考点33：立体几何中的综合问题【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】立体几何综合问题是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2022年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体．【典型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例1.【2022广东卷（理）】若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【答案】B在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【方法技巧归纳】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．【变式1】【改编例题条件】【2022届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（）-18-\nA.B.C.1D.【答案】A【解析】设在平面上的射影为在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，则，，设到距离为，则，即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，故选A.【变式2】【改编例题条件和问法】【2022届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】如图，直三棱柱中，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图，-18-\n∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1，故②错误；由题意知,直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心为O是AC1与A1C的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C，∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥E−AA1O的体积为定值，故③正确；设BE=x,则B1E=2−x,∴.由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为，故④正确。∴正确命题的个数是3个。本题选择C选项.（二）立体几何中的体积问题例2.【2022江西卷（理）】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：-18-\n（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.【解析】试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.-18-\n故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【方法技巧归纳】1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路-18-\n(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．【变式1】【改编例题的条件】【2022届湖北省部分重点中学高三上学期第一次联考】如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，.现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.【解析】试题分析：（1）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（2）设点E到平面ABCD的距离为h，由VB﹣AEC=VE﹣ABC，且，能求出点E到平面ABCD的距离．-18-\n（2）设点到平面的距离为，因为，且，故，故，做点到平面的距离为.【变式2】【改编例题的条件，依据函数零点个数证明不等式】【2022届安徽省合肥市高三调研性检测】如图，多面体中，,平面，且.（Ⅰ）为线段中点，求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明面面平行得到线面平行；（Ⅱ）将多面体-18-\n分割成三棱锥和四棱锥，再分别算出它们的体积。它们之和即为所求。试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，由平面平面∴平面（Ⅱ）【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【处理立体几何问题注意点】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．【典例试题演练】1．【2022届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥-18-\n中，若三条侧棱两两垂直，且，则正三棱锥的高为（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】因为正三棱锥的侧棱长SA=3，设点D为顶点S在底面上的投影，所以=3，解得，所以正三棱锥的高为，选C．2．【2022年浙江省源清中学9月高三上学期第一次月考】如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则边长度的最小值为（）A.4B.C.D.【答案】D【解析】以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设，则,即.-18-\n又，所以.显然且.所以.因为，所以.所以当，取得最小值12.所以的最小值为.故选D.3．【2022届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】以为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为，所以由几何概型得，，故选A．4．【2022届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟】如图，动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于.设，则函数的图象大致是（）-18-\nA.B.C.D.【答案】B5．【2022届浙江省杭州市高三4月教学质量检测】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（）A.线段为定长B.C.D.点的轨迹是圆弧【答案】C【解析】由于平面，所以，所以，同理，由图可知点轨迹为椭圆，长度最小值为，最大值为，所以C选项错误.6．【2022届河北省唐山市高三年级第二次模拟】正方体棱长为6，-18-\n点在棱上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意作图，由图可知：，，∴，，故，∴，故选D.7．【2022届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中，，，，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时，的长为__________.【答案】【解析】由勾股定理易得：，设，则，而△AED∽△ABC，故，四棱锥的体积：，求导可得：，-18-\n当时，单调递增；当时，单调递减；故当时，取得最大值.8．【2022届福建省泉州市高三3月质量检测】如图，一张纸的长、宽分别为．分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）①该多面体是三棱锥；②平面平面；③平面平面；④该多面体外接球的表面积为【答案】①②③④-18-\n9．【2022届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第九次模拟】如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的______．①当时，平面；②当时，平面；③的最大值为；④的最小值为.【答案】①②④【解析】对于①,连结AB1,B1D1,AD1,则V A−A1B1D1=××1=，S △AB1D1=×××sin60∘=,A1C=，-18-\n设A1到平面AB1D1的距离为h,则××h=,解得h=，∴h=A1C.∴当时,P为A1C与平面AB1D1的交点。∵平面AB1D1∥平面BDC1，∵D1P⊂平面AB1D1,∴D1P∥平面BDC1，故①正确；对于②,由①可知P∈平面AB1D1，∵A1C⊥平面AB1D1,∴A1C⊥平面D1AP，故②正确；对于③,由①可知当时,P为等边△AB1D1的中心，∴∠APD1=120∘，故③错误；对于④,连结AC,D1C,则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P，∴AP的最小值为=，∴AP+PD1的最小值为.故④正确。故答案为：①②④。10．【2022届昭通市高三复习备考统一检测】在棱长为1的正方体中，,是线段上的动点，过做平面的垂线交平面于点，则点到点的距离最小值是___________．【答案】【解析】连结，易知面面，而，即，在面内，且点的轨迹是线段，连结，易知是等边三角形，则当为中点时，距离最小，易知最小值为11．【2022届江西师范大学附属中学高三3月月考】如右图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段-18-\n上的动点，则周长的最小值为_______．【答案】【解析】将面与面折成一个平面，设E关于的对称点为M，E关于对称点为N,则周长的最小值为.12．【2022届江西省临川第二中学高三上学期第四次月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，平面，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若为的中点时，，求点到平面的距离.【解析】试题分析：（1）要证明平面，根据线面垂直的判定定理，只需证与平面内两条相交直线垂直即可，通过观察题目，易知，，得证；（2）利用等体积法，，求得点到平面的距离.（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形.因为M为的中点，所以.又，因此.因为平面，平面，所以.而，所以平面.-18-\n（2）.则由，13．【2022届重庆市巴蜀中学高三9月高考适应月考】如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为线段上一点，直线与平面所成的角为，求的最大值.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可得.试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，则，所以，从而四边形为平行四边形，所以，从而.又因为平面平面且平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.-18-\n令，得平面的一个法向量为，所以，当时，，从而.-18-
