2022版高考数学3-2-1精品系列专题03数列文（教师版）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点分布2022考纲解读考纲原文考纲解读：数列难度降底，得分率提高，但要全对还得加大基本功训练；选择填空题重点考查等差（比）数列的性质；解答题中重点考查通项公式、求和；重视求和中的错位相减法、裂项相消求和等；递推数列不要研究太深，只掌握基本的就行。近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2022年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.【考点pk】名师考点透析考点一 等差、等比数列的概念与性质例1：已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.101\n【名师点睛】：关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量．例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。【名师点睛】：在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。考点二求数列的通项与求和例3.已知数列满足（1）求（（2）设求证：；3）求数列的通项公式。解：（1）由已知,即101\n（3）由（2）：而，是以2为首项，2为公比的等比数列，，即，而，有：【名师点睛】：一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。例4：在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．解：（1）当n=1时，,当时，由得所以所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为（2）101\n【名师点睛】：裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.考点三数列与不等式、函数等知识的联系例5：已知数列是等差数列，（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）如果，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。（3）因为当且仅当时最大即【名师点睛】：解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．例6：已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。（1）证明：101\n从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当时，求数列的最小项.（提示：当时总有）解：（1）∵∴(n≥2)由得，，∵，∴，（3）由（1）知当时，，所以，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为。【名师点睛】：、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.例7：已知数列中，.（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。101\n解：（1）∵∴…2分令，则，当恒成立∴在上是增函数，故当时，即当时，要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，∴∴实数的取值范围为另解：∴数列是单调递减数列，∴【名师点睛】：数列是一种特殊的函数，要注意其特殊性：(1)若用导数研究数列的单调性、最值等．要构造辅助函数，因为导数是对连续函数而定义的．(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别．例8：已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设101\n，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.①由①×4，得②①-②得：（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为【名师点睛】：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，主要用错位相减法求数列的和.例9：甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和.记，101\n，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，（I）试用，表示，；（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.解：（1）（2）两式相减所以等比两式相加＝…….＝所以常数列；（3）【名师点睛】：数列在日常经济生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等，都是与等比数列有关．另外，有些实际问题，可转化为数列问题，注意是求项还是求和，是解方程还是不等式问题．【三年高考】10、11、12高考试题及其解析2022年高考试题及解析一、选择题．（2022年高考（四川文））设函数,是公差不为0的等差数列,,则（ ）A．0B．7C．14D．21．（2022年高考（上海文））若,则在中,正数的个数是（ ）A．16.B．72.C．86.D．100.【解析】：令,则,当1≤n≤14时,画出角序列na终边如图,101\n其终边两两关于x轴对称,故有均为正数,而,由周期性可知,当14k-13≤n≤14k时,Sn>0,而,其中k=1,2,,7,所以在中有14个为0,其余都是正数,即正数共有100-14=86个,选C.．（2022年高考（辽宁文））在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ）A．12B．16C．20D．24．（2022年高考（课标文））数列{}满足,则{}的前60项和为（ ）A．3690B．3660C．1845D．1830【解析】：【法1】有题设知=1,①=3②=5③=7,=9,=11,=13,=15,=17,=19,,∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,,∴,,,,是各项均为2的常数列,,,,是首项为8,公差为16的等差数列,∴{}的前60项和为=1830.【法2】可证明:．（2022年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12.则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（ ）101\nA．76B．80C．86D．92【解析】：本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4,公差为4的等差数列,则所求为第20项,可计算得结果.．（2022年高考（湖北文））定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A．①②B．③④C．①③D．②④合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.．（2022年高考（福建文））数列的通项公式,其前项和为,则等于（ ）A．1006B．2022C．503D．0【解析】：由,可得【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.．（2022年高考（大纲文））已知数列的前项和为,,,则（ ）A．B．C．D．【解析】：由可知,当时得当时,有①②101\n．（2022年高考（北京文））某棵果树前年得总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的年平均产量最高,的值为（ ）A．5B．7C．9D．11【解析】：由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C.【考点定位】本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去.．（2022年高考（北京文））已知为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A．B．C．若,则D．若,则【解析】：当时,可知,所以A选项错误;当时,C选项错误;当时,,与D选项矛盾.因此根据均值定理可知B选项正确.【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做.．（2022年高考（安徽文））公比为2的等比数列{}的各项都是正数,且=16,则（ ）A．B．C．D．【解析】：选101\n二、填空题．（2022年高考（重庆文））首项为1,公比为2的等比数列的前4项和______【解析】：:【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式．（2022年高考（上海文））已知.各项均为正数的数列满足,.若,则的值是_________.．（2022年高考（辽宁文））已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=__________.【解析】：因为数列为递增数列,且【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.．（2022年高考（课标文））等比数列{}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_______【解析】：当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0与{}是等比数列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2.．（2022年高考（江西文））等比数列的前项和为,公比不为1。若101\n,且对任意的都有,则_________________。．（2022年高考（湖南文））对于,将表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,中等于1的个数为奇数时,;否则。(1)__;(2)记为数列中第个为0的项与第个为0的项之间的项数,则的最大值是___.【解析】：(1)观察知;;一次类推;;;,,,b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.10631···．（2022年高考（湖北文））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:(Ⅰ)是数列中的第______项;(Ⅱ)______.(用表示)【解析】：由以上规律可知三角形数1,3,6,10,,的一个通项公式为,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故.101\n从而由上述规律可猜想:(为正整数),,故,即是数列中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.．（2022年高考（广东文））(数列)若等比数列满足,则_________.【解析】：.,所以.．（2022年高考（北京文））已知为等差数列,为其前项和.若,,则________;=________.【解析】：,所以,.【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算.三、解答题．（2022年高考（重庆文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值.．（2022年高考（浙江文））已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,101\n数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.．（2022年高考（天津文））(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;(II)记()证明:.【解析】：(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故(2)证明;由(1)得①②由①-②得,即,而当时,所以101\n．（2022年高考（四川文））已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?【解析】：取n=1,得若a1=0,则s1=0,当n若a1,当n上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列综上,若a1=0,若a1．（2022年高考（上海文））对于项数为m的有穷数列数集,记(k=1,2,,m),即为中的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1，3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(C为常数,k=1,2,,m).求证:(k=1,2,,m);(3)设m=100,常数.若,是的控制数列,求.101\n比较大小,可得因为,所以,即;,即.又,从而,,,因此=====．（2022年高考（陕西文））已知等比数列的公比为．（Ⅰ）若，求数列的前项和；（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列．【解析】：（Ⅰ）由及，得，所以数列的前项和．（Ⅱ）证明：对任意，101\n，由得=0，故=0．所以对任意，，，成等差数列．．（2022年高考（山东文））已知等差数列的前5项和为105,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.．（2022年高考（江西文））已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3(1)求an;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.．（2022年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an101\n万元.(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)..由题意,解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.．（2022年高考（湖北文））已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和.【解析】：(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得,或.故,或.101\n(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.故记数列的前项和为.当时,;当时,;当时,.当时,满足此式.综上,【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.．（2022年高考（广东文））(数列)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式.101\n,所以().当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.．（2022年高考（福建文））在等差数列和等比数列中,的前10项和.(Ⅰ)求和;(Ⅱ)现分别从和的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.．（2022年高考（大纲文））已知数列中,,前项和.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的通项公式.【解析】：(1)由与可得,故所求的值分别为.(2)当时,①②①-②可得即101\n故有而,所以的通项公式为【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论.．（2022年高考（安徽文））设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.(Ⅰ)求数列;(Ⅱ)设的前项和为,求.【解析】：(I)，得:当时,取极小值得:(II)由(I)得:11年高考试题及解析1、（重庆文1）．在等差数列中，，＝A．12B．14C．16D．18101\n【命题意图】本题考查等差数列通项公式，是送分题.【解析】∵,,∴=2，∴=18，故选D.2、（北京文12）在等比数列中，若则公比；【解析】：由是等比数列得，又所以3、（天津文11）.已知是等差数列,为其前n项和,.若,,则的值为.【答案】110【解析】设公差为,则且,解得,,所以.4、（安徽文7）若数列的通项公式是,则（A）15(B)12(C)(D)5、（江西文5）.设{}为等差数列，公差d=，为其前n项和.若，则=（）A.18B.20C.22D.24【解析】.6、（广东文11）．已知是递增等比数列，，则此数列的公比．【解析】2.由题得因为是递增等比数列，所以101\n7、（江苏13）、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________8、（四川文9）.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n ≥1),则a6=（A）3×44（B）3× 44+1(C)44（D）44+1解析：由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1=3Sn(n ≥1)①，所以an+2=3Sn+1②，②-①得an+2=4an+1，故从第二项起数列等比数列，则a6=3×44.答案：A9、（全国文6）、设为等差数列的前项和，若，公差，，则（A）8（B）7（C）6（D）5【解析】故选D。10、（浙江文17）若数列中的最大项是第项，则=_______。【解析】：则于是令得，则，时递增，令得，则，时递减，故是最大项，即11、（陕西文13）、观察下列等式101\n照此规律，第五个等式应为__________________.12、（陕西文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）（A）(1)和（20）（B）(9)和（10）(C)（9）和（11）(D)（10）和（11）【答案】D【解析】：设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时13、（湖北文9）．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A.1升B.升C.升D.升解析：设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：，所以选B.14、（福建文16）.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的101\n最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_______.【答案】【解析】因为（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，所以=,又,所以,所以,由题意知,,所以,整理得,所以或(舍去).15、（辽宁文15）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________。16、（重庆文16）．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设是公比为正数的等比数列，，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。解：（I）设q为等比数列的公比，则由，即，解得（舍去），因此所以的通项为（II）17、（全国文17).(本小题满分l0分)设数列的前N项和为,已知求和【解析】设等比数列的公比为，由题解得101\n18、（浙江文19）.（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为(),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较与的大小.[来【解析】：（Ⅰ）数列的通项公式（Ⅱ）记因为，所以从而当时，；当时，19、（课标卷文17）.（本小题满分12分）已知等比数列中，，（1）为数列前项的和，证明：（2）设，求数列的通项公式；（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。解：（1）点评：本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式。注意正确用公式计算。20（山东文20）.（本小题满分12分）等比数列中，101\n分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.（Ⅱ）因为=,所以=-=-=-,所以=-=-.21、（江苏20）、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。101\n22、（四川文20）（本小题共12分）已知﹛﹜是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前项和.（Ⅰ）当成等差数列时，求q的值；(Ⅱ)当，，成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列.解析：（Ⅰ）当时，，因为成等差数列，所以，解得，因为，故；当时，，由成等差数列得101\n，得，即，.(Ⅱ)当成等差数列，则.当时，由，得，即.；当时，由，得，化简得.，综上，对任意自然数也成等差数列.23、（湖北文17）.（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a,a+d.依题意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以中的依次为7-d，10，18+d.依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）.故的第3项为5，公比为2.由，即，解得所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为.（2）数列的前n项和即所以因此是以为首项，公比为2的等比数列.24、（福建文17）.（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.（I）求数列{an101\n}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.25、（辽宁理17）.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和.解析：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得26、（广东文20）．（本小题满分14分）设b>0,数列满足,．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数,．101\n【解析】法一（1）由，令当①当②当时，（2）当只需综上所述101\n27、（陕西文19）（本小题满分12分）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.（Ⅰ）试求与的关系（ Ⅱ）求101\n28、（北京文20）．（本小题共13分）若数列满足，则称为数列，记.（Ⅰ）写出一个E数列A5满足；（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2022；（Ⅲ）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5.（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—1，—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以．所以A5是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000—1）×1=2022．充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1……a2—a1≤1所以a2000—at≤19999，即a2000≤a1+1999．又因为a1=12，a2000=2022,所以a2000=a1+1999．故是递增数列．综上，结论得证.（Ⅲ）对首项为4的E数列Ak，由于…………所以所以对任意的首项为4的E数列Am，若则必有.又的E数列所以n是最小值是9.29、（天津文20）（本小题满分14分）已知数列与满足,,且.（Ⅰ）求的值;(Ⅱ)设,101\n,证明是等比数列;(Ⅲ)设为的前n项和,证明.(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,=2+3(2+)=2+,故对任意,,由①得所以,,因此,,于是,30、（安徽文21（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列101\n的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则①②①×②并利用等比数列性质得，，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又所以数列的前项和为【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。31、（江西文21）.(本小题满分14分）（1）已知两个等比数列，满足，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由．101\n符合综上：。（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列.32、（上海文23）、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。⑴求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；⑵中有多少项不是数列中的项？说明理由；⑶求数列的前项和（）。解：⑴三项分别为。⑵分别为101\n。33、（湖南文20）．（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（I）求第n年初M的价值的表达式；（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，101\n因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新．2022年高考试题及解析一、选择题1（2022辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3（B）4（C）5（D）6解析：选B.两式相减得，，.2（2022全国2文6）如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（A）14(B)21(C)28(D)35【解析】∵，∴，3（2022安徽文5）设数列的前n项和，则的值为（A）15(B)16(C)49（D）644（2022重庆文数）（2）在等差数列中，，则的值为（A）5（B）6（C）8（D）10解析：由角标性质得，所以=55（2022浙江文5）设为等比数列的前n项和，则(A)-11(B)-8(C)5(D)11解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式6（2022广东文数）已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，且101\n与的等差中项为，则S5=A．35B．33C．31D．297（2022全国1文4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(A)(B)7(C)6(D)【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以8（2022湖北文7）已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则A.B.C.D[二、填空题1（2022陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方101\n所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.2（2022辽宁文14）设为等差数列的前项和，若，则。解析：填15.,解得，3（2022浙江文14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。答案：4（2022天津文15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则=。5（2022江苏8）、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。101\n三、解答题：1．（2022年山东文18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.2．（2022年天津文22）（本小题满分14分）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】（I）证明：由题设可知，，，，101\n所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则.所以，从而当n为奇数时，设。所以，101\n从而综合（1）和（2）可知，对任意有3．（2022年福建文17）（本小题满分12分）数列{}中，前n项和满足－＝（n）(I)求数列{}的通项公式以及前n项和；（II）若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列，求实数t的值。4．(2022年北京文16)（本小题共13分）已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列的公差。因为所以解得所以（Ⅱ）设等比数列的公比为因为所以即=3所以的前项和公式为5．(2022年江西文22)（本小题满分14分）正实数数列中，，，且成等差数列．（1）证明数列中有无穷多项为无理数；（2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和．【答案】证明：（1）由已知有：，从而，101\n是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．（2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足即时，为整数；同理有也满足即时，为整数；显然和是数列中的不同项；所以当和时，为整数；由有，由有．设中满足的所有整数项的和为，则．6.(2022年浙江文19)（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。101\n本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。7．(2022年安徽文21)（本小题满分13分)设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与101\n之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.8．（2022年上海文21）(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1)当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；(2)由(1)知：，得，从而(nÎN*)；由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．9.(2022年课标文17)（本小题满分12分）设等差数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。10．（2022年广东文21）（本小题满分14分）已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；101\n（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：值．故所求点的坐标为．（3）由（2）知，，于是现证明．，故问题得证．11．（2022年重庆文16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.【解析】（Ⅰ）因为是首项为，公差为的等差数列，所以101\n，（Ⅱ）由题意得所以则12．（2022年陕西文16）（本小题满分12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.13．（2022年湖北文19）（本小题满分12分）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）14．（2022年湖南文20）（本小题满分13分）给出下面的数表序列：101\n其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为求和：【解析】（Ⅰ）表4为它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为2，公比为2的等比数列。简证如下（对考生不作要求）首先表的第1行是1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为；其次表的第行是等差数列，则它的第行也是等差数列，由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与第行中的数的平均数分别是，由此可知，表各行中的数都构成等差数列且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列。（II）表第1行是1，3，5，…，2n-1其平均数是由（Ⅰ）知它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是）。于是，表中最后一行的唯一一个数为101\n15（2022年全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.【解析】设的公差为由已知得即解得或故或16．（2022年全国Ⅱ文18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，且，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。【解析】（Ⅰ）设公比为q，则.由已知有化简得101\n17．（2022年四川文20）（本小题满分12分）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和（本小题满分12分）#s5_u.co*m已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和。解（Ⅰ）设的公差为由已知得解得故（Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，，于是．若，将上式两边同乘以q有．两式相减得到．于是．若，则．所以，（12分）。101\n18（2022江苏19、）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：，，化简，得：，当时，，适合情形。故所求（2）（方法一），恒成立。又，，故，即的最大值为。于是，只要，即当时，。101\n所以满足条件的，从而。因此的最大值为。【两年模拟】2022年名校模拟题及其答案【辽宁抚顺二中2022届高三第一次月考文】7．已知数列的各项均为正数，其前项和为，若是公差为-1的等差数列，且等于（）A．B．C．D．【答案】A【山东省曲阜师大附中2022届高三9月检测】已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是【答案】3【山东省兖州市2022届高三入学摸底考试】等差数列中，若为方程的两根，则（）A．15B．10C．20D．40【答案】A【山东省冠县武训高中2022届高三第二次质检文】等比数列｛｝中，，前3项之各，则数列｛｝的公比为（）A.1B.1或c.D.-1或【答案】B【四川省南充高中2022届高三第一次月考文】等比数列中，，是数列前项的和，则为（）A．B．C．D．【答案】A【2022四川省成都市石室中学高三第一次月考】设等比数列的前n项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A．B．C．D．101\n【答案】D【2022四川省成都市石室中学高三第一次月考】向量V=()为直线y=x的方向向量，a=1,则数列的前2022项的和为_______.【答案】2022【云南省建水一中2022届高三9月月考文】已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差（）A．B．1C．2D．3【答案】C2022浙江省杭州师范大学附属中学高三适应文】设为等比数列的前项和，已知，，则公比（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【重庆市涪陵中学2022届高三上学期期末文】在数列中，，，则的值为A.B.C.D.【答案】B【重庆市涪陵中学2022届高三上学期期末文】等差数列中前项和为，已知，，则.【答案】7【江西省白鹭洲中学2022届高三第二次月考文】设是公比为q的等比数列，令，若数列的连续四项在集合{—53，—23，19，37，82}中，则q等于()A．B．C．D．【答案】C【河北省保定二中2022届高三第三次月考】数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）101\nA．B.C.或D.【答案】C【河北省保定二中2022届高三第三次月考】已知等比数列的公比为正数，且，，则。【答案】【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】等差数列中，若则，若数列的前n项和为，则通项公式。【答案】24，【2022湖北省武汉市部分学校学年高三新起点调研测试】已知为等差数列，为其前n项和，则使得达到最大值的n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】等差数列中，则则，若数列为等比数列，其前n项和，若对任意，点均在函数为常数）图象上，则r=.【答案】24，-1【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1≠0，Sk+3＝0，则k=．【答案】10【江苏省南京师大附中2022届高三12月检试题】数列{an}满足a1＝1，ai＋1＝ 其中m是给定的奇数．若a6＝6，则m=．【答案】m＝9．【江苏省南通市2022届高三第一次调研测试】数列中，，且（，），则这个数列的通项公式．【答案】【上海市南汇中学2022届高三第一次考试(月考)】在等差数列中，若公差，且101\n成等比数列，则公比q=。【答案】3解答题1、在公差不为0的等差数列中，，且依次成等差数列.（Ⅰ）求数列的公差；（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值，并求出此时的值【试题出处】陕西省西安市八校2022届高三年级数学（文科）试题【解析】（Ⅰ）由依次成等差数列知即，整理得.因为，所以.从而，即数列的公差为2----------6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知因为且，所以当或7时，有最小值.因此，的最小值为，此时的为6或7.法二：由（Ⅰ）可知数列的通项公式为，令，得.据数列单调递增可知：其前6项均为负项，第7项为0，从第8项开始均为正项，所以，，且均为最小值，最小值为，此时的为6或7.2、已知数列的首项的等比数列，其前项和中，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求101\n3、等差数列的公差为，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【试题出处】2022年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学【解析】(Ⅰ)：由已知得，…2分又成等比数列，所以，4分解得，……5分所以．………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，…………8分所以．…12分4、已知等差数列中，为数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)若数列的公差为正数,数列满足,求数列的前项和.101\n时,……….12分5、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13.(Ⅰ)求an及Sn；(Ⅱ)令(n∈N﹡)，求数列{bn}的前n项和Tn.【试题出处】山东省济南市2022届高三3月（二模）月考数学（文）试题【解析】：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以有,…………2分解得a1=3,d=2，……4分所以an=3+2(n-1)=2n+1；Sn=3n+×2=n2+2n.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn==……8分=，………10分所以Tn=.……12分6、已知数列的前项和为，对任意，有．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。101\n比的等比数列。需验证n取1,2时也成立.∴，有．…5分故数列的通项公式为．……6分（2）n=n()=n·－n，设数列的前n项和为，则=……………8分∴3=，两式相减，得－2==，……………10分∴……12分因此．14分7、已知公差不为0的等差数列的前3项和＝9，且成等比数列。（1）求数列的通项公式和前n项和（2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值。【试题出处】湖北省八校2022届高三第二次联考数学（文）试题101\n8、设数列{}的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列{}为“Jk型”数列．（1）若数列{}是“J2型”数列，且，，求；（2）若数列{}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{}是等比数列.【试题出处】江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2022届高三3月第一次调研测试（数学）【解析】（1）由题意，得，，，，…成等比数列，且公比所以．……4分（2）证明：由{}是“型”数列，得，，，，，，…成等比数列，设公比为6分由{}是“型”数列，得，，，，，…成等比数列，设公比为；，，，，，…成等比数列，设公比为；，，，，，…成等比数列，设公比为；则，，．所以，不妨记，且．…12分于是，，101\n，所以，故{}为等比数列．……16分9、已知等比数列的前n项和为（1）求实数c的值和数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【试题出处】河南2022~2022学年度高三年级第一次模拟考试数学试题（文）【解析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2＋c，…１分当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n－2n－1=2n－1，………3分∴an=………4分∵数列{an}为等比数列，∴a1=2＋c=1，∴c=－1．…5分∴数列{an}的通项公式an=2n－1.……6分（Ⅱ）∵bn=Sn＋2n＋1=2n＋2n，……7分∴Tn=(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋…＋n)……9分=2(2n－1)＋n(n＋1)=2n＋1＋n2＋n－2．……12分10、已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和的最小值..【试题出处】广东省韶关市2022届高三第一次调研考试数学（文）试题【解析】(1)证：由题意，即，……２分.∴数列是以为首项，为公比的等比数列.…６分因为是递增数列，所以的最小值等于……１４分11、设数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若对于一切，都有恒成立，求的取值范围.【试题出处】2022届上海市七校数学试题（文科）【解析】(1)101\n此时，对于一切，都有恒成立，所以符合题意当时，，于是有：若使对于一切，都有恒成立，即使且而综上可知：的取值范围为:12、已知等差数列的公差大于零,且、是方程的两个根；各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足，.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.【试题出处】山东省青岛一中2022届高三教学质量检测（文科）【解析】（Ⅰ）设的公差为,的公比为,则由解得或因为,所以,则,则,解得所以………3分因为,因为,解得所以………………6分教101\n（Ⅱ）当时,……………8分当时,…11分所以…………12分13、某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式.14、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）设集合，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.101\n【试题出处】北京市房山区2022年高三第一次模拟试题高三数学(文科).①由①×4，得②①-②得：……8分（III）∵∴∵，是中的最小数，.是公差为4的倍数的等差数列，.……10分又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则……12分，∴.……13分15、设函数，对于正数数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.101\n【试题出处】东莞市2022届高三文科数学模拟试题(二)（2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有③当时，有④③－④，得，由得，…13分又满足条件，因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立.………14分16、已知各项均为非负整数的数列（），满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，．（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；（Ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；（Ⅲ）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数.【试题出处】2022年北京市朝阳区高三一模文科数学101\n【解析】（Ⅰ）若，则；；；；．若，则；；；．………4分（Ⅱ）若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．易知和是互逆变换．对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得，则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．…………8分（Ⅲ）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知，通过变换，不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，所以为整数，于是，，所以为除以后所得的余数，即．………13分17、已知数列{an}满足：a1＋＋＋…＋＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，求实数λ的取值范围．101\n整理得(2r＋1)(2t＋1)4r＋t－2s＝(2s＋1)2．……6分由奇偶性知r＋t－2s＝0．所以(2r＋1)(2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．…8分①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立；②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2×－(2n＋1)λn＋λan＝3＋2×＝－．因此，对任意n∈N*，都有≥·λn恒成立．当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N*恒成立．只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．因此，当0＜λ＜1时，结论成立．…14分当λ≥2时，≥·λn显然不可能对任意n∈N*恒成立．当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N*恒成立．只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．因此当1＜λ≤时，结论成立．综上可得，实数λ的取值范围为(0，]……16分18、定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.(Ⅰ)101\n证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;(Ⅱ)设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项公式及关于的表达式;（Ⅲ）记，求数列的前项之和，并求使成立的的最小值.【试题出处】2022年3月北京市东城区示范校联考高三数学文科试题【解析】（Ⅰ）由条件an＋1＝2an2＋2an，得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．所以是“平方递推数列”．------2分令cn=2an+1所以lgcn＋1＝2lgcn．因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2所以{lg(2an＋1)}为等比数列．------4分所以n的最小值为1007----13分19、已知各项均为正整数的数列满足，且存在正整数,使得（Ⅰ）当时，求数列的前36项的和；（Ⅱ）求数列的通项；（Ⅲ）若数列满足，且其前n项积为，试问n为何值时，取得最大值？【试题出处】徐州市2022-2022学年度高三第二次质量检测数学【解析】⑴当，则．设，由，得，所以数列是公差为的等差数列，故101\n．………4分⑵若时，，又，所以，所以，此时矛盾．…6分若时，，所以，，所以，满足题意．……8分若时，，所以，即，又因为，所以不满足题意．……10分所以，，，，且，所以，，，故12分⑶又所以所以，所以都是以为公比的等比数列,为偶数时，有，从而，注意到，且，所以数列的前项积最大时的值为．……16分20、设数列的前项和为，且．数列满足，101\n．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【试题出处】2022年北京市丰台区高三一模文科数学【解析】（Ⅰ）当时；当时，因为适合通项公式．所以．…………5分（Ⅱ）因为，所以，即．所以是首项为=1，公差为2的等差数列．所以，所以．…9分（Ⅲ）存在常数使得不等式恒成立．因为=，（1）当为奇数时，，所以，即．所以当=1时，的最大值为，所以只需；（2）当为偶数时，，所以，所以当=2时，的最小值为，所以只需；101\n由（1）（2）可知存在，使得不等式恒成立．…13分（若用其他方法解题，请酌情给分）2022年模拟试题1、（2022镇江高三期末）在等比数列中,若,则的值是4.2、（2022·泰安高三期末）等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则S13等于(A)A.152B.154C.156D.1583、（2022北京朝阳区期末）已知数列的前n项和为，且,则等于(A)（A）4（B）2（C）1（D）-24、(2022东莞期末)等比数列中,,且依次成等差数列，则的前项和等于63．5、（2022佛山一检）在等差数列中，首项公差，若，则(A)A．B．C．D．6、（2022广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则126.7、（2022·湖北重点中学二联）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=。8、（2022巢湖一检）在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则q等于(C)A.2B.C.3D.9、（2022广东广雅中学期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则(C)A．B．C．D．10、(2022湖北八校一联)已知等比数列的各项都为正数，且当则数列等于。101\nA．B．C．D．13、（2022北京朝阳区期末）已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为2026.14、(2022承德期末)下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则等于（C）A．B．C．D．115、(2022承德期末)数列的前100项的和等于.16、(2022东莞期末)设等差数列（）的前n项和为，该数列是单调递增数列，若，则的取值范围是(A)A.B.C.D.17、（2022镇江高三期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则.18、（2022·温州八校联考）数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（A）A．10B．9C．8D．7101\n19、（2022·温州八校联考）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有__100___个。20、（2022·温州十校高三期末）数列是等差数列，若，且，它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，（C）（A）（B）（C）（D）21、（2022·温州十校高三期末）设是等差数列，从中取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列有180个22、（2022福州期末）已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（A）A．-1B．0C．1D．223、（2022哈尔滨期末）设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数等于，其中正确的编号为（1）（3）（4）.24、（2022杭州质检）已知函数若数列满足，且是递减数列，则实数a的取值范围是（C）A．B．C．D．25、（2022杭州质检）等比数列，，，…的第8项是．26、（2022杭州质检）设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为（nÎN*）．27、(2022湖北八校一联)有下列数组排成一排：如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第2022项是（B）101\nA．B．C．D．28、(2022·黄冈期末)已知数列中，是其前n项和，若=1，=2，且则_____6_____,=____4021___ 29、(2022·锦州期末)设数列满足，它的前项和为，则的最小为下列何值时S>1025(C)（A）9（B）10（C）11（D）1230、(2022·惠州三调)已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（）A．B．C．D．_O_1_2_3_4_5_6_6_5_4_3_2_1【解析】C；根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，…，为第项，因此第项为．31、（2022·温州十校高三期末）我国的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.则的表达式为32、（2022·上海长宁区高三期末）如图，连结的各边中点得到一个新的，又的各边中点得到一个新的101\n，如此无限继续下去，得到一系列三角形，，，，这一系列三角形趋向于一个点。已知，则点的坐标是（A ）Ａ、 Ｂ、 Ｃ、Ｄ、33、（2022·上海长宁区高三期末）无穷等比数列中，公比为，且所有项的和为，则的范围是___34、(2022·日照一调)（本小题满分12分）等比数列中，已知.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前项和.解：（Ⅰ）设的公比为,由已知得，解得.所以.………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，,设的公差为，则有解得……8分……10分且数列的前项和………12分35、（2022烟台一调）（本小题满分12分）设数列的前项和为，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.（1）求数列的通项公式；（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.101\n，.36、（2022福州期末）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的通项公式及前项和解：（Ⅰ）依题意：2分=4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5分7分9分12分37、（2022佛山一检）设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求.①得，，②①②得，，∴101\n．法2：，设，记，则，∴，故．38、（2022杭州质检）设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列是等比数列；（2）当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．，当n=1时，上式也成立．39、(2022·南昌期末)（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,是否存在正整数，使得101\n成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.(3)令,记数列的前项积为,其中,试比较与9的大小,并加以证明.解:(1)因为,即………1分又,所以有,所以所以数列是公比为的等比数列……2分由得,解得故数列的通项公式为…………4分此时．故当且仅当，.使得成等比数列………………8分(3)构造函数则，…9分当时，，即在上单调递减，所以，……10分所以，所以，…11分记，则，……12分所以：………13分即，所以，所以………14分101\n40、（2022北京朝阳区期末）已知函数（，，为常数，）.（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），证明：；（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，求证：.所以.所以3分因为=，又，所以.即.…5分（Ⅲ）依条件.因为为奇函数，所以.即.解得.所以.又，所以.故101\n.……6分因为，所以.所以时，有（）.又，若，则.从而.这与矛盾.所以.…8分所以.所以.……10分41、（2022北京丰台区期末）已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，…；当时，得到常数列2,2,2，…；当时，得到有穷数列，0．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；（Ⅲ）如果当时，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）因为，且，所以．同理可得，即101\n．…3分（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则；；………；，即。故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．（Ⅲ）因为，且，所以．又因为当时，，即，所以当时，有．42、（2022北京西城区期末）已知数列，满足，其中.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，且.（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项应满足的条件.（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，……5分所以，所以数列为等差数列.……7分（ⅱ）设，（其中为常数且），所以所以数列均为以7为公差的等差数列.……9分101\n设，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有；……10分当时，…11分①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；…12分综上：设集合，当时，数列中必有某数重复出现无数次.当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.………14分43、(2022东莞期末)已知数列（）的各项满足：,（，）．(1)判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式；(3)若数列为递增数列，求的取值范围.．当时，，也符合上式，所以，数列的通项公式为．101\n(3)．∵为递增数列，∴恒成立．①当为奇数时，有，即恒成立，由得．②当为偶数时，有，即恒成立，由，得．故的取值范围是．44、(2022湖北八校一联)已知数列（I）李四同学欲求的通项公式，他想，如能找到一个函数（A、B、C是常数），把递推关系变成后，就容易求出的通项了，请问：他设想的的通项公式是什么？（II）记都成立，求实数p的取值范围。（Ⅱ）,7分由，得.设，则101\n,当时，,（用数学归纳法证也行）时，.容易验证,时,,,的取值范围为.13分45、（2022·湖北重点中学二联）（本小题满分13分）在数列（I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值。（II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。依题设，是的约数…………8分从而是与的公约数同理可得是的约数依次类推，是与的约数……10分，故于是，…12分又∵是的约数和的约数是即的约数从而是即1的约数，这与矛盾故不存在使与有大于1的公约数.46、(2022·惠州三调)（本题满分14分）,是方程的两根,数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.解：(1)由.且得…2分101\n,……4分在中,令得当时,T=,两式相减得,…6分.…8分(2),……9分,,……10分=2=,…13分……14分47、（2022·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，101\n∴…10分即，又为非零整数，则．综上所述，存在，使得对任意，都有．…48、(2022·南昌期末)已知下面数列和递推关系：①数列{an}(an=n)有递推关系an+2=2an+1–an；②数列有递推关系：③数列有递推关系：请猜测出数列的一个类似的递推关系：______.49、（2022·三明三校二月联考）（本题满分13分）已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。①－②： ∴∴∴50、（2022·101\n上海长宁区高三期末）（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点，，…，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；解：（1），（，…….2分，，是等比数列。….4分因此，。…….10分（3），，………….12分设，当最大时，则，……….14分解得，，。…….16分所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。….18分51、（2022·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.101\n解：（Ⅰ）证明假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，…（2分）即矛盾.所以对于任意，{an}不是等比数列.………（6分）(Ⅱ)证明因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3（n+1）+21］=(-1)n+1=-……（10分）又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.…（11分）由上式知bn≠0，所以故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.…（12分）52、（2022苏北四市二调）（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.又∵，∴，∴，∴…10分（3）由（2）得，即，数列中，（含项）前的所有项的和是：……12分当k=10时，其和是当k=11时，其和是101\n又因为2022-1077=934=4672，是2的倍数…14分所以当时，，所以存在m=988使得…16分53、（2022镇江高三期末）已知公差大于零的等差数列的前项和，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若,是某等比数列的连续三项，求值；（3）是否存在常数，使得数列为等差数列，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.解：（1）为等差数列，∵，又，∴，是方程的两个根又公差，∴，∴，.∴∴∴.……5分【法二】假设存在常数，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知，得恒成立，可得.,易知数列为等差数列.【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.【一年原创】原创试题及其解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）1、如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35解：答案C101\n2、设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3（B）4（C）5（D）6解：两式相减得，，.选B.3、已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5（B）或5（C）（D）解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和.答案C4、已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=(A)(B)7(C)6(D)5、已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.29解：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．∴，即．，即．101\n．答案C6、设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于A．6B．7C．8D．9解：设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。7、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、解：取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。8、等比数列中，，=4，函数，则（）A．B.C.D.解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为即则面积依次为所以101\n故C正确10、已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0（B）（C）1（D）2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1Þa2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）11、在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式.解：由题意知，解得，所以通项。12、设为等差数列的前项和，若，则。解：,解得，13、在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。101\n15、若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则，解：因为，而，所以m=1,2,所以2.所以＝1,＝4，＝9，＝16，猜想三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.解析设数列的公差为，依题设有即解得或故或17、设等差数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。解（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，101\n解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。19、正实数数列中,,且成等差数列.(1)证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.解：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．(2)要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）101\n也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则20、设,,…,,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；(Ⅱ)设，求数列的前项和.解：(Ⅰ)将直线的倾斜角记为，则有，.设的圆心为，则由题意知，得；同理.从而，将代入，解得.故为公比等比数列.101\n21、在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.解：（I）由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。（II）解：由题设可得所以.由，得，从而.所以数列的通项公式为或写为，。（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m若，则，（2）当n为奇数时，设。101\n所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有【考点预测】2022高考预测展望2022年高考，数列仍是重点考查内容之一，从2022年的高考题可见预见到2022年高考中数列题命题会有如下可能：1、等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。2、数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。。3、函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用。4、解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等。复习建议1）数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决。如通项公式、前n项和公式等。2）运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。3）分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。4）等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。复习时，要及时总结归纳。5）深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。6）解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果。7）数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。【母题特供】母题一：金题引路：已知数列的前n项和为且，数列满足且．（１）求的通项公式；（２）求证：数列为等比数列;（３）求前n项和的最小值．101\n∴由上面两式得,又∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得，∴=，∴是递增数列………11分当n=1时,<0；当n=2时,<0；当n=3时,<0；当n=4时,>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且13分母题二：金题引路：已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足是数列的前n项和，求证：当①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立；②假设101\n时不等式成立，即两边同乘以2得这说明当n=k+1时也不等式成立。由①②知，当成立。因此，当成立。12分母题三：金题引路：正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．（1）试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<．解：（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，即，而an>0，∴又（2）母题四：金题引路：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?母题五：101\n金题引路：已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝．⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(an)的表达式；⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn <成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．101
