专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,这时a的取值的集合为( ) A.{a|1<a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|2≤a≤3}D.{2,3}2.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=( )A.B.C.D.43.若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是( )A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]4.(2022百校联盟四月联考,理11)已知f(x)=Acosx,若直线y=2x-π与f(x)的图象有3个交点,且交点横坐标的最大值为t,则( )A.A∈(2,π),(t-π)tant=1B.A∈(2π,+∞),tant=1C.A∈(2,π),(π-t)tant=1D.A∈(2π,+∞),tant=15.已知数列{an}满足0<an<1,-8+4=0,且数列是以8为公差的等差数列,设{an}的前n项和为Sn,则满足Sn>10的n的最小值为( )A.60B.61C.121D.1226.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=2,则当该棱锥的体积最大时,它的高为( )A.1B.C.2D.37.已知f(x)=sin(ωx+φ)满足f(1-x)=f(x),且f(x+2)=-f(x8\n),对于定义域内满足f(x1)=f(x2)=的任意x1,x2∈R,x1≠x2,当|x1-x2|取最小值时,f(x1-x2)的值为( )A.B.C.D.8.已知函数f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,则k的最大值为( )A.2B.3C.4D.59.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=3,则△BCF与△ACF的面积之比=( )A.B.C.D.二、填空题10.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是 . 11.已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)内单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是 . 12.(2022福建龙岩4月模拟,理13)已知向量a与b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=2,则|b|= . 13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为 . 14.(2022福建厦门外国语学校一模,理16)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形ABCD面积的最大值为 . 15.如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧面积的取值范围为 . 8\n参考答案专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想1.B 解析依题意得y=,当x∈[a,2a]时,y=.由题意可知⊆[a,a2],即有a2≥a,又a>1,所以a≥2.故选B.2.C 解析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则即故r2=.3.C 解析方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象,如图所示:8\n由题意,得<1,则m的取值范围是[1,2),故选C.4.B 解析作出直线y=2x-π与f(x)的图象,显然直线y=2x-π为f(x)的图象在x=t处的切线,且t∈,由切线斜率k=f'(t)==2,得-Asint==2,所以A=>2π,tant=1,故选B.5.B 解析∵-8+4=0,∴=8,∴=8+8(n-1)=8n.∴+4=8n+4.∴an+=2,即-2an+2=0,∴an=.8\n∵0<an<1,∴an=,Sn=-1.由Sn>10得>11,∴n>60.故选B.6.C 解析设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0),则高h=,所以体积V=a2h=.设y=12a4-a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数y在(0,4]内单调递增,在[4,+∞)内单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最大值,此时h==2,故选C.7.B 解析∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)周期为4,由4=,得ω=,f(x)=sin,由f(1-x)=f(x),得x=是y=f(x)的对称轴,∴+φ=kπ+,当k=0时,φ=,f(x)=sin,由f(x1)=f(x2)=,得|x1-x2|=,当k1=k2时,|x1-x2|min=,当x1-x2=时,f(x1-x2)=,当x1-x2=-时,f(x1-x2)=,故选B.8\n8.B 解析由k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,得k<(x>1),令h(x)=(x>1),则h'(x)=,令g(x)=x-lnx-2=0,得x-2=lnx,画出函数y=x-2,y=lnx的图象如图,g(x)存在唯一的零点,又g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4=2(1-ln2)>0,∴零点在(3,4)内,∴h(x)在(1,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,而3<h(3)=<4,<h(4)=<4,∴h(x0)<4,k∈Z,∴k的最大值是3.9.D 解析∵抛物线的方程为y2=4x,∴抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为E,N,则|BF|=|BN|=x2+1=3,∴x2=2.把x2=2代入抛物线y2=4x,得y2=-2,∴直线AB过(,0),(2,-2),kAB==2+2),则直线方程为y=2+2)(x-).把x=代入直线方程,得+2)y2-2y-4+2)=0,则y1y2=-4,即-2y1=-4,8\n∴y1=,代入y2=4x,得x1=,故A,∴AE=+1=.∴.10.(-1,0) 解析在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).11.(-1,0)∪(0,1) 解析作出符合条件的一个函数图象草图,如图所示,由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).12.4 解析∵|2a-b|=2,∴4a2-4a·b+b2=12.∵向量a与b的夹角为60°,∴a·b=|b|.∴4-2|b|+|b|2=12,解得|b|=4,故答案为4.13.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得∴圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.8\n14.2 解析设AC=x,在△ABC中运用余弦定理可得x2=20-16cosB;在△ADC中运用余弦定理可得x=34-30cosD.所以15cosD-8cosB=7.又四边形ABCD的面积S=(2×4sinB+3×5sinD),即2S=8sinB+15sinD.联立15cosD-8cosB=7和2S=8sinB+15sinD.两边平方相加,可得4S2+49=64+225-240cos(B+D),化简变形得S2=60-60cos(B+D),所以当cos(B+D)=-1时,S2最大,即Smax==2.故应填2.15.(0,2) 解析如图所示.设三棱锥一个侧面为△APQ,∠APQ=x,则AH=PQ×tanx=PQ,∴PQ=,AH=,∴S=4××PQ×AH=2×PQ×AH=2×,x∈.∵S==2(当且仅当tanx=1,即x=时取等号).而tanx>0,故S>0.∵S=2时,△APQ是等腰直角三角形,顶角∠PAQ=90°,阴影部分不存在,折叠后A与O重合,构不成棱锥,∴S的范围为(0,2).8
