2022版高考数学3-2-1精品系列专题08圆锥曲线文（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读近几年考点分布圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2022年高考对本讲的考察，仍将以以下题型为主.1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。【考点pk】名师考点透析考点一：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.1.椭圆的方程以及性质标准方程简图中心坐标顶点坐标焦点坐标对称轴方程准线方程范围+=1(a>b>0)O(0,0)A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)F1(-c,0)F2(c,0)x=0y=0x=±|x|≤a|y|≤b132\n+=1(a>b>0)O(0,0)A1(0,-a)A2(0,a)B1(-b,0)B2(b,0)F1(0,-c)F2(0,c)x=0y=0y=±|y|≤a|x|≤b2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)简图中心O(0,0)O(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,-a)范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)准线x=±y=±渐近线y=±xy=±x3抛物线的方程以及性质例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.132\n【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时132\n.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.考点3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.3、1.抛物线的定义平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有132\n.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为【名师点睛】：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.考点4：直线与圆锥曲线位置关系问题1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：132\n【名师点睛】：在以直线与双曲线的知识为背景前提下，结合相应的平面几何知识点到直线距离、两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积，交点坐标问题。深刻体会代数法来解决解析几何的思想实质。考点5：轨迹问题求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例5.设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点.四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．解：以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设N的坐标为，则切线DC的方程为：，由此可得AC的方程为BD的方程为将两式相乘得：，即当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）．【名师点睛】：对于解析几何问题，首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算。同时要注意圆的参数方程的运用，对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺。考点6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.132\n例6：已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t(t≠0且t≠－1).（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．解：(１)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1轨迹C的方程为+=1（x≠2）.(２)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设=r1，=r2,则r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，=2c=4,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r－2r1r2=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设=r1，=r2，则r1+r2=2a=－4t,在△F1PF2中，=2c=4.∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r－2r1r2=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是【名师点睛】：132\n本试题先直接发球轨迹方程，然后运用一问的结论进一步研究第二问，充分利用圆锥曲线的定义和余弦定理，结合不等式的思想来得到不等式关系，从而得到相关的结论。主要是体会焦点三角形的运用。【名师点睛】：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.考点7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程解法一由e=,得,从而a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=－，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1解法二由e=,从而a2=2b2,c=b设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一【名师点睛】：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理132\n【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题．（2022年高考（浙江文））如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A．3B．2C．D．【答案】B【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过对两者公交点求解离心率的关系.【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,,.．（2022年高考（四川文））已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则（ ）A．B．C．D．【答案】B[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,[点评]本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).．（2022年高考（山东文））已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为（ ）A．B．C．D．解析:由双曲线:的离心率为2可知,则双曲线的渐近线方程为,抛物线的焦点,则,抛物线的方程为,答案应选D.．（2022年高考（辽宁文））已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,132\n2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为（ ）A．1B．3C．4D．8【答案】C【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题.曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键.．（2022年高考（课标文））等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,∵=,∴=,解得=2,∴的实轴长为4,故选C.．（2022年高考（课标文））设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为（ ）A．B．C．D．【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.【解析】∵△是底角为的等腰三角形,∴,,∴=,∴,∴=,故选C.．（2022年高考（江西文））椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．132\n【答案】B【解析】,由成等比数列得.【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果.．（2022年高考（湖南文））已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为（ ）A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【答案】A【解析】设双曲线C:-=1的半焦距为,则.又C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,,即.又,,C的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.．（2022年高考（福建文））已知双曲线-=1的右焦点为,则该双曲线的离心率等于AB．C．D．【答案】C【解析】由,C答案正确.【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题.．（2022年高考（大纲文））已知为双曲线的左,右焦点,点在上,,则（ ）A．B．C．D．【答案】C132\n【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得.．（2022年高考（大纲文））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程.【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C二、填空题．（2022年高考（重庆文））设为直线与双曲线左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率___【答案】【解析】由,又垂直于轴,所以【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.．（2022年高考（天津文））已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则132\n______,_______.【答案】【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以.．（2022年高考（四川文））椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.【答案】【解析】根据椭圆定义知:4a=12,得a=3,又[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.．（2022年高考（陕西文））右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【答案】米【解析】:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时,,所以水面宽米。．（2022年高考（辽宁文））已知双曲线x2y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为___________.【答案】【解析】由双曲线的方程可知【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中.解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化.132\n．（2022年高考（安徽文））过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则=______【答案】=【解析】设及;则点到准线的距离为得:又三、解答题．（2022年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)已知椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过作直线交椭圆于,,求△的面积【答案】:(Ⅰ)+=1(Ⅱ)【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为由是直角三角形且,故,从而,即,结合,,所以椭圆的离心率,在中,故,由题设条件,从而,因此所求椭圆的标准方程为.(2)由(1)可知,由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线132\n,代入椭圆的方程可得(*)设则是上面方程的两根,因此又,所以由,知,即,解得当时,方程(*)化为:故,的面积当时,同理可得(或由对称性可得)的面积综上所述,的面积为.．（2022年高考（浙江文））（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值。（2）求△ABP面积的最大值。【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由题意得，得.（2）设，线段AB的中点坐标为由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.由，得，得所以直线的方程为，即132\n.由，整理得，所以，，.从而得，设点P到直线AB的距离为d，则，设ABP的面积为S，则.由，得.令，，则.设，，则.由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.．（2022年高考（天津文））已知椭圆,点在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率(2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为由条件得，消去并整理得①，由，132\n及得，整理得而故代入①整理得由(I)知，故，即，可得所以直线OQ的斜率．（2022年高考（四川文））如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.[解析](1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有·=4化简可得,4x2-y2-4=0故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.(﹡)对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.因为,所以,所以.此时所以132\n所以综上所述,[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.．（2022年高考（上海文））在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求过M点的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为的直线l交C于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;[解](1)双曲线,左焦点.设,则,由M是右支上一点,知,所以,得.所以(2)左顶点,渐近线方程:.过A与渐近线平行的直线方程为:,即.解方程组,得所求平行四边形的面积为(3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,即(*).由,得.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则.,所以，.由(*)知,所以OP⊥OQ．（2022年高考（陕西文））已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与132\n有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.．（2022年高考（山东文））如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.解:(I)①矩形ABCD面积为8,即②由①②解得:,∴椭圆M的标准方程是.(II),设,则,由得..线段CD的方程为,线段AD的方程为.(1)不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知.所以,则,令,则所以,当且仅当时取得最大值,此时;132\n(2)不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时,因此,此时,当时取得最大值;(3)不妨设点S在AB边上,T在BC边上,可知由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值;综上所述当和0时,取得最大值.．（2022年高考（课标文））设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边点到准线的距离,所以圆F的半径为,又,所以,进而圆心,所以圆的方程为(2)∵三点共线于,所以为⊙的直径,所以,由抛物线定义知:,所以,可取直线的倾斜角为,又直线过焦点,所以直线的方程为:;的纵截距为因直线∥直线,所以可设直线的方程为,联立,消去得:已知直线与抛物线132\n只有一个公共点,所以(*)的判别式等于0,即有:,求得:;即直线的纵截距为,所以:坐标原点到,距离的比为:解法二:由对称性设,则由点关于点对称得:得:,直线切点直线坐标原点到距离的比值为.．（2022年高考（江西文））已知三点,曲线上任意一点满足。(1)求曲线的方程;(2)点是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是与分别交于点,求与的面积之比。【解析】(1),,,代入式子可得整理得（Ⅱ）直线的方程分别是，曲线在处的切线的方程是且与轴的交点为分别联立方程组解得的横坐标分别是故则即与的面积之比2。132\n．（2022年高考（湖南文））在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.【解析】(Ⅰ)由,得.故圆C的圆心为点从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知故椭圆E的方程为:(Ⅱ)设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得,即同理可得.从而是方程的两个实根,于是①且由得解得或由得由得它们满足①式,故点P的坐标为,或,或,或.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出132\n即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标.．（2022年高考（湖北文））设A是单位圆上任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足,当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.(2)过原点斜率为的直线交曲线于两点,其中在第一象限,且它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,请说明理由.考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求.解析:(Ⅰ)如图1,设,,则由,可得,,所以,.①因为点在单位圆上运动,所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,.132\n而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.解法2:如图2、3,,设,,则,,因为,两点在椭圆上,所以两式相减可得③依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故.于是由③式可得.④又,,三点共线,所以,即.于是由④式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.．（2022年高考（广东文））(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.解析:(Ⅰ)由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为.(Ⅱ)显然直线的斜率存在,假设其方程为.联立,消去,可得,由132\n可得①.联立,消去,可得,由可得②.由①②,解得或,所以直线方程为或.．（2022年高考（福建文））如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上.(1)求抛物线的方程;(2)设动直线与抛物线相切于点,与直线相较于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导,考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.【解析】(1)依题意,设点B(x,y),则x=·=Y=·=12,∴B(,12)在抛物线上,∴=2p×12,∴p=2,抛物线E的方程为=4y(2)设点P(,),≠0.∵Y=,,切线方程:y-=,即y=由∴Q(,-1)设M(0,)∴,∵·=0--++=0,又,∴联立解得=1故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)．（2022年高考（大纲文））已知抛物线C:与圆:有一个公共点,且在132\n处两曲线的切线为同一直线上.(Ⅰ)求;(Ⅱ)设是异于且与及都切的两条直线,的交点为,求到的距离.【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离.解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心圆心为,的斜率由知,即,解得,故所以(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得求解可得抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为①②③②-③得,将代入②得,故所以到直线的距离为.【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向.．（2022年高考（北京文））已知椭圆:的一个顶点为132\n,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的.解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.(2)由得.设点M,N的坐标分别为,,则,,,.所以|MN|===.由因为点A(2,0)到直线的距离,所以△AMN的面积为.由,解得.．（2022年高考（安徽文））如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)已知面积为40,求的值【解析】(I)(Ⅱ)设;则132\n在中,面积11年高考试题及解析1、（陕西文3）.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（A）（B）(C)(D)【答案】C【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C2、（湖南文6）．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4B．3C．2D．1解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。答案：C3、（安徽文3）双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】可变形为，则，，.故选C.5、（湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A.4B.3C.2D.1答案：C解析：由双曲线的方程可知其渐近线为，对比可知。故选C评析：本小题主要考查双曲线的方程及其渐近线方程与性质.6、（福建文11）.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足132\n：：=4:3:2，则曲线I’的离心率等于A.B.C.D.【答案】A【解析】由：：=4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7、（辽宁文7）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（）（A）（B）1（C）（D）答案：C解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+=m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。10、（天津文6）.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.13、（四川文11）.在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为，的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（）（A）(-2,-9)（B）(0,-5)(C)(2,-9)（D）(1,6)132\n答案：A解析：横坐标为x1=-4,x2=2的两点坐标分别是，，经过这两点的直线的斜率为15、（广东文8）．设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【解析】A.设圆C圆心C，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A.16、（山东文9）.设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是(A)(0，2)(B)[0，2](C)(2，+∞)(D)[2，+∞)【答案】C【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为,由圆与准线相切知4<r,因为点M(，)为抛物线C：上一点，所以有,又点M(，)在圆,所以,所以,即有,解得或,又因为,所以,选C.132\n的距离为,21、（浙江文9）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则[Com]（A）（B）（C）(D)【解析】：由恰好将线段AB三等分得由又，故选C23、（课标卷文9）.已知直线L过抛物线C的焦点，且与抛物线C的对称轴垂直，L与C交于两点A、B，,P为C的准线上的一点，则的面积为（）24、（湖北文4）．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.B.C.D.解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.132\n25、（课标卷文4）.椭圆的离心率为（）ABCD解析：D故选D点评：该题考查椭圆的概念、标准方程和几何性质，要把握离心率的导出公式的28、（重庆文9）．设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A．B．C．D．，【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.【解析】双曲线的左准线为=，渐近线方程为，联立解得（，），∴=，根据题意得，＜，即，即，即，即，即，又＞1，,1＜＜，故选B.二、填空题1、（江西文）若双曲线的离心率e=2，则m=_ ___.【解析】根据双曲线方程：知，，并在双曲线中有：，离心率e==2=m=48.2、（北京文）（10）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则.132\n【解析】：由得渐近线的方程为即，由一条渐近线的方程为得23、（四川文）.双曲线P到左准线的距离是.答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.4、（山东文15）.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.【答案】【解析】由题意知双曲线的焦点为(-,0)、(,0),即c=,又因为双曲线的离心率为,所以,故,双曲线的方程为.5、（全国文16）已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=【解析】：，由角平分线的性质得又三、解答题1、（陕西文17）.（本小题满分12分）设椭圆C:过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标132\n解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又得即，∴ ∴C的方程为（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，AB的中点坐标，，即中点为。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。NMPAxyBC2、（江苏18）、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以（2）由得，，AC方程：即：132\n所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,3、（四川文21）.（本小题共12分）过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.132\n当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或把②代入椭圆方程，得，从而可求.因为B(-2,0),所以直线BD的方程为③，由①③可得，从而求得.，所以为定值.4、（广东文21）．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．【解析】132\n5、（山东文22）.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.解得132\n，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.。6、（全国文22、）(本小题满分12分)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.132\n【解析】(Ⅰ)证明：由，，由设，，故点P在C上（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，，即，同理即，A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为∴∴则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为∴132\n到直线的距离为7、（浙江文22）．（本题满分15分）如图，设是抛物线:上动点。圆:的圆心为点M，过点做圆的两条切线，交直线：于两点。（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，圆心M到抛物线的准线的距离为（Ⅱ）设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线于点，再设横坐标分别为，过点的抛物线的切线方程为（1）当时，过点与圆的切线为可得，；当时，过点与圆的切线为可得，，所以。设切线，的斜率为则：（2）：（3）将分别代入（1）（2）（3）得（）从而又即132\n，棕上所述，存在点满足题意，点的坐标为8、（课标卷文20）.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线交于A,B两点，且，求的值。分析：用待定系数求圆的方程；由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。解：（Ⅰ）曲线因而圆心坐标为则有半径为，所以圆方程是（Ⅱ）设点满足解得：，132\n点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用，要对每一点熟练把握。9、（湖南文21）．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得故当且仅当即时，取最小值16．10、（湖北文21）（本小题满分13分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2132\n两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.解析：（1）设动点为M，其坐标（x,y）.当时，由条件可得即又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.（2）由（1）知，当时，C1的方程为；当时，C2的两个焦点分别为.对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是由①得，由②得①②当即，或时.存在点N,使当即，或时，不存在满足条件的点N.当时，由，可得132\n令则由可得，从而于是由可得，即综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得，且当时，在C1上，存在点N，使得，且；当时，在C1上，不存在满足条件的点N.11、（福建文18）.（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由得()因为直线与抛物线C相切,所以,解得.（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.12、（辽宁文21）.(本小题满分12分)（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设132\n。设直线分别和C1，C2联立，求得。13、（北京文19）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积。【解析】：（Ⅰ）由已知得解得又所以椭圆G的方程为（Ⅱ）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则132\n因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=14、（天津文18）.（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.（Ⅰ）求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.【解析】（Ⅰ）设，（），因为，所以，整理得，即，解得.(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为,直线的方程为,A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,解得或,所以A,B两点坐标为,,所以由两点间距离公式得|AB|=,于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,因为,所以,解得,所以椭圆方程为.【命题意图】132\n本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.15、（江西文19）.(本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．【解析】（1）直线AB的方程是所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2）由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得.16、（重庆文21）.（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。解析：（Ⅰ）由解得故椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，,则由得132\n，即，因为点M,N在椭圆上，所以故2022高考试题及解析5一、选择题:1．（2022年高考山东卷文科9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（A）(B)(C)(D)【答案】B【解析】设、则有，，两式相减得：，又因为直线的斜率为1，所以，所以有，又线段的中点的纵坐标为2，即，所以，所以抛物线的准线方程为。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，2．（2022年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A.2B.3C.6D.8【答案】C132\n【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，，所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。3.(2022年高考浙江卷文科10)设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为（A）x±y=0（B）x±y=0（C）x±=0（D）±y=0解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题4．（2022年高考辽宁卷文科7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（A）（B）8（C）（D）16解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则5．（2022年辽宁文9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，，，解得.132\n6.(2022年高考宁夏卷文科5)中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A）（B）（C）（D）【答案】D解析：易知一条渐近线的斜率为，故．7．（2022年广东文7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.B.C.D.8．（2022年陕西文9）已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为[C]（A）（B）1（C）2（D）4【答案】C【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.9．（2022年湖南文5）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4B.6C.8D.1210．（2022年全国Ⅰ文8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则(A)2(B)4(C)6(D)88.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.132\n【解析1】.由余弦定理得cos∠P=4【解析2】由焦点三角形面积公式得：，411．（2022年全国Ⅱ文12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k=（A）1（B）（C）（D）212．（2022年四川文3）抛物线的焦点到准线的距离是(A)1(B)2(C)4(D)8解析：由y2＝2px＝8x知p＝4w又交点到准线的距离就是p答案：C13．（2022年四川文10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是132\n（A）（0，]（B）（0，]（C）[，1）（D）[，1）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴Þ又e∈(0,1)故e∈答案：D二、填空题：1．（2022年天津文13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为。【答案】【解析】由题意知，双曲线的一个焦点为（4，0），即，又因为已知双曲线的一条渐近线方程是，所以有，即，可解得，，故双曲线的方程为。【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、待定系数法求双曲线方程，考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度。2．（2022年福建文科13）若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。【答案】1【解析】由题意知，解得b=1。【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。3．(2022年北京文13)已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。132\n4．(2022年江西文15)点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则．5．(2022年安徽文12)抛物线的焦点坐标是【答案】【解析】抛物线，所以，所以焦点.【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.6．（2022年高考上海卷文科8）动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为y2=8x。解析：考查抛物线定义及标准方程定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x7．（2022年上海文13）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是4ab=1。解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为132\n，又双曲线方程为，=，，化简得4ab=18．（2022年高考重庆卷文科13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则_______.【答案】2【解析】由抛物线的定义可知故29．（2022年高考湖北卷文科15）已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。10．（2022年全国Ⅰ文16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.16.【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，,132\n作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得11．（2022年高考全国卷Ⅱ文科15）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________【解析】：设直线AB：，代入得，又∵，∴，解得，解得（舍去）三、解答题：1．（2022年山东文22）（本小题满分14分）如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线、的斜线分别为、.（i）证明：；（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.132\n【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。【解析】（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，），e=，所以，.又a2=b2+c2，所以，故所求椭圆方程为.（Ⅱ）（i）设点P（，），则=，=，因为点不在轴上，所以，又=2，所以=，因此结论成立。132\n2．（2022年天津文21）（本小题满分14分）已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.【解析】（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为.(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为132\n，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，，，整理得。故。所以。综上，或3．（2022年福建文19）（本小题满分12分）已知抛物线C：过点A（1,-2）。（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点132\n）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以.故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=－2x+t，由，得y2＋2y－2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8t，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为－1∉[,＋∞），1∈[，＋∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.4．(2022年北京文19)（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知由得所以圆P的半径为解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以132\n设，则当，即，且，取最大值2.【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题.问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.【点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高.求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.5．(2022年江西文21)（本小题满分12分）如图，已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点．（1）求椭圆的离心率；（2）设点，又，为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程．解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，，所以，即，由，所以椭圆的离心率．（2）由（1）可知，椭圆的方程为：联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以，即，所以的重心坐标为．因为重心在上，所以，得．所以．所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：．132\n6.(2022年浙江文22)（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点F在直线上。（I）若m=2，求抛物线C的方程（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。中点，由于2可知G（），H（），所以所以GH的中点M.设R是以线段GH为直径的圆的半径，则设抛物线的标准线与x轴交点N，则=m4(m4+8m2+4)=m4[(m2+1)(m2+4)+3m2]＞m2(m2+1)(m2+4)=R2.故N在以线段GH为直径的圆外.7．(2022年安徽文17)（本小题满分12分）椭圆经过点132\n，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.8．（2022年上海文23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.（1）若点满足，求点的坐标；（2）设直线132\n交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.解析：(1)；(2)由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D>0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．10．（2022年辽宁文20）（本小题满分12分）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线132\n的倾斜角为，到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.（Ⅱ）设直线的方程为联立解得因为即得故椭圆的方程为11.(2022年高考宁夏卷文科20)（本小题满分12分）设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。（Ⅰ）求（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。解：（1）由椭圆定义知又（2）L的方程式为y=x+c,其中设,则A，B两点坐标满足方程组化简得则因为直线AB的斜率为1，所以即.132\n则解得.12．（2022年高考重庆卷文科21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.【解析】（Ⅰ）设C的标准方程为则由题意得因此，C的标准方程为，C的渐近线方程为即和（Ⅱ）：如答（20）图，由题意点E（）在直线：和：上，因此有，故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为，设C、H分别是直线MN与渐近线及的交点，由方程组及解得，132\n故13．（2022年陕西文20）（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于点P、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【解析】(Ⅰ)由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使成立的直线存在（1）当不垂直于x轴时，设的方程为y=kx+m,由与n垂直相交于P点且得[来将④⑤代入上式并化简得⑥将代入⑥并化简得矛盾，即此时直线不存在（1）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为或则A,B两点的坐标为或当时，当132\n时此时直线也不存在。综上可知使成立的直线不存在14．（2022年湖北文20）（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（Ⅰ）求曲线C的方程（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力。解：（Ⅰ）设P（x,y）是曲线C上任意一点，那么点P（x,y）满足.,化简得(Ⅱ)设过点M（m,0）（m>0）的直线与曲线C的交点为设的方程为，由于是①又②又,于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于④对任意实数,的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于即由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有，且m的取值范围是15．（2022年湖南文19）（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（Ⅰ132\n）求考察区域边界曲线的方程：（Ⅱ）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？解（Ⅰ）设边界曲线上点的坐标为，则由=10知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长=3所以考察区域边界曲线（如图）的方程为=1(Ⅱ)易知点的直线方程为+47=0，因此点到直线的距离为设经过年，点恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得解得=5，即经过5年，点恰好在冰川边界线上。16．（2022年全国Ⅰ文22）(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点在直线上；（Ⅱ）设，求的内切圆的方程.解：设，，，的方程为.（Ⅰ）将代人并整理得，从而直线的方程为，即令所以点在直线上（Ⅱ）由①知，，因为，故，解得所以的方程为132\n又由①知故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为因为为的平分线，故可设圆心到及的距离分别为，由得或（舍去），故圆的半径所以圆的方程为17．（2022年全国Ⅱ文22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。第一问，还可以用点差法来解，也有用参数方程解的考生。（Ⅱ）由（1）、（2）知，C的方程为：132\n连接ＭＡ，则由Ａ（１，０），Ｍ（１，３）知，从而ＭＡ＝ＭＢ＝ＭＤ，且ＭＡ轴，因此，以Ｍ为圆心，ＭＡ为半径的圆经过Ａ、Ｂ、Ｄ三点，且在点Ａ处与ｘ轴相切。所以过Ａ、Ｂ、Ｄ三点的圆与ｘ轴相切。第二问解题过程中有用焦半径公式的、有用弦长公式的、还有用第二定义的。18．（2022年四川文21）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，(2，0)，定直线：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x,y)，则化简得x2－＝1(y≠0)……4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－＝1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(＋4)＝因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝(x＋1)因此M点的坐标为(),同理可得因此＝＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，同理可得因此＝0综上＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F…12分132\n【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案选择题1．已知椭圆C:的焦点为，若点P在椭圆上，且满足(其中为坐标原点)，则称点P为“★点”，那么下列结论正确的是()A．椭圆上的所有点都是“★点”B．椭圆上仅有有限个点是“★点”C．椭圆上的所有点都不是“★点”D．椭圆上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”【解析】．B本题主要考查椭圆的新定义问题，特别是焦半径的转化问题．设椭圆上的点，，，因为·，则有，解得，因此满足条件的有四个点，故选B．2．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是(A)A．B．C．D．3.设双曲线的右焦点为，方程的两实根分别为，则（B）A．必在圆内B．必在圆外C．必在圆上D．以上三种情况都有可能4．过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P。若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（B）A．2B．C．D．132\n5．椭圆的中心、右焦点、右顶点、及右准线与x轴的交点依次为O、F、G、H，则的最大值为。6．是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为(C)A．1B．2C．3D．47．设直线被圆为参数）所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系为AA．相交B．相切C．相离D．不确定8．已知为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且△的内切圆的周长等于，则满足条件的点有CA．0个B．1个C．2个D．4个9．已知⊙：，⊙：；坐标平面内的点满足：存在过点的无穷多对夹角为的直线和，它们分别与⊙和⊙相交，且被⊙截得的弦长和被⊙截得的弦长相等．请你写出所有符合条件的点的坐标：___________．15．，10．设，则|PF1|+|PF2|（C）A．小于10B．大于10C．不大于10D．不小于1011．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为132\n的内心，若，则该椭圆的离心率是A(A)(B)(C)(D)12.已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（B）A．66条B．72条C．74条D．78条13.设F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，c＝，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D）A.B.C.D.14．若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则a，b，c的一种可能取值依次为（C）A．-2，-1，2B．2，0，-2C．D．15．抛物线将圆面分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为，则定积分16．已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，则椭圆C的离心率等于A（）A．B．C．D．17.椭圆的离心率为，则过点且被圆132\n截得的最长弦所在的直线的方程是（C）A．B．C．D．18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（D）A．B．C．D．19．圆O的方程为，P是圆O上的一个动点，若线段OP的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.20．(山东省威海市2022年3月高三第一次模拟理科）已知圆的方程为设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是(B)A.B.C.D.21.(山东省济南市2022年2月高三定时练习理科)已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若132\n为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（D）A．B．C．（1，2）D．22．(山东省烟台市2022年高三诊断性检测理)已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小值是(D)A．5B．8C.D.解答题---4分（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；------6分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入消去得：设，则----8分所以----11分由-------13分所以直线或-----14分132\n2、已知椭圆的离心率为，其中左焦点F(-2,0).（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点A，B且线段AB的中点在圆上，求的值.【试题出处】2022届四川高三联考试题（文）【解析】（Ⅰ）由题意，得…3分解得∴椭圆C的方程为6分(Ⅱ)设点A、B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)，由消y得，3x2+4mx+2m2-8=0,…8分Δ=96-8m2＞0,∴-2＜m＜2.10分∵点M(x0,y0)在圆上，，.………12分3、已知的两个顶点的坐标分别为和，顶点为动点，如果的周长为6.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线，与轨迹交于点，若直线与圆相切，求线段的长.【试题出处】陕西省西安市八校2022届高三年级数学（文科）试题【解析】（Ⅰ）据题意有而，所以动点的轨迹是以、为焦点的椭圆，但须除去、两点-----3分所以，轨迹M的方程为（）（Ⅱ）由于直线不可能是轴，故设其方程为，由直线与圆相切，得，解得----8分把方程代入方程中得132\n，即得，解得或.所以点的坐标为或-------12分所以即线段的长为--------13分4、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求m的值.【试题出处】安徽省马鞍山市2022届高三第二次教学质量检测数学文【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为，则∴椭圆方程为…………6分（Ⅱ）依题意，……7分可设直线的方程为：，、，则，∵，∴，…………8分……①而代入①得：………②由消并整理化简得：，此方程有两解∴解得：……………10分由韦达定理得：，代入②得：解：或…………12分∵点异于，∴…………………13分132\n5、已知圆C的方程为，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点。（1）求椭圆T的方程；（2）是否存在斜率为的直线与曲线Ｃ交于Ｐ、Ｑ两不同点，使得（O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，否则，说明理由。【试题出处】河北省2022年普通高考模拟考试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：．．2分则：，解得：，此时切线方程为：切线方程与圆方程联立得：，令，，则∴，，，即．8分由，得：所以，不满足……．10分因此不存在直线满足题意．……．12分6、平面内动点到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若点，，是上的不同三点，且满足．证明：不可能为直角三角形．132\n【试题出处】2022年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学【解析】：（Ⅰ）由条件可知，点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．……4分法一（Ⅱ）假设是直角三角形，不失一般性，设，，，，则由，，，所以…6分因为，，，所以．………8分法二：（Ⅱ）设，，，由，得，．…6分由条件的对称性，欲证不是直角三角形，只需证明．当轴时，，，从而，，即点的坐标为．由于点在上，所以，即，此时，，，则．…………8分当与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入，整理得：，则．若，则直线的斜率为132\n，同理可得：．由，得，，．由，可得．从而，整理得：，即，①．所以方程①无解，从而．……11分综合，，不可能是直角三角形．……12分7、如图，在△ABC中，|AB|=|AC|=，|BC|=2，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ） 过椭圆的右顶点作直线l与圆E：（x-1）2+y2=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1∶3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由.【试题出处】洛阳市示范高中联考文科数学试题测试数学（文）试题【解析】（Ⅰ）∵|AB|=|AC|=，|BC|=2，∴|BO|=|OC|=1，|OA|===……2分∴B(-1,0),C(1,0),A(0,)，∴P(，)依椭圆的定义有：2a=|PB|+|PC|=+=+=4，……4分 ∴a=2，又c=1，∴b2=a2-c2=3∴椭圆的标准方程为=1……6分（求出点P的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P点的坐标代入即可求出椭圆方程，也可以给满分。）（Ⅱ）椭圆的右顶点A1(2,0)，圆E圆心为E(1,0)，半径r=.……7分假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1∶3两段弧，则∠MEN=90°，……8分圆心E(1,0)到直线l的距离d=r=1，当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E(1,0)到直线l的距离d=1（符合），当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，∴圆心E(1,0)到直线l的距离d==1，无解.10分综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1∶3的两段弧，此时l方程为x=2.……12分8、如图，已知点D（0，－2），过点D作抛物线：的切线l,切点A在第二象限。132\nxyODAB（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过A点，设切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l,直线OA，OB的斜率为k,,①试用斜率k表示②当取得最大值时求此时椭圆的方程。【试题出处】湖北省八校2022届高三第二次联考数学（文）试题【解析】（1）设切点A，依题意则有解得，即A点的纵坐标为2…3分（2）依题意可设椭圆的方程为，直线AB方程为：；由得①由（1）可得A，将A代入①可得，故椭圆的方程可简化为…5分联立直线AB与椭圆的方程：消去Y得：，则…………10分又∵,∴k∈［－2，－1］；即…………12分132\n(3)由可知上为单调递增函数，故当k=-1时，取到最大值，此时P＝4，故椭圆的方程为………14分9、如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【试题出处】江苏省苏中三市（南通、泰州、扬州）2022届高三3月第一次调研测试数学【解析】（1）设直线的方程为，即．因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，．整理，得．……14分132\n由得或所以定点的坐标为，．…………16分10、已知椭圆的长轴长为，点（2，1）在椭圆上，平行于（为坐标原点）的直线交椭圆于两点，在轴上的截距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；Ⅲ）设直线的斜率分别为，，那么+是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.【试题出处】北京市房山区2022年高三第一次模拟试题高三数学(文科)于A、B两个不同点，解得，且≠.所以的取值范围是…………9分（III）+设，由①得.……10分∵∴132\n=……14分11、已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线于G点，直线MB交直线于H点。（1）求椭圆C的方程；（2）试探求是否为定值？若是，求出此定值，若不是说明理由。【试题出处】河南省2022年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）由题意得……2分椭圆的方程为：………4分（Ⅱ）设的坐标分别为、、则直线的方程为：……6分令得，同理得………8分在椭圆上，所以……10分所以所以为定值0.…12分12、设是以为焦点的抛物线，132\n是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【试题出处】2022届上海市七校数学试题（文科）【解析】（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：又双曲线的标准方程为：（2）将代入到中并整理得：设则又当且仅当时的最大值为9（3）直线的方程为：即到直线的距离为：132\n又13、设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；（2）求证：直线恒过定点.【试题出处】广东省韶关市2022届高三第一次调研考试数学（文）试题【解析】(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得因为到的中点的距离为，从而过三点的圆的方程为．易知此圆与直线相切.．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得，又因为，所以．．．．．．．6分从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点，所以得①即．．．．8分同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得②10分即．．．．6分即点，均满足即，故直线的方程为．．．．12分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以132\n，从而直线恒过定点．．．．．．．．．．14分证法二：设过的抛物线的切线方程为，代入，消去，得，即：．．．．．6分从而，此时，所以切点的坐标分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分因为，，，所以的中点坐标为．11分故直线的方程为，即.．．．．12分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点．．．．．．．．．．．．．14分证法三：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即．．．7分又切线过点，所以得①即．．８分同理可得过点132\n的切线为，又切线过点，所以得②即．10分即点，均满足即，故直线的方程为．．．．12分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点．．．．．14分14、已知双曲线的两焦点为，为动点，若．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【试题出处】2022届江阴市重点高中高考数学模拟试题数学【解析】（Ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，∴，又∵，∴椭圆的方程为．法一：（Ⅱ）由题意，可设直线为：．取得，直线的方程是直线的方程是交点为若132\n法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．事实上，由，得即，记，则．的方程是的方程是消去得………①以下用分析法证明时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证……②∵∴②式恒成立．这说明，当变化时，点恒在定直线上．法三：由，得即．说明，当变化时，点恒在定直线上．xyOTMPQN(第17题图）15、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)132\n的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【试题出处】南京市2022年届高三第二次模拟考试数学试卷【解析】（1）由题意知b＝＝．……3分因为离心率e＝＝，所以＝＝．所以a＝2．所以椭圆C的方程为＋＝16分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①直线QN的方程为y＝x＋2②…8分证法一联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．………11分由＋＝1可得x02＝8－4y02．因为()2＋()2＝＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上……14分证法二设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝．…11分因为＋＝1，所以()2＋()2＝1．整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1．所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分16、已知椭圆，其焦点为F1，F2，离心率为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B。（1）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；（2）若线段AB上存在点P，满足|PF1|+|PF2|=2a，求a的取值范围。【试题出处】河南2022~2022学年度高三年级第一次模拟考试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，故a=c，……1分由A(2,0)，得a=2，∴c=,b=，………4分所以椭圆方程为.…5分132\n（Ⅱ）由e=，设椭圆方程为，联立得6y2－8y＋4－a2=0…7分若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜=2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2=0在y∈［0,1］有解.…9分设f(y)=6y2－8y＋4－a2,∴即∴,故a的取值范围是.……12分17、已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求、的标准方程；（Ⅱ）否存在直线l满足条件：①过的焦点F；②与交不同两点M·N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【试题出处】陕西省咸阳市2022届高三下学期高考模拟考试试题（二）数学文【解析】（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，），（4，4）在抛物线上，易求……2分设：，把点（2，0）,（，）代入得：，解得.∴方程为..……..….…….………5分（Ⅱ）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意.….…….….…….…………6分当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为.由消去并整理得132\n于是，.①…8分.即.②………9分由，即，得（*）.将①、②代入（*）式，得，解得，所以存在直线满足条件，且的方程为：或.…12分18、如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线所围成的两个顶点（Ⅰ）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，说明理由。【试题出处】徐州市2022-2022学年度高三第二次质量检测数学【解析】⑴易求,.……2分设,则.由,得,所以,即.故点在定圆上.…8分⑵设，,则.19、已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2),且抛物线y2=的焦点为F1.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.【试题出处】山东省济南市2022届高三3月（二模）月考数学（文）试题132\n【解析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为…1分则①…2分∵抛物线的焦点为F1∴②……3分又a2=b2+c2③由①、②、③得a2=12，b2=6………5分所以椭圆E的方程为………6分（Ⅱ）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，…7分代入椭圆E方程，得3x2-4mx+2m2-12=0.……8分由Δ=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2)，得m2＜18.……9分[记A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=10分圆P的圆心为，半径…当圆P与y轴相切时，，则2x1x2=，即，m2=9＜18，m=±3…12分当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1+x2=4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4；13分同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4……14分20、已知点在椭圆：上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，若圆与轴相交于两点，且是边长为的正三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率；(Ⅲ)过点作直线与椭圆:左半部分交于两点，又过椭圆的右焦点做平行于的直线交椭圆于两点，试判断满足的直线是否存在？请说明理由.【试题出处】山东省青岛2022届高三教学质量检测（文科）132\n解得:所求椭圆的方程为……4分（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为直线的方程为，则有[来设，由于、、三点共线，且根据题意得解得………6分又在椭圆上，故解综上，直线的斜率为…8分(Ⅲ)由（Ⅰ）得：椭圆的方程为…①，由于，设直线的方程为…②，则直线的方程为…③设联立①②消元得：所以所以132\n…10分设联立①③消元得：所以，，…13分由，化简得：，显然无解，所以满足的直线不存在.…14分[2022名校模拟题及其答案选择题1（2022·三明三校二月联考）已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为（C）A.6B.C.D.4＋22（2022苏北四市二调）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是．3、（2022·温州八校联考）F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线的离心率是（C）A．2B．C．3D．4．（2022·温州八校联考）点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的取值范围为______[2,6]。132\n5（2022·温州十校高三期末）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（D）（A）（1，）（B）（C）（D）6.（2022烟台一调）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(D)A.B.C.D.7（2022烟台一调）椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________________8（2022·泰安高三期末）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(D)A.5x2-y2=1B.C.D.5x2-y2=19．（2022北京朝阳区期末）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.10．（2022丰台区期末）过点且与圆相切的直线方程为11（2022北京西城区期末）双曲线的渐近线方程为；若双曲线132\n的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为.12(2022湖北八校一联)已知点的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为。13．（2022·湖北重点中学二联）已知定点，N是圆上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（B）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆14．（2022·湖北重点中学二联）设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线轴的交点为Q，则。15（2022·淮南一模）等腰中，斜边，一个椭圆以为其中一个焦点，另一焦点在线段上，且椭圆经过，两点，则该椭圆的离心率是。16.(2022·黄冈期末)已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是(A)A.6x－5y－28=0B.6x+5y－28=0C.5x+6y－28=0D.5x－6y－28=017(2022·黄冈期末)过双曲线(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为 _____18.(2022承德期末)椭圆的右焦点到直线的距离是（A）A．B．C．1D．132\n19.(2022承德期末)双曲线的一个焦点为，顶点为，，P是双曲线上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定（B）A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能20．（2022佛山一检）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为(B)A． B．C．D．20（2022福州期末）若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（A）A．B．5C．D．221．（2022哈尔滨期末）抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是（C）A．B．C．D．22．（2022哈尔滨期末）双曲线的离心率为2，则的最小值为（A）A．B．C．D．23．（2022哈尔滨期末）椭圆上有一点，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点有（C）A．个B．个C．个D．个24．（2022哈尔滨期末）已知是椭圆上一点，两焦点为，点是的内心，连接并延长交于，则的值为（A）132\nA．B．C．D．25．（2022哈尔滨期末）是抛物线的一条焦点弦，若，则的中点到直线的距离为26、(2022·锦州期末)设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且和轴交于点A,若△（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为(B)（A）（B）（C）（D）27、(2022·锦州期末)已知直线相交于A，B两点，且则=.28、(2022·锦州期末)双曲线=1（b∈N）的两个焦点、，为双曲线上一点，成等比数列，则=____1_____29．（2022·金华十二校一联）若，则方程表示的曲线只可能是（C）ABCD30．（2022·金华十二校一联）设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为．132\n31．(2022·南昌期末)设圆的圆心在双曲线的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于2，则(C)A．B．C．D．55．（2022·九江七校二月联考）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则与的面积之比=（D）A．B．C．D．解答题1．（2022北京朝阳区期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切.过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.（Ⅰ）求椭圆的方程；xOyQA··F2F1（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.解：（Ⅰ）因为，所以为中点.设的坐标为，因为，所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为.……2分因为该圆与直线相切，所以.解得，所以，.故所求椭圆方程为.……4分132\n（Ⅱ）设的方程为（），由得.设，，则.……5分所以.=，.由于菱形对角线互相垂直，则.…6分所以.故.因为，所以.所以即.所以解得.即.因为，所以.故存在满足题意的点且的取值范围是.………8分（Ⅲ）①当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得.由，得.……9分设，，则，.又，所以.所以.……10分所以，.所以.所以.整理得11分因为，所以.132\n即.所以.解得.又，所以.………13分②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，，，所以.所以，即所求的取值范围是.……14分2.（2022北京丰台区期末）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，因为直线过点，可设直线：．因为两点在圆上，所以，因为，所以所以所以到直线的距离等于．所以，得，所以直线的方程为或．（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，设，，所以，．所以即 （*）；因为 ，两点在圆上，所以把（*）代入，得，132\n所以所以直线的斜率，即．3（2022北京西城区期末）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点.若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.，……6分依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以，…7分因为，，所以.…8分即，…9分将其整理为.10分132\n因为，所以，.11分所以，即.4（（2022巢湖一检）已知直线，椭圆E：．（Ⅰ）若不论k取何值，直线与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式；（Ⅱ）当时，直线与椭圆E相交于A、B两点，与y轴交于点M，若,求椭圆E方程．设，，则①，②.∵M(0，1)，∴由得③.由①③得④.将③④代入②得，，解得(不合题意，舍去).∴椭圆E的方程为.5(2022承德期末)椭圆的方程为，斜率为1的直线与椭圆交于两点.Ⅰ）若椭圆的离心率，直线过点，且，求椭圆的方程；（Ⅱ）直线过椭圆的右焦点F，设向量，若点在椭圆上，求的取值范围.132\n解：（Ⅰ）∵，∴.∴.∵∴.∴椭圆的方程为.……5分（Ⅱ）得，.=（，）,.∵点在椭圆上，将点坐标代入椭圆方程中得.∵,∴,.……………12分6．（2022佛山一检）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即，又，即，，解得，，所以椭圆方程为．132\n（Ⅱ）设，，，则，即，则，，即，∴为定值．（Ⅲ）设，其中．由已知及点在椭圆上可得，整理得，其中．①当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；②当时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．7．（2022福州期末）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=1（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，132\n∴，是方程的两个根，∴．12分（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程是．将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．8分∴，．又∵，则．∴，同理，由，∴10分∴．12分8（2022广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。【解析】（1）又由点M在上，得故，从而…2分所以椭圆方程为或4分132\n（2）以OM为直径的圆的方程为即其圆心为,半径……6分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离…8分所以，解得所求圆的方程为…10分所以线段ON的长为定值。……14分方法二、设，则………12分又所以，为定值…14分9（2022哈尔滨期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．132\n解：（1）椭圆的标准方程为（2）设，得:，以为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，且均满足，当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为10．(2022湖北八校一联)已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（I）求k的取值范围，并求的最小值；（II）记直线是定值吗？证明你的结论。132\n解：（Ⅰ）与圆相切,…………①由,得,,,故的取值范围为.由于，当时，取最小值.6分（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，，，由①，得，为定值.12分132\n11．（2022·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为（I）判断直线与椭圆E交点的个数；（II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。分设关于直线的对称点的坐标为则解得……8分直线的斜率为从而直线的方程为即从而直线恒过定点…………12分12.(2022·惠州三调)（本题满分14分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．⑴求、的值；⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求132\n的取值范围．解：⑴依题意，：……1分，不妨设设、（）由得，……3分，所以……5分，解得，……6分．⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为……14分．………………14分13、(2022·锦州期末)（本小题12分）如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.【解】（Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.……………5分∴曲线E的方程为………6分（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为132\n得设……………8分，………10分又当直线GH斜率不存在，方程为…14．（2022·金华十二校一联）（本题满分15分）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点．（I）求椭圆的方程；（II）证明为定值（为坐标原点）．解：（I）由题意，，解三角形得，由椭圆定义得，从而又，则，所以椭圆的方程为（6分）（II）设交点，联立消去得132\n由韦达定理得（9分）又直线与圆15．（2022·九江七校二月联考）（本小题满分13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.由已知条件，得，∴解得.所以椭圆的方程为：.……分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，，由消去并整理得，∴.…分∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线、的交点的坐标为，即，132\n∴∴.（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，，16.(2022·南昌期末)（本小题满分13分）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且.(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求椭圆的方程.解：（1）令，得，所以点P的坐标为，……2分由得到：，…4分所以，即离心率………5分（2）设直线的方程为：，与椭圆方程132\n联立得到：即：…6分得到：，所以：……12分所以所求椭圆方程为：……13分17、（2022·三明三校二月联考）（本题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且（I）求椭圆C1的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。解：（I）设由抛物线定义，…………3分，M点C1上，舍去.椭圆C1的方程为…………6分（II）为菱形，，设直线AC的方程为在椭圆C1上，132\n设，则…………10分的中点坐标为，由ABCD为菱形可知，点在直线BD：上，∴直线AC的方程为…………14分18.（2022·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(k≠0，m＞0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0①又x0=又点［-1，0）不在椭圆OE上，依题意有整理得3km=4k2+1②…由①②可得k2＞，∵m＞0,∴k＞0,∴k＞…分）设O到直线l的距离为d，则132\nS△OPQ==…分）当的面积取最大值1，此时k=∴直线方程为y=OMNF2F1yx（第18题）19.（2022苏北四市二调）（本小题满分16分）如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．解：（1），且过点，解得椭圆方程为。132\nOFxy··P第22题令，得，.圆过定点.…20（2022苏北四市二调）（本小题满分10分）已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.【一年原创】一、选择题：1．已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（C）.A.B.6C.D.122.已知双曲线的一条准线方程为，则该双曲线的离心率为（D）A．B．C．D．3．抛物线y=2x2的焦点坐标为（D）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为,点位于该双曲线上，线段的中点坐标为，则双曲线的方程为132\nA．B．C．D．5．抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则的值是A.B.C.D..【解析】的右准线为，所以抛物线的开口向左，6．已知双曲线(a>0,b>0).它的两条渐近线截直线•所得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（C）A.B.C.2D37.已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则为 （A ）Ａ．锐角 Ｂ．直角 Ｃ．钝角 Ｄ．都有可能8.设F是抛物线的焦点，与抛物线相切于点(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则等于（D）A.300;B.450;C.600;D.900.9、椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为（C）A.20B.22C.24D.2810、设e1.e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P132\n为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为(C)A.B.1C.2D.4二、填空题：11.以椭圆的右焦点为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为【解析】椭圆的右焦点为，所求圆的半径为，所以.12．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的值等于2；13双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为．【答案】13【解析】由得设左焦点为，右焦点为,则，由双曲线的定义得：.14．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|＋|PF1|的最大值为.15解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝.15.已知函数的图象恒过定点A.若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，当有最小值时，椭圆的离心率为.【答案】132\n【解析】由题意知：定点A（-2，-1），所以，所以=，当且仅当时取等号，所以椭圆的方程变为，所以椭圆的离心率为=。三、解答题：16．（本小题满分13分）已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围．解（1）∵过（0，0）则∴∠OCA=90°，即又∵[来将C点坐标代入得解得c2=8，b2=4∴椭圆m：（2）由条件D（0，－2）∵M（0，t）1°当k=0时，显然－2<t<26分2°当k≠0时，设消y得由△>0可得①设则，∴由∴132\n②[来∴t>1将①代入②得1<t<4∴t的范围是（1，4）综上t∈（－2，4）17.(本小题满分12分)已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.所以（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数.当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得132\n则①又②18.(本小题满分12分)已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由，，得，，所以椭圆方程是：（2）设EF：（）代入，得，设，，由，得．由，得，，（舍去），（没舍去扣1分）132\n直线的方程为：即（3）将代入，得（*）记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．19已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得，所以，故，所以椭圆的方程为．（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即，又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是，令，可得或2，故圆必过定点和．（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）20在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。ABQOMNxy9（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线132\n写出一个更一般的结论，并加以证明。（1）依题意，椭圆过点，故，解得。椭圆的方程为。（2）设，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，，故点的坐标为。同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，。可得点的坐标为。①若时，直线的方程为，与轴交于点；②若，直线的方程为，令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分）证明：设，则，POMNxy直线的方程为，代入，得，可求得。…（16分）直线的方程为，令，得，即直线必过定点。21(本小题满分13分)如图，已知过的动直线与抛物线交于，两点，点．（I）证明：直线与直线的斜率乘积恒为定值；（II）以为底边的等腰三角形有几个？请说明理由．解：（I）设直线的方程为132\n由得设，则（II）的中点坐标为，即，【考点预测】2022高考预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；132\n4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。3．重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.②用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。③掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。④对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。⑤参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。⑥转化思想解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视.【母题特供】每个专题5道最典型试题母题一：金题引路：已知是椭圆E:上的一点，是椭圆右焦点，且轴，.（Ⅰ）求椭圆Ｅ的方程.（Ⅱ）设和是长轴的两个端点，直线垂直于的延长线于点Ｄ，,Ｐ是上异于点Ｄ的任意一点，直线Ｐ交椭圆E于M（不同于、），设，求的取值范围132\n(Ⅰ)解：依题意半焦距左焦点为母题二：金题引路：设、分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，为坐标原点.（1）求的取值范围;（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且∠为锐角，求直线的斜率的取值范围.解：(1）易知所以，设，则，故-21--6分（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，则消去，整理得：由得：或---①----9分又∵又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0∴-------11分∴，即∴---②----13分故由①、②得或------15132\n母题三：金题引路：（本小题满分12分）如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线于点N，已知为定值.解：（1）方法一：如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则，.…2分设动点的坐标为，则动点的坐标为，，由·，得.方法二：由.所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：.（2）方法一：如图，设直线的方程为，，则.联立方程组消去得，，，故由，得，，，整理得，，·.方法二：由已知，，得.于是，，①分如图，过、两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，则有==，②由①、②得.132\n母题四：金题引路：如图，已知椭圆：过点F（4，0）作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。（1）线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；（2）求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。解：（1）设直线AB的方程为：并整理得：设，（2）以弦AB为直径的圆M的方程为：①又将t换成，即得以弦CD为直径的圆N的方程为：②……10分①—②得两圆公共弦所在直线方程为：③又直线MN的方程为：④…12分联解③④，消去，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：。其轨迹是过定点的圆。……14分母题五：金题引路：.如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.（1）当132\n时，求椭圆的方程；（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值．…即，得代入抛物线方程得，即,，因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以…………此时抛物线方程为，，直线方程为：.联立，得，即，所以，代入抛物线方程得，即132
