考点41圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求有关定值、定点的问题． 【命题规律】圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（一）定值问题例1.【2022课标卷】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】（1）令，，C(0，1)，为的根，假设成立，所以，，，所以，所以不能出现的情况.【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．14\n【变式1】【河北省衡水中学2022届高三上学期七调考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得，故椭圆的方程为．（2）设，直线的方程为，由，由三点共线可知同理可得，所以．【变式2】【2022北京卷】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（1）求椭圆C的方程及离心率；14\n（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【解析】（1）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．令，得，从而．所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．（二）定点问题例2.【2022课标1】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l14\n过定点.【分析】（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，）.14\n【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.【变式1】【2022江西南昌市摸底】已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.【解析】（1）因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以,故椭圆的方程为，（2）圆的方程为,设为坐标原点当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则，所以，所以为直径的圆过坐标原点当直线的斜率存在时，设其方程设为，设因为直线与相关圆相切，所以联立方程组得,即,,,14\n，，所以为直径的圆恒过坐标原点.【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【典例试题演练】1.【2022广东广州模拟】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．因为点在椭圆上，所以．14\n由①②解得，，．所以椭圆的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．14\n2.【2022年高考北京】已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.14\n3.【2022河南省豫北名校联盟对抗赛】已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，则，，∴，化简，得，∴椭圆的方程为.（2），，∴，又∵，∴，.代入解，得（舍）∴，，∴.即直线方程为.（3）∵，∴.14\n设，，直线方程为.代直线方程入，得.∴，，∴=，∴，∴直线方程为，∴直线总经过定点.5.已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．【解析】（1）设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.（2）证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．14\n6.已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且·＝2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．（2）证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.k1＝＝＝＝x1－x2，同理k2＝x2－x1，所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16.7.已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线RA、RB的斜率分别为k1、k2，且k1k2＝－，设动点R的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S(4，0)．问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由题知x≠±2，且k1＝，k2＝，则·＝－，整理得，曲线C的方程为＋＝1(y≠0)．（2）设MP与x轴交于D(t，0)，则直线MP的方程为x＝my＋t(m≠0)．设M(x1，y1)，P(x2，y2)，由对称性知Q(x1，－y1)，N(x2，－y2)，由，消去x得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，所以Δ＝48(3m2＋4－t2)＞0，14\ny1＋y2＝－，y1·y2＝，由M、N、S三点共线知kMS＝kNS，即＝，所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，所以＝0，即24m(t－1)＝0，t＝1，所以直线MP过定点D(1，0)，同理可得直线NQ也过定点D(1，0)，即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1，0)．8.如图，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.【证明】设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y).联立消去x，得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得yE＝，∴xE＝.同理，yF＝，∴xF＝.∴kEF＝＝＝＝－(定值).∴直线EF的斜率为定值.9.【2022云南省、四川省、贵州省联考】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.14\n（2）因为，，所以，，因此又，，所以.即为定值.10.【2022湖南省五市十校联考】如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，点是轨迹为上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值．14\n【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为．（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以．设直线的方程为，代入椭圆方程，得．．．．①设的坐标分别为，则，又，所以，得，又，所以，即的面积为定值.14
