课时提升作业(四十)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是( )A.① B.①④ C.②③ D.③④【解析】选A.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.2.(2022·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.【解析】选D.若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂α,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β,由公理3知,M在γ与β的交线上.-11-\n同理可知,点C也在γ与β的交线上.4.(2022·广州模拟)已知A,B是两个不同的点,m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则①m⊂α,A∈m⇒A∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈m⇒B∈α;③m⊂α,n⊂β,m∥n⇒α∥β;④m⊂α,m⊥β⇒α⊥β.其中真命题为( )A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】选C.根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行,也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题,故选C.5.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为( )A.相交B.平行C.异面D.重合【解析】选C.将表面展开图折起还原为正方体,如图,故MN与PB异面.【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强,可固定其中一个面,翻折其他面得到.【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )-11-\nA.平行B.垂直C.相交成60°角D.异面且成60°角【解析】选D.折起后如图,显然AB与CD异面,因为AM∥CD,△AMB为正三角形,所以∠MAB=60°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·天津模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①设a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是 .【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交,平行,异面,故①错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面,相交,平行,故②错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面,相交,平行,故③错;同理④错,故真命题的个数为0.答案:07.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .-11-\n【解题提示】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,可得C1D=AD,从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:8.(2022·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 对.【解析】正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有=24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2).答案:24-11-\n三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD交于一点.【证明】连接GE,FH.因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,且GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,且FH=AC.所以FH∥GE,且GE≠FH.所以E,F,H,G四点共面.且四边形EFHG是一个梯形.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内,又在平面BCD内,所以O在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条,所以点O在直线BD上.这就证明了GH和EF的交点也在BD上,所以EF,GH,BD交于一点.【加固训练】如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD.(2)求证:EH,FG,BD三线共点.-11-\n【解析】(1)因为==2,所以EF∥AC,所以EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,所以EF∥GH,所以AC∥GH,所以==3,所以AH∶HD=3∶1.(2)因为EF∥GH,且=,=,所以EF≠GH,所以四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,又P∈FG,FG⊂平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD,所以EH,FG,BD三线共点.10.已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为BC,AD上的点,并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=,求AB与CD所成的角的大小.【解析】取BD上一点H,使得BH∶HD=1∶2.连接FH,EH,由题意知FH∥AB,EH∥CD,则∠EHF为异面直线AB与CD所成的角(或其补角).又AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2,所以FH=AB=2,HE=CD=1.在△EFH中,由余弦定理知:cos∠EHF===-,即异面直线AB与CD所成的角为60°.【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围（0,].在解答过程中易误认为∠EHF即为异面直线AB与CD所成的角.实际上,当∠EHF为锐角或直角时,为两条异面直线AB与CD所成的角;而当∠EHF为钝角时,它为异面直线AB与CD所成角的补角.-11-\n(20分钟 40分)1.(5分)(2022·天津模拟)如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,则PB与AC所成角是( )A.90°B.45°C.60°D.30°【解析】选C.过点B作BECA,连接AE,PE,由已知△PAB及△BAE和△PAE均为全等的等腰直角三角形,因此△PBE为等边三角形,所以PB与AC所成的角为60°.【加固训练】(2022·太原模拟)对于直线m,n和平面α,下列命题中的真命题是( )A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥αB.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥nD.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m与n相交【解析】选C.对于选项A,n可以与平面α相交,对于选项B,n可以与平面α平行,故选项A、B均错;由于m⊂α,n∥α,则m,n无公共点.又m,n共面,所以m∥n,选项C正确,选项D错.2.(5分)(2022·温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是( )【解析】选D.A中PS∥QR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,故共面.3.(5分)(2022·开封模拟)已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有( )A.0条B.1条C.2条D.无数条【解析】选D.与平面ABCD平行,而且与线段D1E,C1F分别相交于M,N的平面有无数多,所以直线MN有无数条.-11-\n-11-\n4.(12分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线.(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.(3)求三棱锥A-EBC的体积.【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α.因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=,AE=,EF=,cos∠AEF==,所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(3)因为E是PC的中点,所以点E到平面ABC的距离为PA=1,VA-EBC=VE-ABC=××1=.【加固训练】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积.(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PO⊥平面ABCD,所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.在Rt△POB中,因为BO=AB·sin30°=1,又PO⊥OB,所以PO=BO·tan60°=,-11-\n因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.所以四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF,因为E为PB中点,所以EF∥PA.所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).在Rt△AOB中,AO=AB·cos30°==OP,所以在Rt△POA中,PA=,所以EF=.因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形.又因为∠PBO=60°,BO=1,所以PB=2,所以PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,所以DF=DE=,所以cos∠DEF====.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.5.(13分)(2022·湖南高考)如图所示,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在平面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥平面α,垂足为O.-11-\n(1)证明:AB⊥平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)根据二面角的平面角的定义及线线角的定义求解.【解析】(1)如图,因为DO⊥平面α,AB⊂平面α,所以DO⊥AB,连接BD,由题设知,△ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DE⊥AB,又DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角).由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE,又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°,不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=,在Rt△DOE中,DO=DE·sin60°=,连接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO===,故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤(1)作:通过作平行线得到相交直线.(2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.(3)算:通过解三角形求出角.-11-
