2022版高考数学3-2-1精品系列专题08圆锥曲线理（教师版1）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读近几年考点分布圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2022年高考对本讲的考察，仍将以以下题型为主.1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。【考点pk】名师考点透析考点一：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.1.椭圆的方程以及性质标准方程简图中心坐标顶点坐标焦点坐标对称轴方程准线方程范围+=1(a>b>0)O(0,0)A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)F1(-c,0)F2(c,0)x=0y=0x=±|x|≤a|y|≤b\n+=1(a>b>0)O(0,0)A1(0,-a)A2(0,a)B1(-b,0)B2(b,0)F1(0,-c)F2(0,c)x=0y=0y=±|y|≤a|x|≤b2.双曲线的标准方程与几何性质3抛物线的方程以及性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴y=0对称轴x=0对称轴x=0焦点F(,0)F(-,0)F(0,)F(0,-)准线x=-x=y=-y=离心率e=1e=1e=1e=1M(x0,y0)焦半径|MF|=x0+|MF|=-x0+|MF|=y0+|MF|=-y0+例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.\n解析：设所求椭圆方程为或.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.\n于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.考点3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0<e<1)的动点M的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率.2、.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|).M为动点，F1、F2为定点，a为常数.第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即=e(e>1).F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.3、1.抛物线的定义平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手..因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为\n【名师点睛】：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.考点4：直线与圆锥曲线位置关系问题1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：\n【名师点睛】：在以直线与双曲线的知识为背景前提下，结合相应的平面几何知识点到直线距离、两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积，交点坐标问题。深刻体会代数法来解决解析几何的思想实质。考点5：轨迹问题求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例5.设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点.四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．解：以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设N的坐标为，则切线DC的方程为：，【名师点睛】：对于解析几何问题，首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算。同时要注意圆的参数方程的运用，对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺。考点6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.\n例6：已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t(t≠0且t≠－1).（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．解：(１)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设=r1，=r2，则r1+r2=2a=－4t,在△F1PF2中，=2c=4.∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r－2r1r2=r+r+r1r2=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是【名师点睛】：本试题先直接发球轨迹方程，然后运用一问的结论进一步研究第二问，充分利用圆锥曲线的定义和余弦定理，结合不等式的思想来得到不等式关系，从而得到相关的结论。主要是体会焦点三角形的运用。【名师点睛】：设椭圆上动点坐标为(x,y\n)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.考点7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1解法二由e=,从而a2=2b2,c=b设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一【名师点睛】：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题\n1.（2022年高考（新课标理））等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为（ ）A．B．C．D．2.（2022年高考（新课标理））设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】选是底角为的等腰三角形3.（2022年高考（浙江理））如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图:|OB|=b,|OF1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得:Q(,);由,得:P(,).∴直线MN为:y-=﹣(x-),令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,解之得:,即\ne=.4．（2022年高考（四川理））已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则（ ）A．B．C．D．[点评]本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).5.（2022年高考（上海春））已知椭圆则[答]（ ）A．与顶点相同.B．与长轴长相同.C．与短轴长相同.D．与焦距相等.【答案】D6.（2022年高考（山东理））已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为,所以,,,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,,\n,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.7．（2022年高考（湖南理））已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为（ ）A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.8.（2022年高考（福建理））已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．3D．5【答案】A【解析】抛物线的焦点为双曲线中，双曲线渐近线方程为所以焦点到渐近线的距离【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想.\n9.（2022年高考（大纲理））已知为双曲线的左右焦点,点在上,,则（ ）A．B．C．D．10.（2022年高考（大纲理））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程.【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C11.（2022年高考（安徽理））过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设及;则点到准线的距离为得:又\n的面积为二、填空题12.（2022年高考（天津理））己知抛物线的参数方程为(为参数),其中,焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,点的横坐标是3,则_______.13.（2022年高考（重庆理））过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则=_____________________.【答案】【解析】设,则有,又,所以.【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题.14.（2022年高考（四川理））椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________.[答案][解析]根据椭圆定义知:4a=12,得a=3,又\n[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.15.（2022年高考（上海春））抛物线的焦点坐标为_______.[答案]16.（2022年高考（陕西理））xy右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽____米.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时,,所以水面宽米.17.（2022年高考（辽宁理））已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________.【答案】4【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题.曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键.18.（2022年高考（江西理））椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关\n的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.A1 A2yB2B1AOBCDF1 F2 x19.（2022年高考（江苏））在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为____.【答案】2.【考点】双曲线的性质.【解析】由得.∴,即,解得.20.（2022年高考（湖北理））如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,.若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为.则(Ⅰ)双曲线的离心率________;(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值________.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算.解析:(Ⅰ)由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出(Ⅱ)设,很显然知道,因此.在中求得故;菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出.21.（2022年高考（北京理））在直角坐标系中,直线过抛物线的焦点F,且与该抛物线相较于A、B两点,其中点A在轴上方,若直线的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.\n【答案】【解析】由,可求得焦点坐标为,因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线的方程为,将直线和曲线方程联立三、解答题22.（2022年高考（天津理））设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;(Ⅱ)若,证明直线的斜率满足.【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.，方法二:依题意,直线的方程为,可设点,由点在椭圆上,有,因为,所以即③\n由,得整理得,于是,代入③得.23．（2022年高考（新课标理））设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.得:,直线切点直线坐标原点到距离的比值为.24.（2022年高考（浙江理））如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP\n平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程.【解析】(Ⅰ)由题:;(1)左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:.(2)由(1)(2)可解圆:.显然.∴﹣<m<且m≠0.由上又有:=m,=.∴|AB|=||==.∵点P(2,1)到直线l的距离为:.∴SABP=d|AB|=,其中﹣<m<且m≠0.利用导数解:令,则当m=时,有(SABP)max.此时直线l的方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).25．（2022年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△是面积为4的直角三角形.\n(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程【考点定位】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线与圆锥曲线的综合问题.故由题设条件,得,从而.因此所求椭圆的标准方程为:(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,设,则是上面方程的两根,因此,又,所以由,得,即,解得,所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:和\n26．（2022年高考（四川理））如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)(II)由方程消去y,可得.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设所以解得,m>1,且m2设Q、R的坐标分别为,由有[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、\n运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.27．（2022年高考（上海理））在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(3)设椭圆.若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,即由,得.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则.又,所以,故OP⊥OQ(3)当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.由,得,所以.同理设O到直线MN的距离为d,因为,所以,即d=.综上,O到直线MN的距离是定值28.（2022年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知双曲线(1)求与双曲线有相同的焦点,且过点\n的双曲线的标准方程;(2)直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时,求实数的值.解(1)双曲线的焦点坐标为,设双曲线的标准方程为,则,所以双曲线的标准方程为29．（2022年高考（陕西理））已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.解析:(1)由已知可设椭圆的方程为其离心率为,故,则故椭圆的方程为(2)解法一两点的坐标分别记为由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,因此可以设直线的方程为将\n代入中,得,所以将代入中,则,所以由,得,即解得,故直线的方程为或即解得,故直线的方程为或.30.（2022年高考（山东理））在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得\n,于是抛物线C的方程为.(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而,,,,,由可得,,则,即,而,解得,点M的坐标为.(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M,.由可得,.设,圆,,于是,令,设,,当时,,\n即当时.故当时,31.（2022年高考（辽宁理））如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,.点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点.(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆与相交于四点,其中,.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值.命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设，又知，则直线的方程为①直线的方程为②由①②得③由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得……6分（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值…12分【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.在求解点的轨迹方程时,要注意首先写出直线和直线的方程,然后求解.属于中档题,难度适中.32.（2022年高考（江西理））已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足\n.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.【解析】(1)依题意可得,,由已知得,化简得曲线C的方程:(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为,由于,因此①当时,,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意②当时,,所以l与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组,解得D,E的横坐标分别是则,又,有,又于是\n对任意,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足,解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想.高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.ABPOxy（第19题）33．（2022年高考（江苏））如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.(i)若,求直线的斜率;(ii)求证:是定值.【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得,∴.由点在椭圆上,得∴椭圆的方程为.(2)由(1)得,,又∵∥,∴设、的方程分别为,.\n∴.∴.①同理,.②知,,∴.同理..∴由①②得,,,∴.∴是定值.【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式.【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解.(2)根据已知条件,用待定系数法求解.34．（2022年高考（湖南理））在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2\n上点的距离的最小值.(Ⅰ)求曲线C1的方程;(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.【解析】(Ⅰ)解法1:设M的坐标为,由已知得,易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以.化简得曲线的方程为.设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故②由得③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以④同理可得⑤于是由②,④,⑤三式得\n.所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.35．（2022年高考（湖北理））设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点.是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求.解析:(Ⅰ)如图1,设,,则由,可得,,所以,.①因为点在单位圆上运动,所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.\n依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,.而等价于,即,又,得,图2图3图1ODxyAM故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.解法2:如图2、3,,设,,则,,因为,两点在椭圆上,所以两式相减可得.③依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故.于是由③式可得.④又,,三点共线,所以,即.于是由④式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有36．（2022年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:\n与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)因为,所以,于是.设椭圆上任一点,则().当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去.当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是.(Ⅱ)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.点评:此题与2022年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.(2022年南海区高三8月摸底考试)已知椭圆的两焦点为、,并且经过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知圆:,直线:,证明:当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.\n37.（2022年高考（福建理））如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且的周长为8.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相较于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.(2)由,,由设存在,则由可得,由于对任意恒成立,所以联立解得.故存在定点,符合题意.38.（2022年高考（大纲理））已知抛物线与圆有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线.(1)求;(2)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离.\n【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离.解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心圆心为,的斜率由知,即,解得,故所以求解可得抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为①②③②-③得,将代入②得,故所以到直线的距离为.法二:(Ⅰ)设对于抛物线的切线方程为①;对于圆的切线方程为②.因为①②是共点公切线,(斜率相等),结合.解之得.\n代入②得.(Ⅱ)数形结合知,抛物线与圆应有三条公切线(如图).由(Ⅰ)知,公切线方程为:.今设另两公切线与抛物线切于点,则切线方程为.又直线与相切应有,整理得39．（2022年高考（北京理））已知曲线C:(1)若曲线C是焦点在轴的椭圆,求的范围;(2)设,曲线C与轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线与曲线C交于不同的两点M,N,直线与直线BM交于点G求证:A,G,N三点共线.【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具有一般性,相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.解:(1)原曲线方程可化简得:,由题意可得:,解得:(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,,解得:由韦达定理得:①,,②设,,\n方程为:,则,,,欲证三点共线,只需证,共线即成立,化简得:将①②代入易知等式成立,则三点共线得证.40．（2022年高考（安徽理））如图,分别是椭圆的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点;(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;(II)证明:直线与椭圆只有一个交点.【解析】(I)点代入得:①又②③由①②③得:既椭圆的方程为(II)设;则得:过点与椭圆相切的直线斜率得:直线与椭圆只有一个交点.\n11年高考试题及解析1、（陕西文理2）.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（A）（B）(C)(D)【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C2、（湖南文6、理5）．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4B．3C．2D．1解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。答案：C3、（安徽理2）双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)44、（湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为A.4B.3C.2D.1解析：由双曲线的方程可知其渐近线为，对比可知。故选C评析：本小题主要考查双曲线的方程及其渐近线方程与性质.5、（福建文理7）.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：=4:3:2，则曲线I’的离心率等于A.B.C.D.【解析】由：：=4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.6、（辽宁文理3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，\n，则线段AB的中点到y轴的距离为（）（A）（B）1（C）（D）解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+=m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。答案：C7、（课标卷理7）.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）（B）（C）2（D）38、（四川理10）.在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为，的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（）（A）(-2,-9)（B）(0,-5)(C)(2,-9)（D）(1,6)答案：A解析：横坐标为x1=-4,x2=2的两点坐标分别是，，经过这两点的直线的斜率为，设直线方程为，则①.因为直线和圆相切，所以②.因为直线和抛物线相切，由得，所以③，由①③得，\n把代入②，得，即，故抛物线方程为，顶点坐标为.9、（山东理8）.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)10、（全国理10）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】：，准线方程为，由则，由抛物线的定义得由余弦定理得故选D11、（浙江理8）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则[Com]（A）（B）（C）(D)\n【解析】：由恰好将线段AB三等分得由又，故选C12、（湖北理4）．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.B.C.D.13、（江西理9）．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．(，)B．(，0)∪(0，)c．[，]D．(，)∪(，+)【解析】因为直线y=0与曲线有两个不同的交点,要使曲线和曲线有四个不同的交点,只须直线与曲线：有两个不同的交点即可,而曲线是一个圆,所以圆心(1,0)到直线的距离为,解得且,故选B.\n二、填空题1、（辽宁理13）已知点（2,3）在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为答案：2解析：由题意得，，，，解得a=1，故离心率为2.2、（课标卷理14）.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为。3（四川理14）.双曲线P到左准线的距离是.解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.4、（全国理15）已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.【解析】：，由角平分线的性质得又5、（浙江理17）设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若\n，则点的坐标是.【解析】：设，则由得，则由椭圆第二定义得于是即①；由得即②联立①②解得则故点的坐标是6、（江西理14）.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是三、解答题1、（陕西理17）、（本小题满分12分）如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且（Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为，的坐标为\n由已知得在圆上，即C的方程为（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为2、（江苏18）、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（Ⅰ）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（Ⅱ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PBNMPAxyBC解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。（Ⅰ）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以（Ⅱ）由得，，AC方程：即：\n所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，,,3、（四川理21）.(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值.解析：本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，，所以，则椭圆方程为．直线垂直于x轴时与题意不符．设直线\n的方程为，联立得，设，，则，，，．由已知得，解得，所以直线的方程为或．……6分（Ⅱ）直线垂直于x轴时与题意不符．设直线的方程为（且），所以P点的坐标为．设，，由（Ⅰ）知，，直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，方法一：联立方程设，解得因此Q点的坐标为，又，∴．故为定值．………12分\n方法二：联立方程消去y得，因为，所以与异号．又∴与异号，与同号，∴，解得．因此Q点的坐标为，又，∴．故为定值．…12分4、（广东理19）.设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（Ⅰ）求C的圆心轨迹L的方程.（Ⅱ）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.设双曲线的方程为\n5、（山东理22）.（本小题满分14分）已知动直线与椭圆C:交于，两不同点，且的面积=,其中为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.由得，则，整理得：，\n即，解得：，满足（*），则有，所以，又，所以，所以即，整理得：，解得：，所以：；所以：；综上：；（Ⅱ）有（Ⅰ）得：当直线斜率不存在时，易求，当直线斜率存在时，由（Ⅰ）知，；\n所以由得：，；由得：，；由得：，；联立上式解得：，；可知点均在取到，而任意三点的两两连线均过原点，则构不成三角形。所以椭圆上是不存在点，使得。6、（全国理21）(本小题满分12分)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】(Ⅰ)证明：由，，\n由设，，故点P在C上（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，则的中垂线与的中垂线的交点为∴\n到直线的距离为∴即∴、、、四点在同一圆上。7、（浙江理21）.（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为程的两个不相等的根，将代入①得由于是方程的根故，所以，，由得\n解得点的坐标为直线的方程为8、（课标卷理20）.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意：，由此可得，即曲线C的方程为：(Ⅱ)设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，，，所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。9、（湖南理21）.（本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.\n求，的方程；设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交于点，.(ⅰ)证明：;(ⅱ)记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由.又点，所以故即（ⅱ）设直线的斜率为，则直线的方程为，由，解得或则点又直线的斜率为，同理可得点于是\n由，得，解得或又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.10、（湖北理20）（本小题满分13分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.解析：（1）设动点为M，其坐标（x,y）.当时，由条件可得\n即又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.（2）由（1）知，当时，C1的方程为；存在点N,使当即，或时，不存在满足条件的点N.当时，由，可得令则由可得，从而于是由可得，即综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得，且当时，在C1上，存在点N，使得，且；\n当时，在C1上，不存在满足条件的点N.11、（福建理17）.（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想，满分13分。由得，（1）当=1，即=0时，直线与抛物线C相切；（2）当，即时，直线与抛物线C不相切；综上，当=1，直线与抛物线C相切；当，直线与抛物线C不相切；法二：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为，依题意，所求圆与直线相切于点，则，解得所以所求圆的方程为（II）同解法一。12、（辽宁理20）.(本小题满分12分)（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由\n解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设，解得。因为，又，所以，解得。所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。13、（北京理19）已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。【解析】：：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆的焦点坐标为，离心率为（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则\n又由l与圆14、（天津理18）.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.（Ⅰ）解:设,,由题意,可得,即,整理得,得(舍)或,所以.（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为.直线方程为,A,B两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得,得方程组的解,,不妨设,\n,代入,得,所以,因此,点的轨迹方程是.15、（安徽理21）.（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，，，则，即①再设,由，即，解得②将①代入②式，消去得③\n16、（江西理20）.（本小题满分13分）是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM,PN的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值.解：（1）点在双曲线上，有由题意又有可得（2）联立设则……（1）设又C为双曲线上一点，即有化简得：…………（2）又在双曲线上，所以\n由（1）式又有得：17、（重庆理20）.（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。解析：（Ⅰ）由解得故椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，,则由得该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为2022高考试题及解析\n一、选择题:1．（2022年高考全国卷I理科9）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，∠p=，则P到x轴的距离为(A)(B)(C)(D)1.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.2．（2022年高考福建卷理科2）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。3．（2022年高考福建卷理科7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得\n，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。4．（2022年高考安徽卷理科5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、5.C【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.5.(2022年高考天津卷理科5)已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以F（-6，0）是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为，故选B。\n6．（2022年高考四川卷理科9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴Þ又e∈(0,1)故e∈答案：D7.(2022年全国高考宁夏卷12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为(A)(B)(C)(D)【答案】B解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．8．（2022年高考陕西卷理科8）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为【】【答案】C\n【解析】由题设知，直线与圆相切，从而.故选.9．（2022年高考浙江卷8）设,分别为双曲线的左，右焦点。若在双曲线右支上存在点，满足=,且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为(A)（B）(C)(D)【答案】C10．（2022年高考辽宁卷理科7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=(A)(B)8(C)(D)16【答案】B11．（2022年高考辽宁卷理科9）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)【答案】D\n12．(2022年全国2理12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A）1（B）（C）（D）213．（2022年上海市春季高考17)答案：B解析：由即，，则\n。故“”推不出“直线与抛物线有两个不同的交点”，但“直线与抛物线有两个不同的交点”则必有“”。故选B.二、填空题：1．（2022年全国I理16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.2.(2022年湖南理科14)【解析】抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为，设A（），由题意可知由，消去y得，\n由韦达定理得，所以梯形ABCD的面积为：所以【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题3．（2022年江苏6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______【答案】4[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。4．（2022年北京理13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。【答案】;解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为5．（2022年江西理15）点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则.【答案】26．（2022年浙江13）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________.【答案】7．(2022年全国2理15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．\n【答案】2【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过B作BE垂直于准线于E，∵，∴M为中点，∴，又斜率为，，∴，∴，∴M为抛物线的焦点，∴2.8．（2022年上海理3）动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为。【答案】【解析】由题意知,的轨迹是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,所以,得出抛物线方程为,即为所求.9．（2022年上海理13）如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是【答案】4ab=110.(2022年重庆理14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为____________．【答案】解析：设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m,直线AB方程为与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为。\n11．（2022年上海春5)若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个12．（2022年上海春7)已知双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是。解析：设双曲线的方程为，将点代入可得。故答案为。三、解答题：1．（2022年山东理）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。\n（Ⅱ）设点P（，），则=，=，所以=，又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以=1。（Ⅲ）假设存在常数，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，由方程组消y得：，使得恒成立。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。2．（2022年福建理17）（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。\n【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（-2，0）从而有解得又所以故椭圆C的方程为。（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，由于，所以符合题意的直线不存在。3.(2022年天津理20)(本小题满分12分)已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。(Ⅰ)求椭圆的方程：(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【解析】（1）解：由，得，再由，得由题意可知，解方程组得a=2,b=1所以椭圆的方程为\n(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得整理得综上。4.(2022年湖北理19）(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有连个交点A,B的任一直线，都有?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）设是曲线C上任意一点，那么点满足：（）化简得（）（Ⅱ）设过点（）的直线与曲线C上交点为\n由①式，不等式②等价于④对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于，即由此可知，存在正数m，对于过点且与曲线C有两个焦点A、B的任一直线，都有且m的取值范围是。冰O化区域融已川B(4,0)P3(8,6)图6A(-4,0)xyx=25.(2022年湖南理19)（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为.当≥2时，由题意知当，因而其方程为故考察区域边界曲线（如图）的方程为\n（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为\n【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。6.（2022年安徽理19）（本小题满分13分）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知，，所以直线的方程为：，即.直线的方程为：.由点在椭圆上的位置知，直线的斜率为正数.设为上任一点，则.若，得(因其斜率为负，舍去).于是，由，得.解法2：∵，，，∴，.∴，∴，∴：，即.\n两式相减，得，即.将该式写为，并将直线的斜率和线段的中点表示式代入该表达式中，得，即②①×2-②得，，即的中点为点，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点和.解法2：假设存在，两点关于直线对称，则，∴.设直线的方程为，将其代入椭圆方程，得一元二次方程，即.则与是该方程的两个根.由韦达定理得，于是，∴的中点坐标为.又线段的中点在直线上，∴，得.即的中点坐标为，与点重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.\n7．（2022年广东理20）（本小题满分为14分）一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且,求h的值。即直线与交点的轨迹的方程为.（2）解法1：设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，，即。同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而[来，又，。解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得，即由得，即，，8.（2022年全国I理21）(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为F，过点\n的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.从而直线的方程为，即令所以点在直线上（Ⅱ）由①知，，因为，故，解得所以的方程为又由①知故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.由得，或（舍去），故圆M的半径.所以圆M的方程为.9．（2022年四川理20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.\n＋4]＝k2(＋4)＝因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝(x＋1)因此M点的坐标为(),同理可得因此＝＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，同理可得因此＝0综上＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………12分10．（2022年高考江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；\n（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得\n，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率11.(2022年宁夏20）（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。\n12．（2022年陕西理20）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。即m2=k2+1.∵，13．(2022年北京理19)（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。解（I）因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为（II）法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.\n于是得面积故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.14．（2022年江西理21）（本小题满分12分）设椭圆：，抛物线：.(1)若经过的两个焦点，求的离心率；(2)设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得：，由\n得椭圆的离心率．（2）由题设可知关于轴对称，设，则由的垂心为，有，所以①由于点在上，故有②②式代入①式并化简得：，解得或（舍去），所以，故，所以的重心为，因为重心在上得：，所以，，又因为在上，所以，得．所以椭圆的方程为：，抛物线的方程为：．15．（2022年辽宁理20）（本小题满分12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=，求椭圆C的方程.解：设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线l的方程为，其中.联立得\n16．（2022年浙江理21）（本小题满分15分）已知m>1,直线l:x-my-2=0,椭圆C：（）2+y2=4，F1,,F2分别为椭圆C的左右焦点。（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交与A,B两点，AF1F2,BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的的圆内，求实数m的取值范围。本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（Ⅱ）解：设。由，消去得则由，知，且有。由于故为的中点，由，可知\n17．(2022年全国2理21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.（Ⅰ）第一问，还可以用点差法来解，也有用参数方程解的考生。（Ⅱ）由（1）、（2）知，C的方程为：\n连接ＭＡ，则由Ａ（１，０），Ｍ（１，３）知，从而ＭＡ＝ＭＢ＝ＭＤ，且ＭＡ轴，因此，以Ｍ为圆心，ＭＡ为半径的圆经过Ａ、Ｂ、Ｄ三点，且在点Ａ处与ｘ轴相切。所以过Ａ、Ｂ、Ｄ三点的圆与ｘ轴相切。第二问解题过程中有用焦半径公式的、有用弦长公式的、还有用第二定义的。Ol1yGMNExl2题(20)图【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.18.(2022年重庆理20)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积．【解析】（Ⅰ）设C的标准方程为则由题意得因此，C的标准方程为，C的渐近线方程为即和（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点E（）在直线：和：上，因此有，故点M、N均在直线\n上，因此直线MN的方程为，设C、H分别是直线MN与渐近线及的交点，解法二设E（），由方程组解得，因为则直线MN的斜率，故直线MN的方程为注意到，因此直线MN的方程为，下同解法一【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案选择题【哈尔滨市六中2022学年度上学期期末】椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为（）A．B．C．D．\n【答案】A【江西省赣州市2022届上学期高三期末】已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为A.B.C.D.【答案】A【河南省郑州市2022届高三第一次质量预测】已知点F、A分别为双曲线的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】D【株洲市2022届高三质量统一检测】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满=4:3:2，则曲线C的离心率等于（ ）A．B．或2C．2D．【答案】A【安师大附中2022届高三第五次模拟】设F1、F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，c＝，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【山东聊城市五校2022届高三上学期期末联考】已知P是以F1、F2为焦点的椭圆则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【2022大庆铁人中学第一学期高三期末】已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若.则\nA.B.C.D.【答案】D【湖北省武昌区2022届高三年级元月调研】已知双曲线（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1,2）B．（1,2]C．[2,+∞）D．（2,+）【答案】A【江西省赣州市2022届上学期高三期末】若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率是.【答案】【2022大庆铁人中学第一学期高三期末】双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是。【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【浙江省名校新高考研究联盟2022届第一次联考】是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为()A．1B．2C．3D．4【答案】C1、已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若\n三角形的面积为，求直线的方程．分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入消去得：.----6分设，则-7分所以.--9分原点到直线的距离，所以三角形的面积.由--12分所以直线或.-----13分2、已知直线经过椭圆：（）的一个顶点和一个焦点．⑴求椭圆的离心率；⑵设是椭圆上动点，求的取值范围，并求取最小值时点的坐标．【试题出处】广东省江门市2022年普通高中高三第一次模拟测试数学（理科）【解析】⑴依题意，，所以，…2分，…3分，所以椭圆的离心率……4分．⑵，当且仅当时，……5分，当且仅当是直线与椭圆的交点时，……6分，，所以\n的取值范围是…7分。设，由得……9分，由…10分，解得或……11分，所求点为和…12分．3、已知的两个顶点的坐标分别为和，顶点为动点，如果的周长为6.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线，与轨迹交于点，若直线与圆相切，求线段的长.，即得，解得或。所以点的坐标为或------12分所以即线段的长为------------13分4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．【试题出处】2022年北京市房山区高三一模理科数学\n【解析】（I）依题意可设椭圆方程为，则离心率为当时(不满足题目条件)∵，则，即②…9分把②代入①得，解得，10分由②得，解得．故…11分）当时∵直线是平行于轴的一条直线，∴……13分综上，求得的取值范围是…14分5、已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【试题出处】2022年洛阳市示范高中联考高三理科数学试卷【解析】（1）…………4分（2）i）若n=0，ii）若m=0,且过定点（0,1）……6分iii）设A（x1,y1）,B（x2,y2），则以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0…8分\n∵∴圆方程为：将（0,1）代入显然成立，故存在T（0,1）符合题意。……12分6、已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证：恒过定点.（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得△为以为斜边的直角三角形.【试题出处】东城区普通高中示范校高三综合练习（二）高三数学（理科）【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即，所以抛物线的方程为.（2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得其中即所以所以直线的方程为即（3）假设（上，的解，\n消去得.…14分7、如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线所围成的两个顶点（Ⅰ）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，说明理由。因为直线的方程为,所以到直线的距离为,………12分所以的面积==.故的面积为定值.……16分8、已知椭圆(0＜b＜2)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．（I）当b＝时，求圆P的方程；（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．【试题出处】安徽省马鞍山市2022届高三第二次教学质量检测数学理【解析】（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为，则FC、BC的中垂线分别为，联立两方程，解得,即\n所以时，圆心坐标为，半径PC=解得c=0或4，又，而，所以直线AB与圆P不能相切.………13分9、xyOTMPQN(第17题图）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【试题出处】南京市2022年届高三第二次模拟考试数学试卷【解析】（1）由题意知b＝＝．…3分因为离心率e＝＝，所以＝＝所以a＝2．所以椭圆C的方程为＋＝1．……6分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝x＋1，①直线QN的方程为y＝x＋2②……8分证法一联立①②解得x＝，y＝，即T(，)．………11分由＋＝1可得x02＝8－4y02．因为()2＋()2＝＝＝＝＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………14分证法二设T(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝…………11分\n因为＋＝1，所以()2＋()2＝1．整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1．所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…………………14分10、已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.，，因为，又，所以，所以的关系式为，即.…7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.将代入整理化简得，.设，，则,.………9分又，.所以\n…12分所以，所以，所以的关系式为.………13分综上所述，的关系式为.…14分11、设平面内两定点，直线PF1和PF2相交于点P,且它们的斜率之积为定值；（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2：上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求面积的最大值．【试题出处】湖北八校2022届高三第二次联考数学试题（理科）消去y整理得：，有，…8分而…11分\n由代入化简得：即；当且仅当时，取到最大值。13分M12、已知的边边所在直线的方程为满足,点在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求外接圆的方程；（3）若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．【试题出处】东莞市2022届高三理科数学模拟试题(二)【解析】（1）,…..1分又边所在直线的方程为，所以直线AC的斜率为.2分又因为点在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为．即．..4分（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点的坐标为，….6分又r=．从外接圆的方程为:…..9分（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．………..12分因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．……..14分13、已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，\n为短轴的端点，△的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点．【试题出处】2022年北京市东城区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）：由已知…2分解得，…4分故所求椭圆方程为．…5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．设，则．于是直线方程为，令，得；所以，同理…7分所以，.所以．所以，点在以为直径的圆上……9分设的中点为，则．……10分又，所以\n．所以…12分因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，故以为直径的圆与直线相切于右焦点．……13分AMBxyOl14、如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.(1)设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程；(2)若M(2,-2)，求线段AB的长；(3)求M到直线AB的距离的最小值.【试题出处】2022年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)【解析】(1)由，得yP+2p-(yP+)=Þp=1，∴抛物线方程为.(2)M(2,-2)在直线上ÞÞp=1，∴抛物线方程为，设过M点的直线为y=k(x-2)-2，联立：，消去y，得得Þ①，相切，则△=0ÞÞ②，此时方程①有等根x=kp，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1-x2=p(k1-k2)，y1-y2==，∴AB的斜率k′=，由②，，∴k′=，∴直线AB的方程为ÞÞÞ，由②，，∴AB方程化为：，点M到AB的距离d==，当且仅当Þ，即时，上式成立等号，∴M到直线AB的距离的最小值为.15、已知为平面内的两个定点，动点满足,记点\n的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设点为坐标原点，点，，是曲线上的不同三点，且．（ⅰ）试探究：直线与的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线过点时，求直线、与轴所围成的三角形的面积．【试题出处】2022年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学（ⅰ）可设直线的方程为，代入并整理得，，依题意，，则，，从而可得点的坐标为，．因为，所以直线与的斜率之积为定值．…8分（ⅱ）若轴时，,由，得点，所以点不在椭圆上，不合题意．因此直线的斜率存在．………9分由（ⅰ）可知，当直线过点时,有，点的坐标为．代入得，，即，所以．……11分\n（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．故、及轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为，且底边上的高解法二：（Ⅱ）设，，．由得：，．…5分（ⅰ）因为点，在椭圆上，所以有：，，两式相减，得，从而有．又，，所以，即直线与的斜率之积为定值．………8分16、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.【试题出处】2022年北京市海淀区高三一模理科数学\n【解析】（Ⅰ）：设椭圆的标准方程为.因为，，所以.所以.…2分所以椭圆的标准方程为.…3分（Ⅱ）设，，，.（ⅰ）证明：由消去得：.则，因为，所以.9分（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则.因为，所以.10分所以.\n（或）所以当时，四边形的面积取得最大值为.…13分17、已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：340（Ⅰ）求、的标准方程；（Ⅱ）若过曲线的右焦点的任意一条直线与曲线相交于A、B两点，试证明在轴上存在一定点P，使得的值是常数.【试题出处】2022年咸阳市高三第二次模拟考试数学【解析】（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，），（4，4）在抛物线上，易求.……2分设：，把点（2，0）,（，）代入得：，解得.∴方程为.……6分（Ⅱ）①当直线不与轴垂直时，设其方程为.联立，消元得则\n②当轴时，直线的方程为.若，则故存在轴上的点，使得的值是常数.……………………13分18、已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，点是椭圆上一动点且△的面积最大值为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，点是轴上不同于原点的一个动点，求满足条件的实数的取值范围．【试题出处】2022届重庆部分区县高三二诊理科试题，，由题意得：，代入可得，\n所以得．……12分19.已知椭圆C：的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且求证：直线过定点．【试题出处】2022年北京市丰台区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）依题意，，所以．……2分因为，所以．……3分椭圆方程为．…………5分（Ⅱ）消y得，．……6分所以，所以，，，所以，得…13分则，故过定点……14分\n20、已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；。（Ⅱ）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?(Ⅲ)过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：.【试题出处】山东省青岛2022届高三教学质量检测（理科）【解析】（Ⅰ）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以所以，故……………2分在中，即,又,解得…6分①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;…7分\n②当时,则,直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去)………8分若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去)………9分综上,当或或时,直线过椭圆的顶点…………10分（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为…………11分根据题意可设，则则直线的方程为…①过点且与垂直的直线方程为…②①②并整理得：又在椭圆上，所以所以即①、②两直线的交点在椭圆上,所以．……14分法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为根据题意可设，则，\n2022名校模拟题及其答案选择题1（2022·三明三校二月联考）已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为（C）A.6B.C.D.4＋22（2022苏北四市二调）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是．4．（2022·温州八校联考）点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的取值范围为______[2,6]。\n5（2022·温州十校高三期末）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（D）（A）（1，）（B）（C）（D）7（2022烟台一调）椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________________8（2022·泰安高三期末）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(D)A.5x2-y2=1B.C.D.5x2-y2=110．（2022丰台区期末）过点且与圆相切的直线方程为11（2022北京西城区期末）双曲线的渐近线方程为；若双曲线\n的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为.12(2022湖北八校一联)已知点的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为。-4）的直线轴的交点为Q，则。15（2022·淮南一模）等腰中，斜边，一个椭圆以为其中一个焦点，另一焦点在线段上，且椭圆经过，两点，则该椭圆的离心率是。16.(2022·黄冈期末)已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是(A)A.6x－5y－28=0B.6x+5y－28=0C.5x+6y－28=0D.5x－6y－28=0
