课时提升作业(三十二)不等关系与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·成都模拟)已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2<b2B.ab2>a2bC.<D.<【解析】选C.若a<b<0,则a2>b2,故A错;若0<a<b,则>,故D错;若ab<0,即a<0,b>0,则a2b>ab2,故B错.2.(2022·嘉兴模拟)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M=NC.M<ND.与x有关【解析】选A.M-N=x2+x+1=+>0,所以M>N.3.(2022·广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则( )A.>B.<C.<D.>【解题提示】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出.【解析】选D.因为0<a<b<1,所以-=<0,可得<;>;(lga)2>(lgb)2;lga<lgb<0,可得>.综上可知,只有D正确.【加固训练】(2022·富阳模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<0【解析】选C.因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D均正确.-6-\n因为b可能等于0,也可能不等于0.所以cb2<ab2不一定成立.4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为( )A.B.C.D.0.8×5x+2×4y≤50【解析】选A.根据题意直接列出相应的不等式,组成不等式组即可.5.若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是( )A.ac>bcB.ab>acC.a|b|>c|b|D.a2>b2>c2【解析】选B.由a>b>c,a+b+c=0,得a>0,c<0,因为b>c,所以ab>ac.6.若-<α<β<,则α-β一定不属于的区间是( )A.(-π,π)B.C.(0,π)D.(-π,0)【解题提示】由-<α<β<可得-<-β<,从而有-π<α-β<0.【解析】选C.因为-<α<β<,所以-<-β<,所以-π<α-β<0,结合选项可知选项C一定不可能,故选C.7.(2022·上海模拟)若a,b为实数,则a>b>0是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【解题提示】当a,b>0时,由题意解出a2>b2为a>b或a<-b,然后再判断命题的关系.【解析】选A.若a>0,b>0,因为a2>b2,所以a2-b2>0,所以a>b或a<-b,所以a>b>0⇒a2>b2,-6-\n反之则不成立,所以a>b>0是a2>b2的充分不必要条件,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·北京模拟)已知a+b>0,则+与+的大小关系是 .【解析】+-=+=(a-b)=.因为a+b>0,(a-b)2≥0,所以≥0,所以+≥+.答案:+≥+9.(2022·临沂模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm,其中的不等关系可用不等式(组)表示为 .【解析】矩形的另一边长为(30-x)=15-x,矩形面积为x且0<x<18,则不等式组为答案:10.已知f(x)=ax2+b,若1≤f(1)≤2,2≤f(2)≤3,则f(3)的范围为 .【解析】令f(3)=9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,则解得即f(3)=-(a+b)+(4a+b).因为1≤a+b≤2,2≤4a+b≤3,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.答案:【一题多解】本题还可有以下解法:-6-\n巧妙换元:令a+b=x,4a+b=y,则a=,b=,1≤x≤2,2≤y≤3.因为f(3)=9a+b=,6≤8y-5x≤19,所以2≤f(3)≤,即f(3)的范围是.【加固训练】(2022·盐城模拟)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为 .【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得又因为-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,所以-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<答案:(20分钟 40分)1.(5分)(2022·资阳模拟)已知a,b为实数,则“a>b>1”是“<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a>b>1⇒a-1>b-1>0⇒<,当a=0,b=2时,<,但a>b>1不成立,所以<a>b>1,故选A.2.(5分)(2022·烟台模拟)已知-1<a<0,A=1+a2,B=1-a2,C=,比较A,B,C的大小结果为( )A.A<B<CB.B<A<CC.A<C<BD.B<C<A-6-\n【解析】选B.方法一:不妨设a=-,则A=,B=,C=2,由此得B<A<C,选B.方法二:由-1<a<0得1+a>0,A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0得A>B,C-A=-(1+a2)=-=->0,得C>A,所以B<A<C.3.(5分)(2022·遵义模拟)已知下列结论:①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则<;③若a>b,则a3>b3;④若a<0,-1<b<0,则ab2>a.其中正确的是 (只填序号即可).【解析】对于①,因为a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确;对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.答案:①③④4.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.【解题提示】用a+c把b表示出来代入a>b>c,利用放缩法求解.【解析】因为f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,所以1>->,即1>-1->,所以解得-2<<-.5.(13分)(能力挑战题)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.【解析】设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,-6-\n则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.因为y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.-6-
