专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是( ) A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.函数y=5的最大值为( )A.9B.12C.D.33.(2022福建厦门外国语学校一模,理8)已知sin=-,则sin=( )A.B.-C.D.-4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是( )A.B.C.D.5.设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m6\n的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(4,+∞)6.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( )A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是( )A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)8.(2022甘肃会宁一中3月检测,理7)已知正项数列{an}满足-2-an+1an=0,设bn=log2,则数列{bn}的前n项和为( )A.nB.C.D.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),当x∈[0,6]时,f(x)=log6(x+1),若f(a)=1(a∈[0,2020]),则a的最大值是( )A.2018B.2010C.2020D.201110.(2022山东济南二模,理11)已知点P,A,B,C均在表面积为81π的球面上,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=30°,AC=AB,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为( )A.B.6\nC.D.81二、填空题11.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 12.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 . 13.函数y=的最小值为 . 14.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为 . 15.(2022河北衡水中学考前仿真,文16)已知函数f(x)=2x-1+a,g(x)=bf(1-x),其中a,b∈R,若关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,则a的取值范围是 . 参考答案专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想1.B 解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的取值范围是(0,+∞).2.D 解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.C 解析∵+α=2,∴cos=2cos2-1=2sin2-1=2×-1=,故选C.4.D 解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.6\n5.C 解析∵x0是f(x)的极值点,∴f(x0)=±.∵函数f(x)的周期T==|2m|,,()min=,存在极值点x0满足+[f(x0)]2<m2⇔+3<m2⇔()min+3<m2⇔+3<m2,∴m2>4,即m>2或m<-2,故选C.6.C 解析当0<a<1时,可知y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,∵a3+1<a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,故a3+1>a2+1,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.C 解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.C 解析由-2-an+1an=0,可得(an+1+an)(an+1-2an)=0.又an>0,∴=2.∴an+1=a1·2n.∴bn=log2=log22n=n.∴数列{bn}的前n项和为,故选C.9.D 解析由函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(12-x),可得f(x)=f(-x)=f(12+x),即f(x)=f(12+x),故函数的周期为12.令log6(a+1)=1,解得a=5,∴在[0,12]上f(5)=f(12-5)=f(7),∴f(a)=1的根为5,7.∵2020=12×168+4,∴7+12n≤2020时,n的最大值为167,∴a的最大值为a=167×12+7=2011.故选D.10.A 解析设外接球的半径R,易得4πR2=81π,解得R2=.在△ABC中,设AB=t.又∠BAC=30°,AC=AB=t,6\n∴BC==t,即△ABC为等腰三角形.设△ABC的外接圆半径为r,则2r==2t,即r=t.又PA⊥平面ABC,设PA=m,则R2=+r2=+t2=.三棱锥P-ABC的体积V=×m××t×t×sin30°=.令y=m(81-m2),y'=81-3m2=0,则m=3.∴三棱锥P-ABC的体积的最大值为,故选A.11.- 解析当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.12.(-∞,-5] 解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].13. 解析原函数等价于y=,即求x6\n轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.14.16 解析(法一)∵函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,∴f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),即解得∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+.易知,f(x)在(-∞,-2-)内为增函数,在(-2-,-2)内为减函数,在(-2,-2+)内为增函数,在(-2+,+∞)内为减函数.∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]=(-8-4)(8-4)=80-64=16.f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]=(-8+4)·(8+4)=80-64=16.故f(x)的最大值为16.(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-[(x+2)2-5]2+16,故最大值为16.15.(-∞,-2]∪解析f(x)≥g(x)⇔2x-1+a≥b(2-x+a).显然b<0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,当x→-∞时,2x-1+a-b(2-x+a)→+∞,故x<2时,不等式f(x)≥g(x)也成立,这与关于x的不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2矛盾.当b≥0时,2x-1+a≥b(2-x+a)⇔2x-1+a-b(2-x+a)≥0,∵y=2x-1+a-b(2-x+a)是关于x的增函数,且不等式f(x)≥g(x)解的最小值为2,∴22-1+a=b(2-2+a),∴b=≥0,解得a≤-2或a>-.6
