课时提升作业(六十一)绝对值不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a的值为 ( )A.8 B.2 C.-4 D.-8【解析】选C.由题知a≠0,由|ax+2|<6⇒-8<ax<4,当a>0时,-<x<,又因为原不等式的解集为(-1,2),当a<0时,<x<-,2.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为( )【解析】选B.由已知2∉M,可得2∈M,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.3.如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,则实数a的取值范围是 ( )A.0<a≤1B.a≥1-6-\nC.0<a<1D.a>1【解析】选D.因为|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,所以(|x-3|+|x-4|)min=1.当a≤1时,|x-3|+|x-4|<a解集显然为∅,所以a>1.【加固训练】已知不等式|x+1|-|x-3|>a.分别求出下列情形中a的取值范围.(1)不等式有解.(2)不等式的解集为R.(3)不等式的解集为∅.【解析】方法一:|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的差即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知,PA-PB的最大值为|AB|=4,最小值为-|AB|=-4,即-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a只要比|x+1|-|x-3|的最大值小即可,故a<4.(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,则a只要比|x+1|-|x-3|的最小值小即可,即a<-4.(3)若不等式的解集为∅,则a只要不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可,即a≥4.方法二:由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4,|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4,可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a<4.(2)若不等式的解集为R,则a<-4.(3)若不等式的解集为∅,则a≥4.二、填空题(每小题6分,共18分)4.1≤|3x+4|<6的解集为 .【解析】1≤|3x+4|⇔3x+4≥1或3x+4≤-1⇔x≥-1或x≤-,|3x+4|<6⇔-6<3x+4<6⇔-<x<,故解集为-6-\n答案:5.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为 .【解析】方法一:当x≤-2时,-(x+2)-(-x)≤1,-2≤1,所以x≤-2.当-2<x<0时,(x+2)-(-x)≤1,2x+2≤1,所以-2<x≤-.当x≥0时,(x+2)-x≤1,2≤1不成立,∅.综上知原不等式的解集为方法二:由绝对值的几何意义,点x到-2的距离与点x到0的距离的差小于等于1,如图所示.答案:6.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是 .【解题提示】存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立⇔(|x-a|+|x-1|)min≤3,要求出f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值,可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式来探求.【解析】方法一:不等式|x-a|+|x-1|≤3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3.因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时,即点x在点a和点1之间时,此时距离之和为|a-1|,要使不等式|x-a|+|x-1|≤3有解,则|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.方法二:因为存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,所以(|x-a|+|x-1|)min≤3,又|x-a|+|x-1|≥|x-a-(x-1)|=|a-1|,所以|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.答案:-2≤a≤4-6-\n【方法技巧】解决存在性问题的“两关”及“三法”求解存在性问题需过两关:第一关是转化关,先把存在性问题转化为求最值问题;第二关是求最值关,求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||来快速求解其最值.(3)利用零点分区间来求其最值.三、解答题(每小题16分,共64分)7.设函数f(x)=.(1)当a=-10时,求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的定义域为R,试求a的取值范围.【解析】(1)由题设知:|x+2|+|x-6|-10≥0.①当x<-2时,不等式可化为-(x+2)-(x-6)-10=-2x-6≥0,即x≤-3;②当-2≤x≤6时,不等式可化为(x+2)-(x-6)-10=-2≥0,无解;③当x>6时,不等式可化为(x+2)+(x-6)-10=2x-14≥0,即x≥7.综上所述,函数f(x)的定义域为(-∞,-3]∪[7,+∞).(2)由题设知,当x∈R时,恒有|x+2|+|x-6|+a≥0,即|x+2|+|x-6|≥-a.又由|x+2|+|x-6|≥|(x+2)-(x-6)|=8,当-2≤x≤6时取“=”号,所以-a≤8,即a≥-8,所以a的取值范围是[-8,+∞).8.已知f(x)=|ax-4|-|ax+8|,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)<2.(2)若f(x)≤k恒成立,求k的取值范围.【解题提示】(1)利用分类讨论思想将函数转化为分段函数,然后逐一求解每个不等式.(2)利用绝对值性质定理求解f(x)=|ax-4|-|ax+8|的最大值,然后确定k的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2(|x-2|-|x+4|)-6-\n=当x<-4时,不等式不成立;当-4≤x≤2时,由-4x-4<2,得-<x≤2;当x>2时,不等式必成立.综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x>-}.(2)因为f(x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12,当且仅当ax≤-8时取等号.所以f(x)的最大值为12.故k的取值范围是[12,+∞).9.已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为x|-2≤x≤3,求实数a的值.(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a,所以a-6≤2x-a≤6-a.即a-3≤x≤3,所以a-3=-2,所以a=1.(2)由(1)知f(x)=|2x-1|+1.令φ(n)=f(n)+f(-n).则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2所以φ(n)的最小值为4,故实数m的取值范围是[4,+∞).10.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R).(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.【解析】(1)不等式f(x)+a-1>0,-6-\n即|x-2|+a-1>0,当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);当a>1时,解集为全体实数R;当a<1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立,又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).-6-
