专题突破练4 万有引力定律及其应用(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(共12小题,每小题7分,共84分。在每小题给出的四个选项中,第1~6小题只有一个选项符合题目要求,第7~12小题有多个选项符合题目要求,全部选对的得7分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分)1.(2022北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( )A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1602.(2022福建南平一质检)如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图,已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动,a是地球同步卫星,a和b的轨道半径相同,且均为c的k倍,已知地球自转周期为T。则( )A.卫星b也是地球同步卫星B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍C.卫星c的周期为1k3TD.a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为va=vb=kvc3.(2022河南濮阳三模)由中国科学家设计的空间引力波探测工程“天琴计划”,采用三颗相同的探测卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个边长约为地球半径27倍的等边三角形,阵列如图所示。地球恰好处于三角形中心,探测卫星在以地球为中心的圆轨道上运行,对一个周期仅有5.6\n4分钟的超紧凑双白星(RXJ0806.3+1527)产生的引力波进行探测。若地球表面附近的卫星运行速率为v0,则三颗探测卫星的运行速率最接近( )A.0.10v0B.0.25v0C.0.5v0D.0.75v04.(2022河北“名校联盟”质量监测)某卫星成功变轨进入同步卫星轨道。卫星变轨原理图如图所示,卫星从椭圆轨道Ⅰ远地点Q改变速度进入地球同步轨道Ⅱ,P点为椭圆轨道近地点。下列说法正确的是( )A.卫星在椭圆轨道Ⅰ运行时,在P点的速度等于在Q点的速度B.卫星在椭圆轨道Ⅰ的Q点速度小于在同步轨道Ⅱ的Q点的速度C.卫星在椭圆轨道Ⅰ的Q点加速度大于在同步轨道Ⅱ的Q点的加速度D.卫星耗尽燃料后,在微小阻力的作用下,机械能减小,轨道半径变小,动能变小5.(2022河南濮阳二模)如图所示,设月球半径为R,假设某探测器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动,运行周期为T,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B时,再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做匀速圆周运动,引力常量为G,则下列说法正确的是( )A.月球的质量可表示为256π2R3GT2B.探测器在轨道Ⅲ上B点速率大于在轨道Ⅱ上B点的速率C.探测器沿椭圆轨道从A点向B点运动过程中,机械能变小D.探测器从远月点A向近月点B运动的过程中,加速度变小6.(2022辽宁师大附中期中)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,则下列说法正确的是( )A.A星体所受合力大小FA=2Gm2a2B.B星体所受合力大小FB=27Gm2a2C.C星体的轨道半径RC=72aD.三星体做圆周运动的周期T=πa3Gm7.(多选)(2022全国Ⅱ卷)6\n如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点。M、N为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )A.从P到M所用的时间等于T04B.从Q到N阶段,机械能逐渐变大C.从P到Q阶段,速率逐渐变小D.从M到N阶段,万有引力对它先做负功后做正功8.(2022江西新余期末)“嫦娥四号”是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星,主要任务是更深层次,更加全面地科学探测月球地貌、资源等方面的信息,完善月球档案资料。已知月球的半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G,“嫦娥四号”离月球中心的距离为r,绕月周期为T。根据以上信息可求出( )A.“嫦娥四号”绕月运行的速度为R2grB.“嫦娥四号”绕月运行的速度为r2gRC.月球的平均密度3πGT2D.月球的平均密度3πr3GT2R39.(2022河北张家口期末)宇航员站在某一星球上,将一个小球距离星球表面h高度处由静止释放使其做自由落体运动,经过t时间后小球到达星球表面,已知该星球的半径为R,引力常量为G,则下列选项正确的是( )A.该星球的质量为2hR2Gt2B.该星球表面的重力加速度为h2t2C.该星球表面的第一宇宙速度为2hRtD.该星球的密度为ρ=3h2πRGt210.(2022安徽滁州期末)2022年10月16日,美国激光干涉引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合引力波事件,如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图,若A星的轨道半径大于B星的轨道半径,双星的总质量为M,双星间的距离为L,其运动周期为T,则( )A.A的质量一定大于B的质量B.A的线速度一定大于B的线速度C.L一定,M越大,T越大D.M一定,L越大,T越大11.6\n(2022天津卷)2022年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根据以上数据可以计算出卫星的( )A.密度B.向心力的大小C.离地高度D.线速度的大小12.(2022全国Ⅰ卷)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2,则此探测器( )A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9m/sB.悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度二、计算题(本题共1个小题,共16分)13.(2022江苏苏州期中)一颗在赤道上空运行的人造卫星,其轨道半径为r=2R(R为地球半径),卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω0,地球表面处的重力加速度为g。求(1)该卫星所在处的重力加速度g';(2)该卫星绕地球转动的角速度ω;(3)该卫星相邻两次经过赤道上同一建筑物正上方的时间间隔Δt。6\n专题突破练4 万有引力定律及其应用一、选择题(共12小题,每小题7分,共84分。在每小题给出的四个选项中,第1~6小题只有一个选项符合题目要求,第7~12小题有多个选项符合题目要求,全部选对的得7分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分)1.B 解析对于月球绕地球公转有GMm月(60R)2=m月a月,得a月=GM(60R)2。对于地球表面的物体,有GMmR2=mg,得g=GMR2。上面两式中GM为同一定值,如果“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,则gR2=a月(60R)2,得到a月=g602,B正确。地球吸引月球的力与地球吸引苹果的力之比除了与距离的二次方成反比例之外,还与月球与苹果的质量之比有关,A错误;C、D两项需要知道地球与月球的质量之比和半径之比,且D项的结论错误,故C、D不符合题意。2.C 解析卫星b相对于地球不能保持静止,故不是地球同步卫星,A错误;根据公式GMmr2=ma可得a=GMr2,即aaac=rc2ra2=1k2,B错误;根据开普勒第三定律ra3Ta2=rc3Tc2可得Tc2=rc3ra3Ta2=1k3Ta=1k3T,C正确;根据公式GMmr2=mv2r可得v=GMr,故va=vb=vck,D错误。3.B 解析由几何关系可知,等边三角形的几何中心到各顶点的距离等于边长的33,所以卫星的轨道半径与地球半径的关系为:r=27×33R=93R;根据v=GMr可得v探v表=R93R≈0.25,则v探=0.25v0,故选B。4.B 解析在Ⅰ轨道上运行时,在P点的速度大于在Q点的速度,A错误;由于从轨道Ⅰ上的Q点变轨到Ⅱ,需要点火加速,所以在轨道Ⅰ的Q点速度小于在同步轨道Ⅱ的Q点的速度,B正确;根据v=GMr2可知,两个轨道在Q点的半径相同,所以加速度相同,C错误;由于人造地球卫星受微小阻力的作用,阻力做负功,故机械能减小,人造卫星绕地球做匀速圆周运动时,联立v=GMr可知,动能Ek=12mv2=GMm2r,轨道半径减小,动能增大,D错误。5.A 解析探测器在距月球表面高度为3R的圆形轨道运动,则轨道半径为4R;在轨道Ⅰ上运动过程中,万有引力充当向心力,故有GMm(4R)2=m4π2T2(4R),解得M=256π2R3GT2,故A正确;在轨道Ⅱ的B点需要减速做近心运动才能进入轨道Ⅲ做圆周运动,所以在轨道Ⅲ上B点速率小于在轨道Ⅱ上B点的速率,故B错误;探测器沿椭圆轨道从A运动到B的过程中只受到地球引力作用,机械能保持不变,故C错误;根据公式GMmr2=ma可得a=GMr2,所以轨道半径越大,向心加速度越小,故从远月点到近月点运动过程中,轨道变小,加速度变大,故D错误。6.D 解析由万有引力定律,A星受到B、C的引力的大小:FBA=FCA=G2m2a2,方向如图,则合力的大小为:FA=2FBAcos30°=23Gm2a2,A错误;同上,B星受到的引力分别为:FAB=G2m2a2,FCB=Gm2a2,方向如图;FB沿x方向的分力:FBx=FABcos60°+FCB=2Gm2a2,FB沿y方向的分力:FBy=FABsin60°=3Gm2a2,可得:FB=FBx2+FBy2=7Gm2a2,B错误;通过对于B的受力分析可知,由于:FAB=G2m2a2,FCB=Gm2a2,合力的方向经过BC的中垂线AD的中点,所以圆心O一定在BC的中垂线AD的中点处。所以:RC=RB=(a2) 2+(3a4) 2=74a,C错误;由题可知C的受力大小与B的受力相同,对B星:FB=7Gm2a2=m4π2T2×74a,解得:T=πa3Gm,D正确。6\n7.CD 解析根据开普勒第二定律可知,海王星离太阳越近线速度越大,从P到Q的速率逐渐变小,所以从P到M经历的时间小于T04,故选项A错误,选项C正确;海王星绕太阳运动过程中只有引力做功,机械能守恒,故选项B错误;太阳对海王星的万有引力沿两星体的连线指向太阳,从M到N,海王星到太阳的距离先变大后变小,万有引力对它先做负功后做正功,选项D正确。8.AD 解析月球表面任意一物体重力等于万有引力:GMmR2=mg,则有GM=R2g,“嫦娥四号”绕月运行时,万有引力提供向心力:GMmr2=mv2r,解得:v=GMr,联立解得v=gR2r,故A正确,B错误;“嫦娥四号”绕月运行时,根据万有引力提供向心力有:GMmr2=m4π2T2r,解得:M=4π2r3GT2,月球的平均密度为:ρ=MV=4π2r3GT24π3R3=3πr3GT2R3,故C错误,D正确。9.ACD 解析根据自由落体运动公式h=12gt2,解得星球表面的重力加速度g=2ht2,星球表面的物体受到的重力等于万有引力,即GMmR2=mg,解得质量为M=gR2G=2hR2Gt2,故A正确,B错误;根据万有引力提供向心力可得GMmR2=mv2R,联立以上解得第一宇宙速度为v=2hRt,故C正确;在星球表面有GMmR2=mg,星球的密度为ρ=M43πR3,联立以上解得ρ=3h2πRt2G,故D正确。所以ACD正确,B错误。10.BD 解析设双星质量分别为mA、mB,轨道半径分别为RA、RB,角速度相等且为ω,根据万有引力定律可知:GmAmBL2=mAω2RA,GmAmBL2=mBω2RB,距离关系为:RA+RB=L,联立解得:mAmB=RBRA,因为RA>RB,所以A的质量一定小于B的质量,故A错误;根据线速度与角速度的关系有:vA=ωRA、vB=ωRB,因为角速度相等,半径RA>RB,所以A的线速度大于B的线速度,故B正确;又因为T=2πω,联立以上可得周期为:T=2πL3G(mA+mB),所以总质量M一定,两星间距离L越大,周期T越大,故C错误,D正确。11.CD 解析本题考查万有引力定律的应用,灵活掌握卫星向心加速度的不同表达式是解题关键。万有引力提供卫星圆周运动的向心力,则有GMm(R+h)2=ma=mv2R+h=m(R+h)4π2T2,其中GM=gR2,可以求得卫星离地面的高度h和卫星线速度v;由于不知道卫星的质量m,无法求出卫星所受向心力和卫星的密度。故选项A、B错误,选项C、D正确。12.BD 解析由GMmR2=mg得g=GMR2,则g月g地=M月R月2×R地2M地≈16,即g月=16g地≈1.6m/s2,由v2=2g月h,得v≈3.6m/s,选项A错误;悬停时受到的反冲作用力F=mg月≈2×103N,选项B正确;从离开近月轨道到着陆的时间内,有其他力对探测器做功,机械能不守恒,选项C错误;由GMmR2=mv2R,得v=GMR,有v月v地=M月R月×R地M地=3.781<1,即v月<v地,选项D正确。二、计算题(本题共1个小题,共16分)13.答案(1)14g (2)g8R (3)2πg8R-ω0解析(1)根据向心力公式有GMmR2=mg,GMm(2R)2=mg',解得g'=g4。(2)绕地球运行的卫星,地球对卫星的万有引力提供向心力,设卫星的角速度为ω,根据向心力公式有GMm(2R)2=m(2R)ω2,解得ω=g8R。(3)设经过时间Δt卫星再次通过建筑物上方,根据几何关系有(ω-ω0)Δt=2π联立解得:Δt=2πg8R-ω0。6
