第1讲 函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于( )A.或－B.－或3C.－3或D.－3或3解析 圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3.答案 C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是( )A.5B.7C.9D.10解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案 B5\n4.(2022·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，每天可获得利润为8万元，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).答案 D二、填空题5.(2022·福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________.解析 由题意知，a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0，在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.∵或解得或∴p＝5，q＝4，故p＋q＝9.答案 95\n6.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.解析 作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.答案 7.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析 如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，又kPA＝＝－1，kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k＜0时，≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈∪.答案 [－1，1] ∪8.(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.答案 三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.5\n解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.10.(2022·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.(1)解 由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝，又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2).由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.11.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－lnx(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.(1)求b的值；(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a5\n的取值范围.解 函数g(x)＝bx2－lnx的定义域为(0，＋∞)，(1)f′(x)＝3ax2－3a⇒f′(1)＝0，g′(x)＝2bx－⇒g′(1)＝2b－1，依题意得2b－1＝0，所以b＝.(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，即f(x)在(－1，0)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－1，0)上单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，解得＜a＜2，所以，实数a的取值范围是.5
