课时提升作业(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是( )A.k∈(-,)B.k∈(-∞,-)∪(,+∞)C.k∈(-,)D.k∈(-∞,-)∪(,+∞)【解题提示】直线与圆没有公共点等价于直线与圆相离.【解析】选C.由直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点可知,圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于圆的半径,即由此解得-<k<,因此,直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是k∈(-,).2.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为( )A.-6B.-3C.-3D.3【解题提示】两圆有三条公切线等价于两圆外离.【解析】选C.圆C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,所以圆C1的圆心C1(-a,0),半径r1=2,圆C2的圆心C2(0,b),半径r2=1.已知两圆恰有三条公切线,则两圆相外切,圆心距等于两圆半径之和,所以=3,则|a+b|==3,所以-3≤a+b≤3,故a+b的最小值为-3.【加固训练】两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( )A.m<1B.1≤m≤121C.m>121D.1<m<121【解析】选B.若两圆有公共点,则两圆的位置关系为相切或相交,将m=1代入验证符合题意.3.(2022·威海模拟)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2-8-\n=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )A.k=,b=-4B.k=-,b=4C.k=,b=4D.k=-,b=-4【解析】选A.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且2x+y+b=0过圆心,解得k=,b=-4.【加固训练】若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则的最小值为( )A.1B.5C.4D.3+2【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,所以=()(a+b)当且仅当即b=2-,a=-1时,等号成立.所以的最小值为3+2,故选D.4.(2022·郑州模拟)若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长大于等于则t的取值范围是( )A.(-,)B.(-∞,)C.[,+∞)D.[-,]【解析】选D.由题意知圆心到直线y=x+t的距离d=设弦长为l,则()2+d2=8,可解得l2=32-2t2≥解得-≤t≤.-8-\n5.(2022·舟山模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是( )A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由题意,M为直线y=-x与圆的一个交点,代入圆的方程可得:(x+1)2+(-x-1)2=1.因为劣弧的中点为M,所以x=-1,所以y=1-,因为过点M的圆C的切线的斜率为1,所以过点M的圆C的切线方程是y-1+=x-+1,即y=x+2-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·南京模拟)若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值为 .【解析】(x-5)2+y2=16的圆心为(5,0),半径为4,则圆心到直线l1的距离为:=4,点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,则|PM|的最小值:=4.答案:4【加固训练】当直线l:y=k(x-1)+2被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦长最短时,k的值为 .【解析】直线过定点(1,2),且该点在圆内,则当直线与定点和圆心的连线垂直时得到的弦长最短,定点与圆心连线的斜率为=-1,所以所求斜率k=1.答案:17.(2022·南充模拟)已知直线x-y+m=0与圆x2+y2-8-\n=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,若圆周上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则实数m的值为 .【解析】根据题意画出图形,连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点,因为△ABC为等边三角形,所以∠AOB=120°,由余弦定理知:AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=12,所以AB=2,故BD=,所以OD=1,所以O(0,0)到直线AB的距离=1,解得m=±.答案:±8.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,直线l:12x-5y+c=0(其中c为常数),下列有关直线l与圆O的命题:①当c=0时,圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1,则-13<c<13;③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1,则c=13;④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1,则13<c<39;⑤当c=±39时,圆O上只有一个点到直线l的距离为1.其中正确命题是 .(填上你认为正确的所有命题序号)【解析】圆心O到直线l的距离为,当<1,即-13<c<13时,圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1;当c=±13时,圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1;当1<<3,即13<c<39或-39<c<-13时,圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1;当c=±39时,圆O上只有一个点到直线l的距离为1.故①②⑤正确.答案:①②⑤【加固训练】1.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2-8-\n的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.圆心O1到直线AB的距离d=,由d2+22=6,得=2,所以r2-14=±8,r2=6或22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在直线的方程.(2)当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线的方程.2.(2022·海门模拟)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程.(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.【解析】(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.设切线方程为x+y=a,则=,所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)因为|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(,-).3.(2022·贵阳模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=8.设点Q(x,y)是圆C上一点.(1)求x+y的取值范围.(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.【解析】(1)设x+y=t,因为Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,即≤2,解得:-5≤t≤3,即x+y的取值范围为[-5,3].(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离为d==4>2-8-\n=r,所以直线与圆相离,又因为切线、圆心与切点的连线以及圆心与圆外的一点的连线组成一直角三角形且有半径为一定值,所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线,过其垂足作圆的切线所得切线段最短,其垂足即为所求的点P;设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.又因为该线过圆心(-1,0),所以-1-0+c=0,即c=1,而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4),即所求的点为P(3,4).(20分钟 40分)1.(5分)(2022·西城模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20【解析】选A.由圆x2+y2=4,得到圆心O坐标为(0,0),所以△OAB的外接圆为四边形OAPB的外接圆,又P(4,2),所以外接圆的直径为|OP|=半径为,外接圆的圆心为线段OP的中点,是(2,1),所以△OAB的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.2.(5分)(2022·济南模拟)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|≥||,那么实数m的取值范围是 .【解析】因为|+|≥||,所以|+|≥|-|,所以|+|2≥|-|2,化简得·≥0,所以,夹角θ满足0°<θ≤90°,所以圆心到直线的距离d=∈[1,)(其中θ=90°时d=1),解得m∈(-2,-]∪[,2).答案:(-2,-]∪[,2)3.(5分)(2022·湖北高考)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b= .(2)λ= .【解析】设M(x,y),因为|MB|=λ|MA|,所以(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2],整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0,-8-\n因为圆O上的点M都有|MB|=λ|MA|成立,所以答案:(1)- (2)4.(12分)(2022·哈尔滨模拟)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值.(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为点M,N到直线l的距离相等,所以l∥MN或l过MN的中点.因为M(0,2),N(-2,0),所以kMN=1,MN的中点坐标为C(-1,1).又因为直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2),当l∥MN时,k=kMN=1,当l过MN的中点时,k=kCD=.综上可知:k的值为1或.(2)因为对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,所以l与以MN为直径的圆相离,即圆心到直线l的距离大于半径,d=>,解得:k<-或k>1.5.(13分)(能力挑战题)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个交点.(2)设直线l与圆C交于点A,B,若|AB|=,求直线l的倾斜角.(3)设直线l与圆C交于A,B,若定点P(1,1)满足2=,求此时直线l的方程.【解析】(1)直线l恒过定点P(1,1).由12+(1-1)2<5知点P在圆C内,所以直线l与圆C总有两个交点.(2)圆心到直线的距离-8-\n所以=,解得m=±,所以,l的倾斜角为或.(3)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2).由2=得:2(1-x1,1-y1)=(x2-1,y2-1),所以x2+2x1=3 ①直线l的斜率存在,设其方程为y-1=k(x-1),⇒(k2+1)x2-2k2x+k2-5=0,由①②③消去x1,x2解得k=±1,故所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.方法二:如图,过点C作CD⊥AB于D,设|AP|=t,则|PB|=2t,|AD|=1.5t,|PD|=0.5t.在Rt△CDP中,有CP2=CD2+PD2,得CD2=1-(0.5t)2,在Rt△CDA中,CD2=5-(t)2,所以t=,从而,CD=,又直线AB方程为mx-y+1-m=0,d==,解得m=±1,故所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.-8-
