,则BD=_____【答案】解析：设，在和中分别用余弦定理可解得．16．（2022年高考广东卷文科13）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA=.17．（2022年高考重庆卷文科15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等.设第段弧所对的圆心角为，则______.141\n【答案】【解析】又，所以.18．（2022年高考全国Ⅰ卷文科14）已知为第二象限的角，,则【答案】【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又,所以，,所19．（2022年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,，则________【解析】：本题考查了同角三角函数的基础知识∵，∴三、解答题：1．（2022年高考山东卷理科17）（本小题满分12分）已知函数，其图象过点（,）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0,]上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（,），所以有，即有=，所以，解得。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以141\n==，所以=，因为x[0,]，所以，所以当时，取最大值；当时，取最小值。【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。2．（2022年高考福建卷理科19）（本小题满分13分）。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。3。(2022年高考天津卷理科17)(本小题满分12分)已知函数=2。141\n(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值：(2)若，，求的值。因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（2）解：由（1）可知又因为，所以由，得从而所以。4.(2022年高考数学湖北卷理科16）（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．141\n【解析】（Ⅰ） ，的最小正周期为（Ⅱ）当时， .取得最大值时，对应的的集合为。5.（2022年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）。6．（2022年高考广东卷理科16）（本小题满分14分）141\n已知函数在时取得最大值4． (1) 求的最小正周期；(2) 求的解析式；(3) 若(α +)=,求sinα． ，，，，．，，，，．7.（2022年高考全国卷I理科17）(本小题满分10分)已知的内角，及其对边，满足，求内角．【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.【解析】141\n8．（2022年高考四川卷理科19）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；由推导两角和的正弦公式.（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.解（Ⅰ）①如图，在直角坐标系内作单位圆O，并作出角与，使角的始边为，交于点，终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点．则，，，．由及两点间的距离公式，得展开并整理，得．．……………（4分）②由①易得，，．141\n．．…………（6分）（Ⅱ）…………（12分）9．（2022年高考江苏卷试题17）（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(1)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。AD—AB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，141\n10．（2022年高考陕西卷理科17）（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相聚）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．11．(2022年高考北京市理科15)（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求141\n的最大值和最小值。解：（I）（II）==,因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值12．（2022年高考江西卷理科17）（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，，求的值．解：（1）当时，又由得，所以，从而.（2）由得，，所以，得．13．（2022年高考辽宁卷理科17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：141\n故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分14．（2022年高考浙江卷理科18）（本题满分14分）在中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。满分14分。（Ⅰ）：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π所以sinC=.（Ⅱ）：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=及0＜C＜π得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得b=或2所以或15．(2022年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=.由正弦定理得，所以.另解一：，.故有①又据得141\n②将②代入①得：化简或(舍).另解二：如右图过A作AE⊥BC交BC于E点，在中,……①…②在中……③由②、③得：解得：AE=20将AE=20代入①得：AD=25.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化16.(2022年高考重庆市理科16)(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．)设函数．(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，，，求a的值．【命题意图】此题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、和（差）角公式、正弦定理、由余弦定理以及函数思想和方程思想，同时考查基本运算能力．解法一：由余弦定理，得，解得或.141\n解法二：由正弦定理，得或.当时，，从而；当时，，又，从而.故的值为1或2.17．（2022年高考山东卷文科17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。，∴，因此1，故在此区间内的最小值为1.18．（2022年高考天津卷文科17）（本小题满分12分）在ABC中，。（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若=-，求sin的值。【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又0<2B<,于是sin2B==.从而sin4B=2sin2Bcos2B=，141\ncos4B=.所以。19．（2022年高考福建卷文科21）(本小题满分12分)某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。【解析】：（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．（2）设小艇与轮船在某处相遇由题意可得：化简得：由于即所以当时，v取得最小值即小艇航行速度的最小值为海里/小时（3）由（2）知：，设（u＞0）于是①小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即解得所以，v的取值范围是20．(2022年高考北京卷文科15)（本小题共13分）已知函数141\n（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值【解析】：（Ⅰ）=（Ⅱ）因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。21．(2022年高考江西卷文科19)（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．由得，所以，从而．22.(2022年高考浙江卷文科18)（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的最大值。解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。【解析】(Ⅰ)：由题意可知absinC=,2abcosC.所以tanC=.因为0<C<，所以C=.141\n（Ⅱ)：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)=sinA+cosA+sinA=sin(A+)≤.当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是.23．(2022年高考安徽卷文科16)（本小题满分12分）的面积是30，内角所对边长分别为，。(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.24．（2022年高考上海卷文科19）（本题满分12分）已知，化简：.【解析】：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．25．（2022年高考上海卷文科22）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。若实数、、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.141\n【解析】：(1)xÎ(-2,2)；(1)对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3),kÎZ，是偶函数，是周期函数，最小正周期T=p，函数的最小值为0，函数在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．26．（2022年辽宁卷文科17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.27．（2022年高考广东卷文科16）（本小题满分14分）设函数，，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．141\n28．（2022年高考重庆卷文科18）.(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc.【解析】(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求的值.（Ⅰ）由余弦定理得又故（Ⅱ）原式29．（2022年高考陕西卷文科17）（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.【解析】在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120°,ADB=60°在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°，由正弦定理得,AB=.30．（2022年高考湖北卷文科16）（本小题满分12分）已经函数141\n(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（Ⅱ）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。31．（2022年高考湖南卷文科16）（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II)求函数的最大值及取最大值时x的集合。32．（2022年高考全国Ⅰ卷文科18）(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知的内角，及其对边，满足，求内角．解：由及正弦定理得,,从而，.又故，,所以.【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案【北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试】已知函数，设，，，则的大小关系是141\n（）A.B.C.D.【答案】B【福建省南安一中2022届高三上期末】若函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【甘肃省天水一中2022学年度第一学期高三第四阶段考】函数的图像可由的图像向左平移（）个单位A.B.C.D.【答案】D【广东省执信中学2022学年度第一学期期末】若，则（）A．B．C．D．【答案】C【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【北京市东城区2022学年度高三数第一学期期末】如图所示，点是函数的图象的最高点，，是该图象与轴的交点，若，则的值为（A）（B）（C）（D）【答案】B141\n【浙江省杭州第十四中学2022届高三12月月考】假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①；②；③；④．则其中属于“互为生成函数”的是(A)①②(B)①③(C)③④(D)②④【答案】B【安徽省六校教育研究会2022届高三联考】函数是（）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数【答案】D【黑龙江省绥棱一中2022届高三理科期末】计算的结果等于（）ABCD【答案】A【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为。【答案】【广东省执信中学2022学年度第一学期期末】如果，那么．【答案】【甘肃省天水一中2022学年度第一学期高三第四阶段考】若，则=【答案】—1【甘肃省天水一中2022学年度第一学期高三第四阶段考】对于，有如下命题：①若,则为等腰三角形；②若则为直角三角形；③若则为钝角三角形.其中正确命题的序号是——【答案】③【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】设，利用三角变换，估计在k=l，2，3时的取值情况，对k∈N*时推测的取值范围是____（结果用k表示）．141\n【答案】【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________【答案】【西安市第一中学2022学年度第一学期期中】已知，且，则的值为【答案】【北京市东城区2022学年度高三数第一学期期末】已知，那么的值为 ．【答案】【北京市西城区2022学年度第一学期期末】在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则；．【答案】，【福建省南安一中2022届高三上期末】若，，，满足：，，则的值为．【答案】解答题1、已知函数.（Ⅰ）若，其中求的值；（II）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【试题出处】2022年北京市朝阳区高三一模文科数学141\n【解析】（Ⅰ）因为，且，1分所以.…5分.（II）====...10分当时，.则当时，的最大值为；当时，的最小值为.………13分2、已知中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．【试题出处】北京市房山区2022年高三第一次模拟试题高三数学（Ⅱ）由（I）知，∴8分∵，由正弦定理得…11分∴…………13分3、已知向量=(2cosωx，-1)，=(sinωx-cosωx，2)，函数f(x)=·+3141\n的周期为π.(Ⅰ)求正数ω；(Ⅱ)若函数f(x)的图像向左平移，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调增区间.【试题出处】山东省济南市2022届高三3月（二模）月考数学（文）试题【解析】（Ⅰ）f(x)=(2cosωx,-1)·(sinωx-cosωx,2)+3…………1分=2cosωx(sinωx-cosωx)+1……2分=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1…………3分=sin2ωx-cos2ωx……4分=sin……5分∵T=π,且ω>0，∴ω=1.…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=sin…7分g(x)=·sin=2sin2x…9分∴2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z；………10分∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z；…………11分∴函数g(x)的单调增区间为，k∈Z.…………12分4、设锐角△ABC中，.(1)求∠A的大小；(2)求取最大值时，∠B的大小.【试题出处】云南省宣威市2022届高三第二次调研统一模拟考试理科数学试题【解析】(1)∵2sin2A-cos2A=2∴cos2A=-∴A=………(6分)(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1+sin(2B-)………(10分)∵0<2B<∴当2B-=即B=时，=2…………(12分)5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．【试题出处】2022年北京市丰台区高三一模数学【解析】（Ⅰ）（法1）因为，由正弦定理可得即…2分所以．……4分因为在△ABC中，，所以又…5分所以，．所以△ABC为的直角三角形．………6分141\n（法2）因为，由余弦定理可得，……4分即．因为，所以．………5分所以在△ABC中，．所以△ABC为的直角三角形………6分（Ⅱ）因为…8分=．……10分所以．因为△ABC是的直角三角形，所以，且，……11分所以当时，有最小值是．…12分所以的取值范围是…13分6、在中，角，，的对边分别为，且，，成等差数列.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）设，求的最大值.【试题出处】2022年北京市海淀区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）因为成等差数列，所以.因为，所以.……2分因为，，，所以.…5分所以或（舍去）.…………6分（Ⅱ）因为，所以.……10分因为，所以所以当，即时，有最大值.…13分7、在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求．【试题出处】2022年北京市西城区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）：原式可化为．…3分因为141\n，所以，所以．…5分因为，所以．6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得．…8分因为，，所以…10分因为，…12分所以．…13分8、已知函数求的值；在中，若，求的最大值因为，所以，，所以的最大值为…14分9、已知函数（）的最小正周期为．⑴求的值；⑵若满足，证明：是直角三角形．【试题出处】广东省江门市2022年普通高中高三第一次模拟测试数学（理科）【解析】⑴……2分（振幅1分，角度1分），…3分，…4分，所以……6分．（未化简而求，扣2分）⑵由得……7分，……8分，得……9分，141\n所以或……10分，因为，，所以或，是直角三角形……12分．（“或”只得到一个，扣1分）10、在中，记的面积为S，且。（1）求实数x的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值。【试题出处】河南2022~2022学年度高三年级第一次模拟考试数学试题（理）【解析】(Ⅰ)∵∠BAC=,,∴，………1分∴……2分又∵4≤S≤，∴1≤tanx≤,………4分∴x的取值范围是≤x≤.……6分(Ⅱ)=sin2x＋cos2x=2sin(2x＋),……………8分∵≤x≤,∴≤2x＋≤，≤sin(2x＋)≤.……10分∴min=f()=1,max=f()=3.…………12分11、已知函数.若，且为第一象限角，求y的值；若，求y的值．12、在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【试题出处】北京市朝阳区2022届高三上学期期末考试数学试题【解析】（Ⅰ）因为，所以，…………2分141\n因为，所以.………3分又为锐角，则.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．因为，根据余弦定理，得…7分整理，得．由已知，则．又，可得，．…9分于是，…11分所以13、已知函数（I）求的单调递增区问；（Ⅱ）若对一切x∈[0，]均成立，求实数m的取值范围．【试题出处】湖北省武昌区2022届高三年级元月调研测试数学试题【解析】．（Ⅰ）由，解得．所以，的递增区间为．………………………（5分）（Ⅱ）由，得对一切均成立．．，．所以实数的取值范围范围为．……（12分）14、已知函数=A(A>0,>0,0<<函数，且y=的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求;（2）求图像的对称中心（3）计算【试题出处】云南省宣威市2022届高三第二次调研统一模拟考试数学试题【解析】（1）的最大值为2，141\n.又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，.过点，又.（2），令所以函数的对称中心为（）（3）.又的周期为4，，15、已知函数的图像与y轴的交点为，在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和。(Ⅰ)求的解析式及值；(Ⅱ)若锐角满足求的值【试题出处】山东省德州市2022届高三上学期期末考试数学试题【解析】（Ⅰ）由题意可得：，得，所以，所以，又是最小的正数，；（Ⅱ），141\n16、设函数（）的图象过点．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）已知，，求的值.【试题出处】广东省肇庆市2022届高三上学期期末考试数学（理科）试题【解析】（Ⅰ）∵的图象过点，分）17、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。【试题出处】2022年浙江高考适应性考试试题【解析】作交BE于N，交CF于M．，，． ．．．．．．6分在中，由余弦定理，.141\n18、设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．【试题出处】2022届重庆市重点中学3月联考试题【解析】（Ⅰ）===故的最小正周期为T==8(Ⅱ)解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点.由题设条件，点在的图象上，从而==当时，，因此在区间上的最大值为解法二：因区间关于x=1的对称区间为，且与的图象关于x=1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（Ⅰ）知＝当时，因此在上的最大值为.19、已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=3,，若向量与共线，求实数a、b的值。141\n∵与共线，∴．由正弦定理，得①…9分∵，由余弦定理得，②……………10分解方程组①②，得．……………12分20、已知△ABC的面积为3，并且满足，设与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数的零点.【试题出处】2022年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)【解析】(1)ÞÞ，∵，∴ÞÞqÎ.(2)，令Þ①，qÎÞ4q-Î②，由①②知，4q-=Þ4q=Þq=.2022年名校模拟题及其答案1、（2022杭州质检）已知，则（C）141\nA．B．C．D．2、（2022北京朝阳区期末）已知，，则.3、（2022·淮南一模）设是第三象限角，，则；4、(2022·日照一调)已知且，则等于(C)(A)(B)(C)(D)75、（2022·温州十校高三期末）若，，则6、（2022·上海普陀区高三期末）已知，其中是第四象限角，则.13．(2022东莞期末)在平面直角系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角、的终边分别与单位圆交于点和，那么等于(B)A．B.C．D.7、（2022·温州八校联考）在中，（B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8、（2022·温州八校联考）函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（C）A．B．C．D．9、（2022烟台一调）函数的部分图象如图所示，则的值分别为(D)A.2，0B.2，C.2，-D.2，10、（2022·温州十校高三期末）141\n中，“”是“为直角三角形”的（B）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分且必要条件（D）既不充分也不必要条件11、（2022·金华十二校一联）函数的最大值是（B）A．8B．7C．6．5D．5．52-2xyO12、（2022·金华十二校一联）在研究性学习中，我校高三某班的一个课题研究小组做“关于横波的研究实验”．根据实验记载，他们观察到某一时刻的波形曲线符合函数的图像，其部分图像如图所示，则=．13、(2022·南昌期末)已知函数的最大值为4,最小值为0,最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D)A.B.C.D.14、(2022·锦州期末)“a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也不是必要条件15、（2022·上海长宁区高三期末）函数的最小正周期为2，则实数。16、（2022·上海长宁区高三期末）函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是（D）A、φ=2kπ－，k∈ZB、φ=kπ－，k∈ZC、φ=2kπ－，k∈ZD、φ=kπ－，k∈Z17、（2022·泰安高三期末）若把函数的图象向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(C)141\nA.B.C.D.18、(2022·黄冈期末)已知函数y=Asin(x+)+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，＞0，｜｜＜，则（D）A.=B.=C.=D.=19、（2022福州期末）设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（D）A．B．C．D．20、（2022·湖北重点中学二联）函数的图像如图所示，,则的值为（A）A．B．C．D．21、（2022镇江高三期末）矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为.22、（2022广东广雅中学期末）已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是（A）A．B．C．D．23、（2022广州调研）若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数141\n的图象,则的解析式为(B)A.+1B.C.D.24、（2022北京朝阳区期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象(C)（A）向左平移单位（B）向右平移单位（C）向右平移单位（D）向左平移单位25、(2022湖北八校一联)函数的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（B）A．B．C．D．26、（2022巢湖一检）要得到函数的图象，只要将函数的图象沿x轴(A)A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位27、（2022哈尔滨期末）将函数的图像按向量平移之后所得函数图像的解析式为（A）A．B．C．D．28、（2022苏北四市二调）在△中，角的对边分别是，若，，，则△的面积是．29、(2022湖北八校一联)在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则（C）A．B．C．D．141\n30、（2022福州期末）在中，，则AB的长为。31、（2022镇江高三期末）设的三个内角,,所对边的长分别是,,，且，那么.32、(2022·惠州三调)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是( )A．5B．6C．7D．8【解析】答案：C依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：解得a＝7.33、（2022北京丰台区期末）在△ABC中，如果，那么=．34、（2022·上海长宁区高三期末）在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于.35、(2022·汕头期末)设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有①，②，③，④.其中正确结论的序号是；进一步类比得到的一般结论是.36、(2022·日照一调)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_____海里/小时．37、(2022·黄冈期末)满足A＝300，BC＝10的△ABC恰好有不同两个，则边AB141\n的长的取值范围为38、（2022北京朝阳区期末）（本小题满分13分）已知△中，.（Ⅰ）求角的大小；20220316（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，值.解：（Ⅰ）因为，所以.…3分因为，所以.所以.…5分因为，所以.……7分（Ⅱ）因为，8分所以.………………10分所以当时，取得最小值.此时（），于是.…12分所以.…………13分39、（2022北京丰台区期末）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．解：（Ⅰ）．因为，所以，．所以．所以（Ⅱ）当时，，所以当，即时，，当，即时，．40、（2022北京西城区期末）已知函数.（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值；（Ⅱ）若，求的值域.141\n解：（Ⅰ）因为点在角的终边上，所以，，…2分所以………………4分.………5分（Ⅱ）……6分，……8分因为，所以，………10分所以，…11分所以的值域是.…41、（2022巢湖一检）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，且（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求边．又∵，∴．………9分又∵，∴.(用余弦定理也可)……12分42、(2022东莞期末)已知平面向量，，，其中，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）将函数图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．141\n解：（1）…………1分……2分……4分，即∴，而，∴．（2）由（1）得，，于是，即．…9分当时，，所以，…11分即当时，取得最小值，当时，取得最大值．……12分43、（2022佛山一检）在中，已知，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若为的中点，求的长.解：（Ⅰ）且，∴．．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．由正弦定理得，即，解得．在中，，，所以．44、（2022福州期末）已知函数的最小正周期为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围。解：（Ⅰ）2分141\n5分因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以，9分所以，因此，即的取值范围为．45、（2022广东广雅中学期末）在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且（１）求∠A；（２）若，求的取值范围。解：①由余弦定理知：cosA＝＝ ∴∠A＝………………4分②由正弦定理得：∴b＝2sinB，c＝2sinC…………6分∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2(－B)＝4－2cos2B－2cos(－2B) ＝4－2cos2B－2（－cos2B－sin2B）＝4－cos2B＋sin2B＝4＋2sin(2B－)…………10分又∵＜∠B＜∴＜2B－＜∴＜2sin(2B－)≤2∴3＜b2＋c2≤646、（2022哈尔滨期末）在中，已知内角，设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）由正弦定理知，141\n（2）即时，47、（2022杭州质检）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值．解：（1）因为=,48、(2022湖北八校一联)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，向量。（I）求的值；（II）若的面积为3，求a。解：（Ⅰ），，，6分（Ⅱ）由，得，又，，当时，；10分141\n当时，.12分49、(2022湖北八校一联)在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近拟地用解析式来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线对称，老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。现在老张决定取点点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数，并且已经求得（I）请你帮老张算出，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）（II）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？②①，得，141\n③①，得，，，，，，代入②，得，再由①，得，，.7分于是，段的解析式为,由对称性得，段的解析式为，解得，当时，股价见顶10分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，故这次操作老张能赚元.12分50、（2022·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且（I）求的值。（II）若的面积求a的值。解：（Ⅰ）∵∴由得…2分∴=-=……4分∴……5分∴……6分（Ⅱ）得…8分∴∴…12分51、(2022·惠州三调)（本题满分12分）已知函数141\n的图象的一部分如下图所示(1)求函数的解析式;(2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.解:(1)由图像知,,∴,得.由对应点得当时,.∴;……………5分(2)=,……9分∵,∴,………10分∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.…12分52、(2022·锦州期末)（本小题12分）已知A,B,C为锐角的三个内角，向量,，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求取最大值时角的大小．解：（Ⅰ），2分．………4分是锐角三角形，．………6分（Ⅱ）是锐角三角形，且，………7分……10分当取最大值时，即．……12分141\n53、（2022·金华十二校一联）（本题满分14分）在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又．（I）求角的大小；（II）求的值．解：（I）,,且为的内角，，从而．（7分）（II）由，及得，又，，．（１４分）54、（2022·九江七校二月联考）根据三角恒等变换，可得如下等式：，，，依此规律，猜测，其中-3055、（2022·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，。（1）求角A的大小；（2）若求的长。……10分141\n由正弦定理知：……11分=.……12分56、(2022·南昌期末)（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的值域；（2）若，且，求的值．解：（1）由已知…2分当时，……………………4分故函数的值域是（3，6]………………………………………………………6分（2）由，得，即……………8分因为），所以………………………………………10分故……………………………12分57、(2022·日照一调)（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）求的最小正周期;（Ⅱ）若，当时,求函数的最大值．因此在区间上的最大值为.……………12分141\n58、（2022·三明三校二月联考）（本题满分13分）设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，已知与共线。（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围。【解】（Ⅰ）因为∥，则，即.……（2分）所以，即，即.………（5分）A是锐角，则，所以.…（6分）（Ⅱ）因为，，则.…（9分）由已知，，即.（11分）因为B是锐角，所以，即，故角B的取值范围是.59．(2022·汕头期末)(本题满分12分)已知向量，函数·，(Ⅰ)求函数的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域．解：3分令，解得，.故函数的单调递增区间为.6分141\n8分，，10分即的值域为.综上所述，的值域为.12分60.（2022·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2,f(A)=，求△ABC的面积.解：（Ⅰ）因为f(x)====…（3分）所以函数f(x)的单调递增区间是〔〕（）………（5分）(Ⅱ)因为f(x)=，所以又从而…（7分）在△ABC中，∵a=1,b+c=2,A=∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.故bc=1（10分）从而S△ABC=（12分）61.（2022苏北四市二调）（本小题满分14分）已知函数.（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值．解：（1）……2分141\n（1），当时，，此时，即，62、（2022·温州十校高三期末）（本题满分14分）已知向量，，函数f(x)=·。（1）求函数f(x)的单调递增区间。（2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，求△ABC面积S的最大值。当且仅当时取“=”S的最大值为--14分63.（2022烟台一调）（本小题满分12分）已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.解：（1）由得…………2分由余弦定理得141\n（2）即.角终边64.（2022镇江高三期末）如图,单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设.（1）用表示;（2）如果,求点的坐标；(3)求的最小值.【法二】为钝角，,，,,的最小值为.【一年原创】原创试题及其解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）141\n1、函数=2sinxcosx是(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数解：=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数2、设向量,,则下列结论中正确的是(A)(B)(C)(D)与垂直解：，，所以与垂直.3、已知，则（A）（B）（C）（D）解：∵∴4、已知函数的部分图象如题(6)图所示，则（A）（B）（C）(D)解析：由五点作图法知，=-.5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8（B）4（C）2（D）1解：由＝16，得|BC|＝4，，＝4而故2答案：C6、E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（）A.B.C.D.141\n解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。7、设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）(B)(C)(D)3解：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选C8、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（A）（B）（C）（D）解：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A9、△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=,=,=1，=2,则=（A）+（B）+（C）+（D）+解∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴10、已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A)(B)(C)(D)141\n解1如图所示：设PA=PB=,∠APO=,PABO则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.【解析2】设，换元：，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）11、已知向量，若∥，则.解∵，∴由∥得.12、已知和的夹角为，，则 ．解：，故13、在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为．解：由得，即，因为，所以141\n，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。14、在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．15、已知平面向量,(≠0，≠)满足||＝1，且与－的夹角为120°，则||的取值范围是________．解：如图，数形结合知=，＝，|AB|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，设∠ABC＝θ，由正弦定理知＝，∴||＝sinθ≤，当θ＝90°时取最大值．∴||∈.答案：三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、设函数，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求的值．17、中，为边上的一点，，，，求141\n．解：由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=由正弦定理得，所以18、的面积是30，内角所对边长分别为，。(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值。19、已知函数，其图象过点（,）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0,]上的最大值和最小值．解（Ⅰ）因为已知函数图象过点（,），所以有，即有=，所以，解得。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以141\n==，所以=，因为x[0,]，所以，所以当时，取最大值；当时，取最小值。20、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。…12分21、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？141\n，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。【考点预测】2022高考预测展望2022年高考，三角函数仍是重点考查内容之一，从2022年的高考题可见预见到2022年高考中题三角函数命题会有如下可能：三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．复习建议三角函数内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。 （2）对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。 （3）三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。 （4）由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。 （5）重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等。另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论。如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ+π/2141\n（k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征。在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果。 （6）加强三角函数应用意识的训练，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。（7）变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。针对高考中的题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法。另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点。同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。 （8）在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考。 在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。【母题特供】母题一：母题二：金题引路：在△ABC中,角A、B、C所对边分别是、、,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.解:(1)141\n(2)由余弦定理得:.∴当且仅当时,有最大值∴母题三：为.母题四：金题引路：已知函数f(x)=Asin(x+)(A＞0,＞0,||＜)(x∈R)的部分图象如图所示.（1）求f(x)的表达式；（2）设g(x)=f(x)-f,求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.解（1）由图象可知：A=1，函数f(x)的周期T满足：=-=，T=，∴T==.∴=2.∴f（x）=sin(2x+).又f（x）图象过点,∴f=sin=1，=2k+（k∈Z）.又||＜,故=.∴f(x)=sin.141\n=2sin=2sin2x,由2x=2k-(),得x=k-(),∴g(x)的最小值为-2,相应的x的取值集合为{x|x=k-,}.母题五、金题引路：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则则BC=4，由已知得在△AEC中，由正弦定理得：141
